Обобщеннный метод интервалов. Часть 3

Продолжение

Ранее мы рассмотрели как работает метод интервалов при решении рациональных (часть 1) и дробно-рациональных неравенств (часть 2).

Будем рассматривать неравенства вида $f(x)\vee 0$, где $\vee  – $ один из знаков $>,\;\geq,\;<,\;\leq$, а $f(x) – $ логарифмическая, показательная, иррациональная или тригонометрическая функция. И вот здесь самое время применить обобщенный метод интервалов.

Наши действия будут такими:

1) Находим область определения $f(x)$

2) Находим нули $f(x)$

3) Определяем знаки $f(x)$ на ОДЗ (которая разделена на промежутки нулями функции),  подставляя удобные значения, принадлежащие каждому промежутку.

4) Записываем ответ, указывая объединение промежутков (из ОДЗ), на которых $f(x)$ имеет соответствующий знак.

Если же перед нами неравенство $\frac{f(x)}{g(x)}\vee 0 $, где $f(x),\;g(x) -$  логарифмические, показательные, иррациональные или тригонометрические функции, то мы будем переходить к неравенству: $f(x)\cdot g(x)\vee 0$, при условии, что $g(x)\neq 0$

Пример 1. Решить неравенство $\color{red}\sqrt{x^2-3x}<5-x$

Решение: + показать

Пример 2. Решить неравенство $\color{red}\frac{x^2-4}{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)}<0$

Решение: + показать

Надо сказать, что у обобщенного метода интервалов есть свои минусы. Потому что не всегда удобно определять знаки на промежутках, тем более когда они малы, когда на них нет целых значений.

Попробуйте, вот например, решить обобщенным методом интервалов следующее неравенство:

$\color{red}\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq 4$

Вы столкнетесь с трудностями при определении знаков вот на таких промежутках:

$(3;\frac{5+\sqrt7}{2}),\;(\frac{5+\sqrt7}{2};\;4),\;(4;4,5),\;(4,5;+\infty).$

Не из приятных занятие, правда? Поэтому, конечно, метод интервалов здесь неоправдан. Советую решить данное неравенство методом рационализации.

Да и еще, надеюсь вы понимаете, что $\log_{x-3}(x^2-4x)^2$  не есть $2\log_{x-3}(x^2-4x)$? В данном случае $\log_{x-3}(x^2-4x)^2=2\log_{x-3}|x^2-4x|$. Поэтому, подумайте, нужно ли понижать степень в подлогарифмном выражении…

Да, ответ такой: $(3;\frac{5+\sqrt7}{2}]\cup(4;4,5]$ (лучше порешать самостоятельно, но если что, – смотрим решение здесь).