05. Простейшие логарифмические уравнения

$log_9(13-x)=log_910;$

$13-x=10;$

$x=3$.

Ответ: $3.$ 

 $log_2(4-x)=8;$

$log_2(4-x)=log_22^8;$

$log_2(4-x)=log_2256;$

$4-x=256;$

$x=-252.$

Ответ: $-252.$ 

$log_8(x+9)=log_8(2x-17);$

\begin{cases}x+9=2x-17,\\x+9>0;\end{cases}

Неравенство появилось исходя из того, что, согласно определению логарифма, подлогарифмное выражение должно быть положительным. А второе неравенство $2x-17>0$ для системы  является лишним, ведь раз $x+9=2x-17$ и мы указали, что $x+9>0$, то автоматически $2x-17>0$.

То есть в таких случаях мы вольны выбирать  неравенство попроще.

\begin{cases}x=26,\\x+9>0;\end{cases}

$x=26.$

Ответ: $26.$ 

«Отбросить» логарифмы мы сможем только тогда, когда $2$ будет «спрятана в логарифм».

 Есть для этого подходящее свойство:

$\color{color}log_{a} x^{n}=n\:log_{a}x$.

Имеем:

$log_2(9-x)=log_23^2;$

Тогда

$9-x=9;$

(ОДЗ – соблюдено).

$x=0.$

Ответ: $0.$ 

«Отбросить» логарифмы мы сможем только тогда, когда $1$ будет «спрятана в логарифм».

 Есть для этого подходящее свойство:

$\color{red}log_{a} x+\log_ay=\log_{a}xy$.

Предварительно представим $1$ как $\log_44$.

Имеем

$\log_4(5-x)=\log_4(2-x)+1 \;\Leftrightarrow \;\log_4(5-x)=\log_4(4(2-x)).$

Тогда

\begin{cases}5-x=4(2-x),\\5-x>0;&\end{cases}

\begin{cases}x=1,\\x<5;\end{cases}

$x=1.$

Ответ: $1.$ 

 $\log_{x-3}81=4\;\Leftrightarrow \;\log_{x-3}81=\log_{x-3}(x-3)^4$.

Тогда, переходим к равносильной системе (помним о том, что  основание логарифма больше нуля,  не равно 1 и подлогарифмное выражение положительно):

\begin{cases}(x-3)^4=81,\\x-3>0,\\x-3\neq 1,\end{cases}

\begin{cases}(x-3)^4=3^4,\\x>3,\\x\neq 4;\end{cases}

\begin{cases}x-3=\pm 3,\\x>3,\\x\neq 4;\end{cases}

\begin{cases}x=3\pm 3,\\x>3,\\x\neq 4;\end{cases}

Итак,  решение:

$x=6.$

Ответ: $6.$ 

Уравнение равносильно следующему (применили упоминавшееся уже свойство $\color{red}log_{a} x^{n}=n\:\log_{a}x$):

$(5x-6)\log_{16}2=4;$

И поскольку

$\log_{16}2=\log_{2^4}2=\frac{1}{4}\log_22=\frac{1}{4}$

(применили свойство $\color{red}log_{{a}^{p}}x=\frac{1}{p}log_{a}x$),

то

$(5x-6)\cdot \frac{1}{4}=4;$

$5x-6=16;$

$x=4,4.$

Ответ: $4,4.$ 

$2^{\log_8(4x-5)}=7;$

$2^{\log_{2^3}(4x-5)}=7;$

$2^{\frac{1}{3}\log_2(4x-5)}=7;$

$2^{\log_2(4x-5)^\frac{1}{3}}=7.$

Теперь самое время применить формулу

$\Large\color{red}{a^{log_{a}b\;}=b}\;$ $\color{red}(a>0, a\neq1, b>0)$:

$(4x-5)^\frac{1}{3}=7;$

Возводим в куб обе части уравнения:

$4x-5=7^3;$

$4x-5=343;$

$x=87.$

Ответ: $87.$