Квадратное уравнение

Загляни сюда, – вдруг узнаешь себя!

Надеюсь, вы внимательно изучили таблицу, приведенную выше. Если все еще есть вопросы, – давайте разбираться.

Во первых, почему рассматриваются только случаи при $a\neq 0$? Просто потому, что при $a=0$ у нас уже будет не квадратное уравнение, а линейное.

Формулу дискриминанта знают практически все, но почему же тогда возникают все же сложности с решением уравнений?

Начнем с того, что иногда происходит путаница с коэффициентами $a$, $b$ и $c$. Ни в коем случае мы не считаем, что $a$ – это тот коэффициент, что стоит на первом месте! Но – тот, что при $x^2$. Давайте договоримся, что будем приводить всякое квадратное уравнение к стандартному виду, ставя на первое место слагаемое, содержащее $x^2$, на последнее – свободный от $x$ член (если таковой имеется). Например, уравнение $-8+2x+x^2=0$ будем переписывать так $x^2+2x-8=0$.

Далее, некоторых может сбить с толку минусовой коэффициент при старшем члене (то есть $a$). В этом случае советую домножать обе части уравнения на -1. Например, встречая уравнение $-2a^2+a+1=0$, переписывать его в таком виде $2a^2-a-1=0$, и только потом высчитывать дискриминант, находить корни.

И, наконец, замечу, находятся и такие товарищи, которые, встречая, например, уравнение $x^2-3x=10$, спешат выносить $x$ за скобку, путая это уравнение с неполным. Нет, это обычное полное квадратное уравнение, которое после переноса $10$ влево примет вид $x^2-3x-10=0$, – решаем мы его через дискриминант.

Поэтому, давайте договоримся всякое уравнение приводить к такому виду, чтобы справа стоял только ноль и ничего больше.

Плавно перешли к неполным квадратным уравнениям. Если мы будем придерживаться последного совета, то мы не сможем спутать неполное уравнение с полным уж это точно. Справа будет два слагаемых (вырожденный случай – одно), а не три как у полного уравнения. Можно, конечно, и такие уравнения решать через дискриминант,но проще поступить иначе.

У нас в случае неполного уравнения будет всегда получаться либо уравнение с двумя $x$ , либо с одним . Что делать, в случае, если у нас оба слагаемых содержат $x$ (например, $x^2-5x=0$)? Ну, конечно, выносить его за скобку ($x(x-5)=0$), в этом случае будем всегда получать, что произведение двух множителей равно $0$. Когда такое возможно? Конечно, когда один из множителей равен нулю (либо $x=0$, либо $x-5=0$). В этом случае у нас всегда один из корней будет нулевым.

Во втором же случае, неполное уравнение будет содержать лишь одно слагаемое с $x$ (например, $x^2-7=0$ или $x^2+3=0$). Если свободный член отрицательный (как в первом случае, $c=-7$), то мы всегда сможем разложить левую часть на множители по формуле разность квадратов  ( для уравнения $x^2-7=0$ имеем $(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})=0$, далее $x=\pm \sqrt{7}$). Если же свободный член положителен, то уравнение не имеет корней (действительно, в уравнении $x^2+3=0$ первое слагаемое должно бы быть равным -3, чтобы в сумме с 3 дать 0, но такое невозможно).

В общем, каждое отдельно взятое квадратное уравнение мы решам одним из трех способов, – выбор не велик.

Заметим, также, что в случае полного квадратного уравнения в зависимости от того, какой дискриминант мы получаем, – на выходе разное количество корней. Если $D>0$, то будем иметь два корня, если $D=0$, то имеем один корень (или два совпавших), наконец, если $D<0$, то корней нет.

Смотрите также статью «Что делать, если дискриминант громоздкий?»