2. На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, до скольких градусов Цельсия двигатель нагрелся за первые $8$ минут с момента запуска.
Длина средней линии трапеции – есть полусумма длин оснований: $\frac{5+7}{2}$, то есть $6.$
Ответ: $6.$
4. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна $0,25$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна $0,35$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
6. У треугольника со сторонами $12$ и $15$ проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна $10$. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.
Пусть $AH_1,BH_2$ – высоты треугольника $ABC,$ проведенные к сторонам $BC, AC,$ равным $12$ и $15$ соответственно.
По условию $AH_1=10,$ найдем $BH_2.$
С одной стороны $S_{ABC}=\frac{AH_1\cdot BC}{2},$ с другой – $S_{ABC}=\frac{BH_2\cdot AC}{2}.$
Поэтому
$\frac{10\cdot 12}{2}=\frac{BH_2\cdot 15}{2};$
$BH_2=\frac{10\cdot 12}{15};$
$BH_2=8.$
Ответ: $8.$
7. На рисунке изображён график $y=f'(x)$ производной функции $f(x)$ и шесть точек на оси абсцисс: $x_1,x_2,…x_6.$ В скольких из этих точек функция $f(x)$ возрастает?
Функция возрастает в четырех точках: $x_3;x_4;x_5;x_6,$ так как в этих точках производная функции положительна, в отличие производной в остальных точках.
Ответ: $4.$
8.Шар вписан в цилиндр объемом $42$. Найдите объем шара.
10. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной $l$ км с постоянным ускорением $a$ км/ч$^2,$ вычисляется по формуле $V=\sqrt{2la}.$ Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $1,1$ километра, приобрести скорость не менее $110$ км/ч. Ответ выразите в км/ч$^2$.
Не забываем переводить минуты в часы – $50$ минут – $\frac{5}{6}$ часа.
Скорость работы первой трубы – $\frac{1}{7}.$
Скорость работы двух труб – $\frac{1}{5\frac{5}{6}}$ или $\frac{6}{35}.$
Скорость работы двух труб складывается из скоростей работы каждой трубы. Поэтому скорость работы второй трубы – $\large \frac{6}{35}-\frac{1}{7},$ то есть $\large \frac{1}{35}.$
Итак, одна вторая труба заполнит бассейн за $\large \frac{1}{\frac{1}{35}},$ то есть за $35$ часов.
Ответ: $35.$
12. Найдите точку максимума функции $y=(2x-1)cosx-2sinx+5$ на промежутке $(0;\frac{\pi}{2}).$
б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[log_25;log_211].$
Функция $y=log_2x$ – возрастающая, поэтому
$log_24<log_25<log_27<log_211.$
Итак, в отрезок $[log_25;log_211]$ попала только точка $x=log_27.$
Ответ:
а) $log_27$, $2.$
б) $log_27.$
14.В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $6,$ а боковое ребро $AA_1$ равно $4\sqrt3.$ На ребрах $AB,A_1D_1$ и $C_1D_1$ отмечены точки $M,N$ и $K$ соответственно, причем $AM=A_1N=C_1K=1.$
а) Пусть $L$ – точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $BC$. Докажите, что $MNKL$ – квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK.$
Далее, пусть $N_1$ – проекция $N$ на $ABC,$ $L_1$ – проекция $L$ на $AD.$
Имеем
$NL^2=NN_1^2+N_1L^2;$
$NL^2=NN_1^2+(N_1L_1^2+L_1L^2);$
$NL^2=48+(16+36);$
$NL^2=100.$
Наконец, замечаем, что для треугольника $NML$ выполняется $NL^2=MN^2+ML^2.$ Действительно, $100=(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2.$ То есть по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $NML$ прямоугольный ($\angle M$ – прямой.)
Итак, мы показали, что четырехугольник $MNKL$ – параллелограмм с равными сторонами и прямым углом, то есть $MNKL$ – квадрат.
б)
$S_{MPNKQL}=S_{MNKL}+S_{PNM}+S_{KQL}.$
Площадь квадрата $MNKL$ равна $(5\sqrt2)^2,$ то есть $50.$
Несложно заметить, что $P$ – середина $AA_1$ (из равенства треугольников $EA_1P,MAP$). Аналогично и $Q$ – середина $CC_1$. Треугольники $MPN,LQK$ равны.
