Задание №18. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №19

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

$\begin{cases}
x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\
x^2=y^2;
\end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Решение:

$\begin{cases}
x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\
x^2=y^2;
\end{cases}$

Вторая строка системы – прямые $y=\pm x.$ Действительно,

$x^2-y^2=0;$

$(x-y)(x+y)=0;$

$y=x$ или $y=-x.$

Четыре решения исходная система будет иметь в случае, если линия, задаваемая первой строкой, дважды пересекается с прямыми $y=\pm x,$ причем все эти четыре точки пересечения различны (совпадение точек возможно было бы только в точке $(0;0)$, точке пересечения прямых $y=x,y=-x$).

1) $y=x.$

Потребуем  $D>0$ для $x^2+x^2-4(a+1)x-2ax+5a^2+8a+3=0.$

Для $2x^2-2(3a+2)x+5a^2+8a+3=0$  $D=(3a+2)^2-10a^2-16a-6.$

Тогда решим неравенство:

$9a^2+12a+4-10a^2-16a-6>0;$

$-a^2-4a-2>0;$

$a^2+4a+2<0;$

$(a-(-2-\sqrt2))(a-(-2+\sqrt2))<0;$

$a\in (-2-\sqrt2;-2+\sqrt2).$

2)  $y=-x.$

Потребуем  $D>0$ для $x^2+x^2-4(a+1)x+2ax+5a^2+8a+3=0.$

Для $2x^2-2(a+2)x+5a^2+8a+3=0$  $D=(a+2)^2-10a^2-16a-6.$

Тогда решим неравенство:

$a^2+4a+4-10a^2-16a-6>0;$

$9a^2+12a+2<0;$

$(a-\frac{-2-\sqrt2}{3})(a-\frac{-2+\sqrt2}{3})<0;$

$a\in (\frac{-2-\sqrt2}{3};\frac{-2+\sqrt2}{3}).$

3) $y=x=0.$

$5a^2+8a+3=0;$

$a=-1$ или $a=-0,6.$

Итак, 

$a\in (\frac{-2-\sqrt2}{3};-1)\cup (-1;-0,6)\cup (-0,6;-2+\sqrt2).$

Ответ: $(\frac{-2-\sqrt2}{3};-1)\cup (-1;-0,6)\cup (-0,6;-2+\sqrt2).$