Элементы треугольника. Высоты

Определение

Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника.

Свойства

1. Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон

2.  Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному

4. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники

Некоторые формулы, связанные с высотой треугольника

• $h_a=\frac{2S}{a},$

где $S$ — площадь треугольника, $a$ — длина стороны треугольника, на которую опущена высота

• $h=\frac{a\sqrt 3}{2}$ — высота в равностороннем треугольнике
• $h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=bc:ac:ab$