$PN=PM=\sqrt{(2\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{13}.$
Для треугольника $PNM$ $p=\frac{2\sqrt{13}+5\sqrt2}{2}=\sqrt{13}+2,5\sqrt2.$
16. Точка $O$ – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $I$ ‐ центр вписанной в него окружности, $H$ ‐ точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC=\angle OBC+\angle OCB.$
а) Докажите, что точка $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC$.
б) Найдите угол $OIH$, если $\angle ABC=55^{\circ}.$
a) Очевидно, треугольник $BOC$ равнобедренный ($BO,OC$ равны как радиусы). Пусть $\angle OBC=\angle OCB=\alpha.$
Согласно условию $\angle A=2\alpha.$
Но углы $BOC, BAC$ – соответствующие друг другу центральный и вписанный углы, поэтому $\angle BOC=4\alpha.$
Из треугольника $BOC:$
$6\alpha=180^{\circ},$
откуда
$\alpha =30^{\circ}.$
Итак, $\angle A=60^{\circ},\angle BOC=120^{\circ}.$ На сумму углов $B,C$ из треугольника $ABC$ остается $120^{\circ}.$ А сумма половин углов $B,C$ (то есть $\angle IBC+\angle ICB$) равна $60^{\circ}.$ Тогда в треугольнике $BIC$ угол $I$ равен $120^{\circ}.$
Итак, $\angle BOC=\angle BIC,$ а это означает, что точка $I$ попадает на окружность, описанную около треугольника $BOC.$
Что и требовалось доказать.
(подробнее, почему равенство указанных углов «укладывает» точку $I$ на окружность можно посмотреть здесь).
Пусть $Q$ – основание перпендикуляра, проведенного из $B$ к $AC,$ $T$ – основание перпендикуляра, проведенного из $C$ к $AB,$ $L$ – основание перпендикуляра, проведенного из $A$ к $BC.$
Тогда $\breve{OIH}=10^{\circ},$ так как $\angle OBH$ – вписанный угол, опирающийся на дугу $OIH.$
Стало быть, большая $\breve{OH}$ равна $350^{\circ},$ а именно на нее опирается вписанный угол $OIH,$ что мы ищем. Потому $\angle OIH=175^{\circ}.$
Ответ: б) $175^{\circ}.$
17. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10$% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на $3$ млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше $25$ млн рублей.
Пусть $n$ – целое число миллионов рублей (первоначальный вклад под $10$% годовых).
Заметим, увеличение вклада на $10$% по сравнению с его размером в начале года означает, что новая сумма вклада станет составлять $110$% старого, то есть увеличение некоторой величины на $10$% – умножение этой величины на коэффициент$1,1.$
На вкладе в конце первого года:
$n\cdot 1,1$ млн. рублей.
На вкладе в конце второго года:
$n\cdot 1,1^2$ млн. рублей.
На вкладе на начало третьего года:
$n\cdot 1,1^2+3$ млн. рублей.
На вкладе в конце третьего года:
$n\cdot 1,1^3+3\cdot 1,1$ млн. рублей.
На вкладе на начало четвертого года:
$n\cdot 1,1^3+3\cdot 1,1+3$ млн. рублей.
На вкладе в конце четвертого года:
$n\cdot 1,1^4+3\cdot 1,1^2+3\cdot 1,1$ млн. рублей.
Так как нас интересует наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше $25$ млн. рублей, то найдем наибольшее натуральное $n$ из неравенства:
$n\cdot 1,1^4+3\cdot 1,1^2+3\cdot 1,1<25;$
$n<\frac{25-3\cdot 1,1^2-3\cdot 1,1}{1,1^4};$
$n<\frac{100(2500-363-330)}{121^2};$
$n<\frac{180700}{14641};$
$n<12\frac{5008}{14641};$
Откуда наибольшее натуральное $n$ – это $12.$
Ответ: $12$.
18.Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений
Уравнение $(y-3)(xy-3)=0$ задает объединение прямой $y=3$ и гиперболы $y=\frac{3}{x}.$ При условии $x>-3$ указанные линии «урезаются».
$y=ax$ – семейство прямых, проходящих через точку $(0;0).$
Рассмотрим, сколько раз пересекает прямая $y=ax$ объединение синих линий (см. рис.), отвечающее уравнению $\frac{xy^2-3xy-3y+9}{\sqrt{x+3}}=0$ в зависимости от $a.$
Случай $a\leq 0$ нам не подходит, так как гипербола располагается в $I, III$ четвертях, и более одного решения мы никак не получим.
