Теория для решения задач здесь
Задача 1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна $0,35.$ Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна $0,2.$ Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:+ показать
События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит, вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: $0,35+0,2=0,55.$
Ответ: $0,55.$
Задача 2. При изготовлении подшипников диаметром $76$ мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на $0,01$ мм, равна $0,983.$ Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем $75,99$ мм или больше чем $76,01$ мм.
Решение:+ показать
По условию вероятность того, что диаметр подшипника будет лежать в пределах от $75,99$ до $76,01$ мм равна $0,983.$ Значит, вероятность противоположного события равна $1-0,983=0,017.$
Ответ: $0,017.$
Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0,3.$ Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,16.$ Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение: + показать
Вероятность события $A$ «кофе закончится в первом автомате» равна $0,3.$
Вероятность события $B$ «кофе закончится во втором автомате» равна $0,3.$
Вероятность события $A\cdot B$ «кофе закончится в обоих автоматах» равна $0,16.$
Вероятность суммы двух совместных событий $A+B$, есть сумма их вероятностей без вероятности события $A\cdot B:$
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B);$
$P(A+B)=0,3+0,3-0,16=0,44;$
Нас же интересует вероятность события, противоположного событию $A+B.$ Действительно, всего возможны 4 события, три из них, помеченные желтым цветом, отвечают событию $A+B$:
$P=1-0,44=0,56;$
Ответ: $0,56.$
Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0,12$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение:+ показать
Оба автомата неисправны с вероятностью $0,12\cdot 0,12=0,0144.$
Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть $1-0,0144=0,9856.$
Ответ: $0,9856.$
Задача 5. Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0,85.$ Найдите вероятность того, что биатлонист первые $3$ раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение: + показать
Биатлонист попадает в мишень первый раз и (умножение) второй, и третий: $0,85\cdot 0,85\cdot 0,85=0,614125$
Так как вероятность попадания в цель – $0,85$, то вероятность противоположного события, промаха, – $1-0,85=0,15.$
Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом:
$0,15\cdot 0,15=0,0225$
Тогда вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишень, а (и!) последние два промахнулся такова:
$0,614125\cdot 0,0225=0,0138…\approx 0,01.$
Ответ: $0,01.$
Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна $0,92.$ Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0,84.$ Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение: + показать
Рассмотрим следующие события:
$A$ – «пылесос прослужит больше года, но меньше 2»,
$B$ – «пылесос прослужит больше 2-х лет»,
$C$ – «пылесос прослужит больше года».
Событие $C$ есть сумма совместных событий $A$ и $B$, то есть
$P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).$
Но $P(AB)=0$, так как не может одновременно произойти и $A$, и $B$.
Поэтому $0,92=P(A)+0,84.$
Откуда $P(A)=0,08.$
Ответ: $0,08.$
Задача 7. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше $12$ задач, равна $0,78.$ Вероятность того, что У. верно решит больше $11$ задач, равна $0,88.$ Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно $12$ задач.
Решение: + показать
Пусть событие $A$: «учащийся верно решит 12 задач»,
событие $B$: «учащийся решит больше 12 задач»,
событие $C$: «учащийся решит больше 11 задач».
При этом вероятность события $C$ есть сумма вероятностей событий $A$ и $B$:
$P(C)=P(A)+P(B);$
$0,88=P(A)+0,78;$
$P(A)=0,1$ – это и есть искомая вероятность.
Ответ: $0,1.$
Задача 8. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна $0,07.$ Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение: + показать
Вероятность перегорания всех трех лампочек в течении года $0,07\cdot 0,07\cdot 0,07=0,000343.$
Тогда вероятность противоположного события – “Хотя бы одна лампа не перегорит” – есть $1-0,000343=0,999657\approx 1.$
Ответ: $0,999657.$
Задача 9. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает $70$% этих стекол, вторая – $30$%. Первая фабрика выпускает $1$% бракованных стекол, а вторая – $3$%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:+ показать
Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события $0,7$) и (умножение) оно бракованное (вероятность события $0,01$):
$0,7\cdot 0,01=0,007.$
Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события $0,3$) и оно бракованное (вероятность события $0,03$):
$0,3\cdot 0,03=0,009.$
Посколько при покупке стекла мы оказываемся в первой или (сумма) в вторй ситуации, то по формуле суммы вероятностей несовместных событий получаем:
$0,007+0,009=0,016.$
Ответ: $0,016.$
Задача 10. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. $40$% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — $90$% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает $60$% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение: + показать
I способ
Пусть вероятность того, что яйцо из I хозяйства, есть $p$. Тогда вероятность того, что яйцo из II хозяйства, есть $1-p$.
