Задание №19. Досрочный ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №1-12; №13; №14; №15; №16; №17; №18

19. На доске написано $n$ чисел $a_i$ ($i = 1, 2, …, n$). Каждое из них не меньше $50$ и не больше $150$. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_i$%. При этом либо $r_i = 2$%, либо число $a_i$ уменьшается на $2$, то есть становится равным $a_i – 2$. (Какие-то числа уменьшились на число $2$, а какие-то — на $2$ процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, …, r_n$ быть равным $5$?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, …, r_n$ больше $2$, при этом сумма чисел $a_1, a_2 … a_n$ уменьшилась более чем на $2n$?
в) Пусть всего чисел $30$, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на $40$. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_1, r_2, …, r_n$.

Решение:

а) $r_i =2$% или $r_i=\frac{200}{a_i}.$ Так как по условию $a_i\geq 50,$ то $\frac{200}{a_i}\leq 4$%. Значит среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, …, r_n$ не больше $4,$ то есть не может быть равным $5.$

б) Могло так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_1,r_2, …, r_n$ больше $2$, при этом сумма чисел $a_1, a_2 … a_n$ уменьшилась более чем на $2n$.

Например,

$a_1=50$  уменьшаем на $2$ (то есть на $4$%) и заменяем на $48,$

а  $a_2=150$ уменьшаем на $2$% и заменяем на $147.$

При этом $\frac{r_1+r_2}{2}=3,$ а сумма чисел $a_1,a_2$ уменьшилась на $5.$

в) Пусть $k$ первых чисел ряда $a_1;a_2;…;a_{30}$ уменьшились на $2$ и оставшиеся $30-k$ – на $2$%.

$\large \frac{r_1+r_2+…+r_{30}}{30}=\frac{\frac{200}{a_1}+\frac{200}{a_2}+…+\frac{200}{a_k}+2(30-k)}{30}\leq \frac{4k+2(30-k)}{30}=\frac{k+30}{15}$  (*)

Cумма чисел уменьшилась на $40:$

$2k+\frac{2a_{k+1}}{100}+\frac{2a_{k+12}}{100}+…+\frac{2a_{30}}{100}=40.$

Так как $a_i\geq 50,$ то поскольку $2$% от $a_i$  есть $\frac{2a_i}{100},$ то $\frac{2a_i}{100}\geq 1.$

$40=2k+\frac{2a_{k+1}}{100}+\frac{2a_{k+12}}{100}+…+\frac{2a_{30}}{100}\geq 2k+30-k;$

$k\leq 10.$

Тогда, возвращаясь в (*), получаем:

$\large \frac{r_1+r_2+…+r_{30}}{30}\leq \frac{10+30}{15}=\frac{8}{3}.$

Среднее арифметического чисел $r_1, r_2, …, r_n$ равно $\frac{8}{3}$ для набора, в котором все числа – $50$ и первые $10$ чисел уменьшают на $2$, остальные $20$ чисел уменьшают на $2$%.

Ответ: а) нет; б) да; в) $\frac{8}{3}.$