Сразу выделяем случай $a=3,$ когда прямая $y=ax$ проходит через точку $A(1;3),$ точку пересечения прямой $y=3$ и гиперболы $y=\frac{3}{x}.$ Имеем два решения исходной системы.
Также стоит отметить случай прохождения прямой $y=ax$ через точку $B(-3;-1)$, точку пересечения гиперболы с прямой $x=-3$. В этом случае, при $a=\frac{1}{3},$ прямая $y=ax$ пересечет гиперболу один раз и прямую $y=3$ один раз (в разных точках). Имеем два решения исходной системы.
При $a>3$ прямая $y=ax$ дважды пересечет гиперболу и один раз прямую $y=3,$ все три точки пересечения различны. Случай не подходит.
При $a\in (\frac{1}{3};3)$ прямая $y=ax$ дважды пересекается с гиперболой и один раз с прямой $y=3$ (все три точки различны). Случай не подходит.
Наконец, в случае $a\in (0;\frac{1}{3})$ прямая $y=ax$ один раз пересекается с гиперболой и один раз с прямой $y=3$ (точки различны). Имеем два решения исходной системы.
Нами рассмотрены все значения $a$.
Итак, при $a\in (0;\frac{1}{3}]\cup ${$3$} исходная система имеет два решения.
Ответ: $(0;\frac{1}{3}]\cup ${$3$}.
Замечание: полезно посмотреть похожие задания с параметром 1 и 2.
19. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {$200;201;202;…;299$} хорошим?
б) Является ли множество {$2;4;8;…;2^{100}$} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества
Замечаем, что всего во множестве $100$ чисел. Суммы все пар, таких как $(200;299)$, $(201;298)$, $(202;297)$,…, $(249;250)$ одинаковы. Пар всего $50$. Отправляем любые двадцать пять пар в одно множество, двадцать пять остальных – в другое. Получаем два подмножества с одинаковой суммой чисел.
б) Множество {$2;4;8;…;2^{100}$} не является хорошим, так как число $2^{100}$ больше суммы всех остальных чисел данного множества. Действительно,
в) Хорошие четырехэлементные подмножества множества
{$1;2;4;5;7;9;11$} могут быть таковы:
1) сумма трех элементов его равна четвертому;
2) сумма двух элементов его равна сумме двух других.
Рассмотрим первый случай.
Может ли в подмножество попасть только одно четное число?
Нет. Так как в этом случае сумма тройки чисел, содержащей одно четное и два нечетных числа, четна. Тогда на роль четвертого элемента, равного сумме трех указанных нечего выбрать.
Могут ли в нужное подмножество четные числа вообще не попасть? Нет, так как, взяв даже $1;5;7$ имеем сумму $13.$
Стало быть, в нужное подмножество попадают оба четных числа.
Несложно подобрать подходящие варианты: {$1;2;4;7$} и {$2;4;5;11$}.
Рассмотрим второй случай.
Может ли в подмножество попасть только одно четное число?
Нет, иначе одна сумма будет четна, вторая нечетна.
Могут ли в нужное подмножество четные числа вообще не попасть?
Да. Из {$1;5;7;9;11$} можно выделить такие подмножества:
Наконец, может ли в нужное подмножество попасть оба четных числа? Да. Тогда либо $2$ и $4$ потребуют, чтобы сумма двух других элементов, как их сумма была бы $6$ (а такой вариант один – {$1;2;4;5$}) либо в равных суммах $2+x,$ $4+y$ ($x,y$ – из $1;5;7;9;11$) $x$ на два больше $y.$ То есть на роль $x$ и $y$ можно взять, соответственно, пары $(5;7),(7;9),(9;11).$ Получаем хорошие подмножества: {$2;4;5;7$},{$2;4;7;9$},{$2;4;9;11$}.
Елена! Большое спасибо за подробные и понятные решения. Отдельная благодарность за задачу №16. Вы делаете БЛАГОЕ дело: помогаете тем, кто желает разобраться в хитросплетениях математических задач! Ещё раз СПАСИБО в степени n!(факториал)! (восклицательный знак)
[ Ответить ]
egeMax
2016-04-06 в 20:46
;)
[ Ответить ]
Галина
2016-04-08 в 08:33
Как здорово, что Вы есть на свете и у нас, всех, любящих математику. Преклоняюсь перед вами, Елена! Вы бескорыстны и умны – это самые лучшие человеческие качества.
