№17 Тренировочной работы №84 А. Ларина

Смотрите также задания №16, №18

Решите неравенство:

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}+\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{\sqrt{x^2-4(x-1)}}>2.$

Решение:

При возведении обеих частей неравенства в квадрат (а мы можем это сделать в силу положительности обеих частей), переходим к следующему равносильному неравенству:

$\frac{x-\sqrt{4(x-1)}+2\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}+x+\sqrt{4(x-1)}}{x^2-4(x-1)}>4;$

Далее

$\frac{2x+2\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{x^2-4(x-1)}>4;$

Мы два корня «склеиваем» под один. При этом давайте обратим внимание на следующий момент: вообще говоря, «склеивая» под один два корня, мы должны бы указать, что хотя бы одно из подкоренных выражений неотрицательно. Но в данном случае, очевидно, $x\geq 1$, поэтому $x+\sqrt{4(x-1)}\geq 0$ автоматически.

$\begin{cases}\frac{2x+2\sqrt{x^2-4(x-1)}}{x^2-4(x-1)}>4,\\x\geq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{2x+2\sqrt{(x-2)^2}}{x^2-4x+4}>4,\\x\geq 1;&\end{cases}$

Помним о том, что $\sqrt {a^2}=|a|:$

$\begin{cases}\frac{x+|x-2|}{x^2-4x+4}>2,\\x\geq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{x+|x-2|-2(x-2)^2}{x^2-4x+4}>0,\\x\geq 1;&\end{cases}$

или что тоже самое

$\begin{cases}x+|x-2|-2(x-2)^2>0,\\x\neq 2,\\x\geq 1;\end{cases}$

Далее раскрываем модуль, следовательно появляется совокупность:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\x^2-5x+5<0;\end{cases}\\\begin{cases}1\leq x<2,\\x^2-4x+3<0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\x+x-2-2(x-2)^2>0;\end{cases}\\\begin{cases}1\leq x<2,\\x-x+2-2(x-2)^2>0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>2,\\(x-\frac{5-\sqrt5}{2})(x-\frac{5+\sqrt5}{2})<0;\end{cases}\\\begin{cases}1\leq x<2,\\(x-1)(x-3)<0;\end{cases}\end{array}\right.$

Графическое решение первой системы совокупности:

Графическое решение второй системы совокупности:

Объединяем решения систем:

$x\in (1;2)\cup (2;\frac{5+\sqrt5}{2}).$

Ответ: $(1;2)\cup (2;\frac{5+\sqrt5}{2}).$