Производная функции

Определение производной

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$, если этот предел существует.

$\color{red}f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Пример. + показать

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования

Геометрический смысл производной

+ показать

Производная  в точке $\color{red}x_0$  равна тангенсу угла   наклона   касательной к графику функции $\color{red}f(x)$ в этой точке:

$\color{red}f'(x_0)=tg\alpha$,

где $\alpha$ – угол наклона касательной (проведенной  к $f(x)$ в т. $x_0$)

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси $x$ и ее координаты изменяются по закону $x(t)$, то мгновенная скорость точки:

$\color{red}v(t)=x'(t)$,

а ускорение:

$\color{red}a(t)=v'(t)=x”(t)$

Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=6t^2-48t+17$, где $x(t)$  — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=9$.

Решение: + показать

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику $f(x)$ в точке $x_0$:

$\color{red}y_k=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Пример. Составить уравнение касательной к графику функции $y=\frac{1}{3}x^3-4x+1$ в точке $x_0=3$.

Решение: + показать

Смотрите также  «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»