[ Ответить ]
egeMax
2016-04-08 в 14:49
;)
[ Ответить ]
Елена
2016-04-08 в 19:49
Спасибо огромное! Благодарю за помощь в разборе хитросплетений математических! Всех благ!!
[ Ответить ]
Валерия
2016-04-10 в 07:10
здравствуйте ! спасибо за подробное объяснение ! Но у меня такой вопрос . Можно 15 номер решать методом интервалов ?И еще … если можно , то мы расставляем корни с учетом ОДЗ ? (то есть корни и ОДЗ на одной прямой , верно ?)
[ Ответить ]
egeMax
2016-04-10 в 09:24
Можно. Обязательно с учетом одз! Но основная волна не проходит, конечно, через ключевые точки одз. ОДЗ лучше после нанести.
[ Ответить ]
Анастасия
2016-04-10 в 17:38
Здравствуйте, подскажите, что можно сделать сжтой скобкой, чтобы построить ((2x-4)^2+(2y-3)^2)
[ Ответить ]
egeMax
2016-04-10 в 22:04
[latexpage]$\frac{1}{4}((x-2)^2+(y-1,5)^2).$
[ Ответить ]
Анастасия
2016-04-11 в 10:13
Не получается получить 2 решения:
Система:
((X+3)^2+(y+4)^2-17)((2x-4)^2+(2y-3)^2)<0
y=1+ax
[ Ответить ]
egeMax
2016-04-11 в 12:43
[latexpage]Замечаем, что $(x-2)^2+(y-1,5)^2\geq 0,$ при этом точка $(2;1,5),$ в которой $(x-2)^2+(y-1,5)^2=0$ не удовлетворяет неравенству. Поэтому исходное неравенство равносильно следующему: $(x+3)^2+(y+4)^2<17.$
Постройте круг с открытой границей $(x+3)^2+(y+4)^2<17.$
Через точку $(0;1)$ проходит прямая $y=1+ax.$ Начните ее вращать вокруг точки $(0;1)$.
А вообще, с условием у вас что-то не так...
[ Ответить ]
Анастасия
2016-04-11 в 13:23
Спасибо большое, вот и у меня не получилось.
Наверное, где-то опечатка..
[ Ответить ]
Нина
2016-04-10 в 22:52
Здравствуйте! В решении задачи 7: производная в точках х3, х4, х5, х6 ?отрицательна?
[ Ответить ]
egeMax
2016-04-11 в 12:34
Спасибо, была опечатка)
[ Ответить ]
Елена
2016-04-17 в 13:21
БОЛЬШОЕ СПАСИБО,Елена Юрьевна!!!что так оперативно откликнулись на мою просьбу!!к сожалению,комп мой был в ремонте-поэтому только сегодня смогла увидеть…
и как всегда-Ваши решения подробные и оч понятные!!!
СПАСИБО Вам за Ваш бескорыстный труд!!!
С уважением Елена……
[ Ответить ]
вова
2016-04-19 в 11:55
пиши как знаешь
[ Ответить ]
Ксения
2016-04-28 в 17:42
Почему в задаче 16 пункт б) угол IAC=30°?
[ Ответить ]
egeMax
2016-04-30 в 00:06
I – точка пересечения биссектрис.
[ Ответить ]
Артур
2016-05-17 в 18:48
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два
подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество 100;101;102; ;199 хорошим?
б) Является ли множество 200 2; 4;8; ; 2 хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества
1; 3; 4; 5; 6; 7; 9;11;12 ?
Можете решить в)
[ Ответить ]
egeMax
2016-05-17 в 19:55
Артур, что мешает вам решить в) по аналогии с разобранным номером?
[ Ответить ]
Андрей
2016-05-18 в 19:05
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества
1; 3; 4; 5; 6; 7; 9;11;12 ?
А что значит четырехэлементных подмножеств?
[ Ответить ]
egeMax
2016-05-18 в 21:30
Подмножества из основного множества, состоящие из четырех элементов.