Высшую категорию получает яйцо, если оно
из I хозяйства и I категории
или
из II хозяйства и I категории,
то есть
$0,4p+0,9(1-p)=0,6;$
$0,3=0,5p;$
$p=0,6.$
Ответ: $0,6.$
Задача 11. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью $0,9$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0,3.$ На столе лежит $10$ револьверов, из них только $4$ пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение: + показать
Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого $\frac{4}{10}$) и промахивается (вероятность $1-0,9=0,1$). Вероятность этого события $\frac{4}{10}\cdot 0,1=0,04;$
Джон хватает непристрелянный револьвер (вероятность этого $\frac{6}{10}$) и промахивается (вероятность $1-0,3=0,7$). Вероятость этого события $\frac{6}{10}\cdot 0,7=0,42;$
Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить непристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:
$0,04+0,42=0,46;$
Ответ: $0,46.$
Задача 12. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $7$ очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $6$ очков, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0,3.$
Решение: + показать
Вероятность события “Ничья” равна $1-0,3-0,3=0,4.$
Устраивают варианты: “Выигрыш+Ничья” или “Выигрыш+Выигрыш” или “Ничья+Выигрыш”.
То есть искомая вероятность есть $0,3\cdot0,4+0,3\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,33.$
Ответ: $0,33.$
Задача 13. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $69$ баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее $69$ баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее $69$ баллов по математике, равна $0,6$, по русскому языку — $0,6$, по иностранному языку — $0,6$ и по обществознанию — $0,9$.
Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение: + показать
Вероятность события “Поступления на Лингвистику” есть $0,6\cdot 0,6\cdot 0,6.$
Вероятность события “Поступления на Коммерцию” есть $0,6\cdot 0,6\cdot 0,9.$
События “Поступление на Лингвистику” и “Поступление на Коммерцию” совместные. Поэтому вероятность суммы двух указанных событий есть сумма вероятностей указанных событий без вероятности их одновременного свершения.
Вероятность поступления и на “Лингвистика” и на “Коммерция” есть $0,6\cdot 0,6\cdot 0,6\cdot0,9.$
Итак,
$p=0,6\cdot 0,6\cdot 0,6+0,6\cdot 0,6\cdot 0,9-0,6\cdot 0,6\cdot 0,6\cdot 0,9=$
$=0,6\cdot 0,6(0,6+0,9-0,6\cdot 0,9)=0,3456.$
Ответ: $0,3456.$
Задача 14. На фабрике керамической посуды $10$% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $80$% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Решение: + показать
Пусть на фабрике $n$ тарелок. Тогда дефективных $0,1n$ штук, хороших $0,9n.$ В продажу поступят $0,9n$ хороших тарелок и $0,1\cdot 0,2\cdot n$ незамеченных дефективных.
Тогда искомая вероятность есть $\frac{0,9n}{0,9n+0,1\cdot 0,2\cdot n}=\frac{0,9}{0,92}=0,978…,$ после округления до сотых – $0,98.$
Ответ: $0,98.$
Задача 15. В кармане у Пети было $4$ монеты по рублю и $2$ монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то $3$ монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение: + показать
Двухрублевые монеты лежат в одном кармане, если Петя переложил 122, 212, 221 или 111.
Вероятность события “122” есть $\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{15}.$
Вероятность события “212” есть $\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{15}.$
Вероятность события “221” есть $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{4}=\frac{1}{15}.$
Вероятность события “111” есть $\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{1}{15}.$
Итак, искомая вероятность есть
$\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{1}{15}+\frac{3}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0,4.$
Ответ: $0,4.$
Задача 16. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью $0,8$ погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение: + показать
Возможны следующие события (при условии, что 3 августа хорошая погода):
А) ХХХХ
В) ХОХХ
С) ХХОХ
D) ХХХО
E) ХООХ
F) ХХОО
J) ХООО
H) ХОХО
(Мы отметили за «X» – «хорошая погода», «O» – «отличная погода»)
Интересующие нас события (6 августа – отличная погода): D, F, J, H.
