Квадратичная функция

Что же будет, если мы будем брать $a=2$, $a=-3$, $a=0.5$? Как изменится поведение параболы? При $|a|>1$ парабола  $y=ax^2$ изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой $y=x^2$ (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы $y=x^2$ (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях $x$  ордината  $y$  каждой точки умножилась на 4.  Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной  таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при $|a|<1$ парабола $y=ax^2$  «станет шире»  параболы $y=x^2$:

Давайте подитожим:

 Теперь давайте введем в игру $c$ (то есть рассматриваем случай, когда $c\neq 0$), будем рассматривать параболы вида $y=ax^2+c$. Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы $y=ax^2$ вдоль оси $(oy)$ вверх или вниз в зависимости от знака $c$:

http://youtu.be/mQqrrc9yExM

Когда же парабола “оторвется” от оси $(oy)$ и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда $b$ перестанет быть равным $0$.

Здесь для построения параболы $y=ax^2+bx+c$ нам понадобится формула для вычисления вершины: $x_o=\frac{-b}{2a}$,   $y_o=y(x_o)$.

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу $y=ax^2$, что уже нам по силам. Если  имеем дело со случаем $a=1$, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с $a=2$, например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы $y=x^2-4x-2$:

$x_o=\frac{4}{2}=2$,  $y_o=(2)^2-4\cdot 2 -2=-6$. Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы $y=x^2$,  ведь $a=1$ в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку $(0;c)$.  Действительно, подставив в формулу $y=ax^2+bx+c$ x=0, получим, что $y=c$. То есть ордината точки пересечения параболы  с осью (оу), это $c$.   В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке $-2$, так как $c=-2$.

2) осью симметрии параболы является прямая $x=\frac{-b}{2a}$, поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая $y$ к $0$, мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение $ax^2+bx+c=0$. В зависимости от дискриминанта, будем получать одну ($D=0$,  $x=-\frac{b}{2a}$), две ($D>0$, $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$) или нИсколько ($D<0$) точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас  корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения  с осью (ох) у нас будут (так как $D>0$), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины $(x_o;y_o)$ параболы по формуле $x_o=\frac{-b}{2a}$,   $y_o=y(x_o)$.

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену $c$, строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение $c$ велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу $y=ax^2$. Если $|a|>1$, то парабола $y=ax^2$ становится у’же по сравнению с $y=x^2$, если $|a|<1$, то парабола расширяется по сравнению с $y=x^2$

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение $ax^2+bx+c=0$

Пример 1

Пример  2

Возьмем квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ и выделим в нем полный квадрат: $ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a((x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c.$ Посмотрите, вот мы и получили, что $m=\frac{-b}{2a}$, $n=-\frac{b^2}{4a}+c=y(\frac{-b}{2a})$. Мы с вами ранее называли   вершину параболы $(x_o; y_o)$, то есть теперь $x_o=m$, $y_o=n$.

Например,  $y=-\frac{1}{3}{(x+2)}^2+6$. Отмечаем на плоскости вершину параболы $(-2; 6)$, понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно $y=x^2$). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).