[ Ответить ]
Александр
2016-05-25 в 17:49
здравствуйте, мне кажется, что в 14 задании не стоило находить NK через подобие. У нас по условию A1N=C1K=1
значит ND1=D1K=A1D1-A1N=6-1=5 и NK1^2=ND1^2 + D1N^2=5^2 + 5^2
NK=5 корней из 2
[ Ответить ]
egeMax
2016-05-25 в 23:26
Думаю, у меня не дольше вашего получилось)))… Это, как мне кажется, уже такие мелочи… Каждый выбирает свое…
[ Ответить ]
Александр
2016-05-26 в 15:10
то же верно:)
[ Ответить ]
egeMax
2016-05-26 в 15:17
;)
[ Ответить ]
Александр
2016-06-05 в 17:11
скажите, пожалуйста, почему вы утверждаете, что треугольники ЕА1Р и МАР равны? по какому признаку? (задание 14, пункт б)
Елена! Большое спасибо за подробные и понятные решения. Отдельная благодарность за задачу №16. Вы делаете БЛАГОЕ дело: помогаете тем, кто желает разобраться в хитросплетениях математических задач! Ещё раз СПАСИБО в степени n!(факториал)! (восклицательный знак)
;)
Как здорово, что Вы есть на свете и у нас, всех, любящих математику. Преклоняюсь перед вами, Елена! Вы бескорыстны и умны – это самые лучшие человеческие качества.
;)
Спасибо огромное! Благодарю за помощь в разборе хитросплетений математических! Всех благ!!
здравствуйте ! спасибо за подробное объяснение ! Но у меня такой вопрос . Можно 15 номер решать методом интервалов ?И еще … если можно , то мы расставляем корни с учетом ОДЗ ? (то есть корни и ОДЗ на одной прямой , верно ?)
Можно. Обязательно с учетом одз! Но основная волна не проходит, конечно, через ключевые точки одз. ОДЗ лучше после нанести.
Здравствуйте, подскажите, что можно сделать сжтой скобкой, чтобы построить ((2x-4)^2+(2y-3)^2)
[latexpage]$\frac{1}{4}((x-2)^2+(y-1,5)^2).$
Не получается получить 2 решения:
Система:
((X+3)^2+(y+4)^2-17)((2x-4)^2+(2y-3)^2)<0
y=1+ax
[latexpage]Замечаем, что $(x-2)^2+(y-1,5)^2\geq 0,$ при этом точка $(2;1,5),$ в которой $(x-2)^2+(y-1,5)^2=0$ не удовлетворяет неравенству. Поэтому исходное неравенство равносильно следующему: $(x+3)^2+(y+4)^2<17.$
Постройте круг с открытой границей $(x+3)^2+(y+4)^2<17.$
Через точку $(0;1)$ проходит прямая $y=1+ax.$ Начните ее вращать вокруг точки $(0;1)$.
А вообще, с условием у вас что-то не так...
Спасибо большое, вот и у меня не получилось.
Наверное, где-то опечатка..
Здравствуйте! В решении задачи 7: производная в точках х3, х4, х5, х6 ?отрицательна?
Спасибо, была опечатка)
БОЛЬШОЕ СПАСИБО,Елена Юрьевна!!!что так оперативно откликнулись на мою просьбу!!к сожалению,комп мой был в ремонте-поэтому только сегодня смогла увидеть…
и как всегда-Ваши решения подробные и оч понятные!!!
СПАСИБО Вам за Ваш бескорыстный труд!!!
С уважением Елена……
пиши как знаешь
Почему в задаче 16 пункт б) угол IAC=30°?
I – точка пересечения биссектрис.
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два
подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество 100;101;102; ;199 хорошим?
б) Является ли множество 200 2; 4;8; ; 2 хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества
1; 3; 4; 5; 6; 7; 9;11;12 ?
Можете решить в)
Артур, что мешает вам решить в) по аналогии с разобранным номером?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества
1; 3; 4; 5; 6; 7; 9;11;12 ?
А что значит четырехэлементных подмножеств?
Подмножества из основного множества, состоящие из четырех элементов.
здравствуйте, мне кажется, что в 14 задании не стоило находить NK через подобие. У нас по условию A1N=C1K=1
значит ND1=D1K=A1D1-A1N=6-1=5 и NK1^2=ND1^2 + D1N^2=5^2 + 5^2
NK=5 корней из 2
Думаю, у меня не дольше вашего получилось)))… Это, как мне кажется, уже такие мелочи… Каждый выбирает свое…
то же верно:)
;)
скажите, пожалуйста, почему вы утверждаете, что треугольники ЕА1Р и МАР равны? по какому признаку? (задание 14, пункт б)
по катету и острому углу