Иррациональные уравнения. Часть 2

$x=0$ не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на $x$:

$\frac{x}{\sqrt{2x+5}}+\frac{\sqrt{2x+5}}{x}=2;$

Замена:

Пусть $\frac{x}{\sqrt{2x+5}}=t.$

$t+\frac{1}{t}=2;$

$t^2-2t+1=0;$

$t=1;$

Обратная замена:

$\frac{x}{\sqrt{2x+5}}=1;$

$x=\sqrt{2x+5};$

$\begin{cases}x^2=2x+5,\\x>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x^2-2x-5=0,\\x>0;&\end{cases}$

$x=1+\sqrt6;$

Ответ: $1+\sqrt6.$ 

Замена:

$\sqrt[3]{12-x}=a,\;\sqrt[3]{14+x}=b.$

Тогда

$\begin{cases}a+b=2,\\a^3+b^3=26;&\end{cases}$

Ко второй строке применяем формулу “сумма кубов” и учитываем первую строку во второй:

$\begin{cases}a+b=2,\\(a+b)(a^2-ab+b^2)=26;&\end{cases}$

$\begin{cases}a+b=2,\\2(a^2-ab+b^2)=26;&\end{cases}$

$\begin{cases}a+b=2,\\a^2-ab+b^2=13;&\end{cases}$

Вторую строку сворачиваем в квадрат суммы:

$\begin{cases}a+b=2,\\(a+b)^2-3ab=13;&\end{cases}$

$\begin{cases}a+b=2,\\4-3ab=13;&\end{cases}$

$\begin{cases}a+b=2,\\ab=-3;&\end{cases}$

$\begin{cases}a=2-b,\\(2-b)b=-3;&\end{cases}$

$\begin{cases}a=2-b,\\b^2-2b-3=0;&\end{cases}$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}b=3,\\a=-1;\end{cases}\\\begin{cases}b=-1,\\a=3;\end{cases}\end{array}\right.$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{rcl}\sqrt[3]{12-x}=-1,\\\sqrt[3]{12-x}=3;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}12-x=-1,\\12-x=27;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}x=13,\\x=-15;\end{array}\right.$

Ответ: $-15; 13.$ 

Возведем обе части в квадрат:

$2x+3+2\sqrt{2x+3}\sqrt{x+1}+x+1=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;$

$3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2;$

Обратите внимание, что при этом $x\geq -1,$  а также $3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16\geq 0.$

То есть перед нами система

$\begin{cases}3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2,\\x\geq -1,\\2\sqrt{2x^2+5x+3}\geq 16-3x;\end{cases}$

Выйдем на время из системы и решим уравнение $3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=(3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16)^2$ через замену переменной: $t=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}$.

Тогда имеем:

$t=(t-20)^2,$ при этом $t\geq 20$ (см. последнее неравенство системы)

$t^2-41t+400=0,\;t\geq 20;$

$t=\frac{41\pm \sqrt{41^2-1600}}{2},\;t\geq 20;$

$t=\frac{41\pm 9}{2},\;t\geq 20;$

$t=25;$

Обратная замена:

$3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}=25$,

$2\sqrt{2x^2+5x+3}=21-3x;$

$8x^2+20x+12=(21-3x)^2,\;x\leq 7;$

$8x^2+20x+12=441-126x+9x^2,\;x\leq 7;$

$x^2-146x+429=0,\;x\leq 7;$

$x=73\pm 70,\;x\leq 7;$

$x=3;$

Найденный корень удовлетворяет исходной системе.

Ответ: $3.$ 

Выделим полный квадрат под корнями:

$x+5-4\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-2)^2,\; x+2-2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-1)^2.$

Тогда $\sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2}=1;$

Стало быть,

$|\sqrt{x+1}-2|+|\sqrt{x+1}-1|=1;$

Нам предстоит раскрыть модули.

У нас три случая:

1) $\sqrt{x+1}>2,$ то есть $x>3;$

2) $1\leq \sqrt{x+1}\leq  2$, то есть $0\leq x\leq 3;$

3) $\sqrt{x+1}<1$, то есть $-1\leq x<0;$

Итак,

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>3,\\\sqrt{x+1}-2+\sqrt{x+1}-1=1;\end{cases}\\\begin{cases}0\leq x\leq 3,\\-\sqrt{x+1}+2+\sqrt{x+1}-1=1;\end{cases}\\\begin{cases}-1\leq x<0,\\-\sqrt{x+1}+2-\sqrt{x+1}+1=1;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>3,\\\sqrt{x+1}=2;\end{cases}\\\begin{cases}0\leq x\leq 3,\\1=1;\end{cases}\\\begin{cases}-1\leq x<0,\\\sqrt{x+1}=1;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x>3,\\x=3;\end{cases}\\0\leq x\leq 3;\\\begin{cases}-1\leq x<0,\\x=0;\end{cases}\end{array}\right.$

Откуда $0\leq x\leq 3.$