Событие D: XХXO произойдет с вероятностью $0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,128;$
Событие F: ХХОО произойдет с вероятностью $0,8\cdot 0,2\cdot 0,8=0,128;$
Событие J: ХOОО произойдет с вероятностью $0,2\cdot 0,8\cdot 0,8=0,128;$
Событие H: ХОXО произойдет с вероятностью $0,2\cdot 0,2\cdot 0,2=0,008;$
Тогда вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода есть $3\cdot 0,128+0,008=0,392.$
Ответ: $0,392.$
Задача 17. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Решение: + показать
На своем пути паук встречает четыре развилки. И на каждой развилке паук может выбрать путь, ведущий к выходу D, с вероятностью $0,5$ (ведь на каждой развилке возможны два независимых равновозможных события: «выбор верного пути» и «выбор неверного пути»). Паук дойдет до выхода D, если выберет «верный путь» на первой развилке и на второй, и на третьей, и на четвертой, то есть к выходу D паук придет с вероятностью, равной $0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,0625.$
Ответ: $0,0625.$
Задача 18. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью $0,9.$ Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0,01.$ Известно, что у $6$% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.
Решение: + показать
Пусть $p$ – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.
Тогда $1-p$ – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.
Анализ дает положительный результат в случаях
пациент болен и (умножение) анализ положителен
или (сложение)
пациент не болен и анализ ложно положителен
Так как по условию задачи у $6$% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат, то
$p\cdot 0,9+(1-p)\cdot 0,01=0,06;$
$0,9p-0,01p=0,05;$
$0,89p=0,05;$
$p=\frac{5}{89};$
$p=0,05617..$
Округляем до тысячных: $p=0,056$.
Ответ: $0,056.$
Задача 19. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Решение: + показать
Пусть доля больных среди сдающих тест – $p.$
Так как в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование, то
$0,86p+(1-p)\cdot 0,06=0,1;$
$0,86p+0,06-0,06p=0,1;$
$0,8p=0,04;$
$p=0,05.$
Тогда вероятность того, что пациент, тест которого оказался положительным, действительно имеет это заболевание есть
$\frac{0,05\cdot 0,86}{0,1}=0,43.$
Ответ: $0,43.$
Задача 20. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна $0,4$, а при каждом последующем — $0,6$. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0,98$?
Решение: + показать
Переформулируем вопрос задачи:
Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше $0,02$?
При одном выстреле вероятность промаха – $0,6$.
При двух выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4=0,24$ (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).
При трех выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4\cdot 0,4=0,096.$
При четырех выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,0384.$
При пяти выстрелах вероятность промаха – $0,6\cdot 0,4\cdot 0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,01536.$
Замечаем, что $0,01536<0,02$.
Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее $0,98.$
Ответ: $5.$
Задача 21. Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.
Решение: + показать
К пруду или фонтану Артема выведут пути $SABC,SABD,SAEF,SAEGH.$
Путь $SABC$ или $SABD:$
$0,25\cdot 0,5.$
Путь $SAEF:$
$0,25\cdot 0,5.$
Путь $SAEGH:$
$0,25\cdot 0,5\cdot 0,5.$
Искомая вероятность:
$0,25\cdot 0,5+0,25\cdot 0,5+0,25\cdot 0,5\cdot 0,5=0,25+0,0625=0,3125.$
Ответ: $0,3125.$
Задача 22. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа $1$, $3$ и $5$ встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.
Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали $3$ и $5$ очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?
Решение: + показать
Берем кубик. Он обычный (вероятность $\frac{1}{2}$) или необычный (вероятность $\frac{1}{2}$).
На обычном кубике выпадет $3$ и $5$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}.$
На обычном кубике выпадет $5$ и $3$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}.$
На необычном кубике выпадет $3$ и $5$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}.$
На необычном кубике выпадет $5$ и $3$ с вероятностью $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}.$
В каком-то порядке выпадают $3$ и $5$ очков на первом (обычном) кубике – с вероятностью
$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$
В каком-то порядке на каком-то кубике выпадают $3$ и $5$ очков с вероятностью
$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{36}+\frac{1}{9}=\frac{5}{36}.$
Стало быть, вероятность того, что бросали первый кубик, есть
$\frac{\frac{1}{36}}{\frac{5}{36}}=0,2.$
Ответ: $0,2.$
Задача 23. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс.
У Маши уже есть четыре разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?
Решение:+ показать
Случай 1 (красный путь на схеме)
Маша в первом яйце встретила старую принцессу, а во втором яйце – новую:
$0,4\cdot 0,6.$
Случай 2 (синий путь на схеме)
Маша в первом яйце встретила старую принцессу, во втором яйце старую, а в третьем – новую:
$0,4\cdot 0,4\cdot 0,6.$
Тогда Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца с вероятностью
$0,4\cdot 0,6+0,4\cdot 0,4\cdot 0,6=0,336.$
Ответ: $0,336.$
Задача 24. В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Решение: + показать
Выбираем один синий с вероятностью $\frac{8}{25}$
и один красный с вероятностью $\frac{6}{24}$.
Итого
$\frac{8}{25}\cdot \frac{6}{24}=\frac{2}{25}.$
Или выбираем один красный с вероятностью $\frac{6}{25}$ и один синий с вероятностью $\frac{8}{24}$.
Итого
$\frac{6}{25}\cdot \frac{8}{24}=\frac{2}{25}.$
Искомая вероятность есть $\frac{2}{25}+\frac{2}{25}=\frac{4}{25}=0,16.$
Ответ: $0,16.$
Задача 25. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение: + показать
На схеме помечены красным цветом три варианта выпадения в сумме больше трех очков за два броска.
Искомая вероятность есть
$\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{4+5+6}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\approx 0,42.$
Ответ: $0,42.$
Задача 26. В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Решение: + показать
Пусть доля пенсионеров среди мужчин – $p.$
Тогда согласно условию
$0,48p+0,52\cdot 0,15=0,126;$
$0,48p=0,048;$
$p=0,1.$
Ответ: $0,1.$
Задача 27. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Решение: + показать
Сообщение доставлено с первой попытки $0,4$ или со второй $0,6\cdot 0,4.$
То есть вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток, есть $0,4+0,6\cdot 0,4=0,64.$
Ответ: $0,64.$
Задача 28. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?
Решение: + показать
Вероятность поразить мишень за 1-й выстрел равна
$0,2.$
Вероятность поразить мишень за 2 выстрела (то есть цель поражена за 1-й или за 2-й выстрел) равна
$0,2+0,8\cdot 0,2=0,36.$
Вероятность поразить мишень за 3 выстрела (то есть цель поражена за 1-й или за 2-й выстрел или за 3-й выстрел) равна
$0,2+0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,488.$
Вероятность поразить мишень за 4 выстрела равна
$0,2+0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,5904.$
Вероятность поразить мишень за 5 выстрелов равна
$0,2+0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,2+0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,67232>0,6.$
Пяти выстрелов достаточно.
Ответ: $5.$
Задача 29. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Решение: + показать
Возьмем, например, вариант «РРРРРООООО» (5 орлов). Вероятность этого события есть
$(\frac{1}{2})^5\cdot (\frac{1}{2})^5,$
то есть
$(\frac{1}{2})^{10}$
(выпадения орла и выпадение решки – равновероятные события).
Но, наряду с указанным вариантом есть ещё много схожих. Например, «ОРРРРРОООО» или «ОРРОРРРООО»…
Рассчитаем количество подобных вариантов по формуле
$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!\cdot m!}$
$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\cdot5!}$
Тогда вероятность выпадения пяти орлов есть
$(\frac{1}{2})^{10}\cdot \frac{10!}{5!\cdot5!}$
Теперь рассматриваем варианты с четырьмя орлами.
Вероятность события, например, «ООООРРРРРР» есть
$(\frac{1}{2})^5\cdot (\frac{1}{2})^5$ или $(\frac{1}{2})^{10}$
Рассчитаем количество вариантов с четырьмя орлами:
$C_{10}^4=\frac{10!}{6!\cdot 4!}$
Тогда вероятность выпадения четырех орлов есть
$(\frac{1}{2})^{10}\cdot \frac{10!}{6!\cdot 4!}$
Наконец, искомое отношение есть:
$\frac{(0,5)^{10}\cdot C_{10}^5}{(0,5)^{10}\cdot C _{10}^4}=\frac{C_{10}^5}{C_{10}^4}=\frac{6!\cdot 4!}{5!\cdot 5!}=1,2$
Ответ: $1,2.$