Путеводитель по задачам С4 (№16)

2024

1.1. (Пробник 2023) В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=12, AB=4$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение Ответ: $16.$

1.2. (Пробник 2023) В параллелограмие $ABCD$ со сторонами $AD=15, AB=7$ и углом $A,$ равным 30°, проведены биссектрисы всех четырёх углов.

а) Докажите, что четырёхугольник, ограниченный биссектрисами, прямоугольник.

б) Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Ответ: $16.$

2023

1.1. (ЕГЭ 2023, резерв) В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=4, AC=5, BC=\sqrt{61}.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$

Решение Ответ: $\frac{\sqrt{427}}{9}.$

1.2. (ЕГЭ 2023, аналог) В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=3, AC=5, BC=7.$  На его стороне $BC$ вне треугольника (точки $A$ и $D$ лежат в разных плоскостях относительно прямой $BC$) построим равносторонний треугольник $BCD.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

б)  Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD.$

Ответ: $\frac{7\sqrt{19}}{8}.$

2.1. (ЕГЭ 2023) Дан ромб $ABCD.$ Прямая, перпендикулярная стороне $AD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ диагональ $BD$  — в точке $N,$ причем $AM : MC  =  1 : 2,$ $BN : ND  =  1 : 3.$

а)  Докажите, что $cosBAD=0,2.$ 

б)  Найдите площадь ромба, если $MN  =  5.$

Решение Ответ: $60\sqrt6.$

2.2. (ЕГЭ 2023) Дан ромб $ABCD.$ Прямая, перпендикулярная стороне $AD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ диагональ $BD$  — в точке $N,$ причем $AM : MC  =  1 : 2,$ $BN : ND  =  1 : 4.$

а)  Докажите, что $cosBAD=\frac{2}{7}.$ 

б)  Найдите площадь ромба, если $MN  =  7.$

Ответ: $105\sqrt5.$

3.1. (ЕГЭ 2023) $ABC$ – равносторонний треугольник. На стороне $AC$ выбрана точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

a) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM:CM=4:1.$

Решение Ответ: $\frac{9}{4}.$

3.2. (ЕГЭ 2023) $ABC$ – равносторонний треугольник. На стороне $AC$ выбрана точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $K$.

a) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM:CM=1:3.$

Ответ: $\frac{25}{49}.$

4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка $B$ лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.

а)  Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=7$ и $MK=14.$

Решение Ответ: $\frac{147\sqrt5}{5}.$

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Точка $B$ лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.
а)  Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=4$ и $MK=12.$
Ответ: $\frac{96}{\sqrt7}.$

5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C.$ Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L.$

а)  Докажите, что $CN:CM=LB:LA.$

б)  Найдите длину хорды $MN,$ если $LB:LA=3:7,$  a радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}.$

Решение Ответ: $\frac{340}{21}.$

5.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C.$ Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L.$

а)  Докажите, что $CN:CM=LB:LA.$

б)  Найдите длину хорды $MN,$ если $LB:LA=2:3,$  a радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}.$

Ответ: $\frac{115}{6}.$

6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а)  Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б)  Пусть $L$  — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите $AL,$ если радиус большей окружности равен $10,$ а $BC  =  16.$

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно. 

а)  Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б)  Пусть $L$  — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен $34,$ а $BC = 32.$

Ответ: $\sqrt{34}.$

7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ треугольника $ABC$ переcекает сторону $AC$ в точке $D.$ Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ADB,$ касается отрезка $AD$ в точке $P,$ а прямая $OP$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $BDOK$ можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BDOK,$ если $AB=10,BC=\sqrt{19},AC=9.$

Решение Ответ: $\frac{50\sqrt{95}}{171}.$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $D.$ Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ADB,$ касается отрезка $AD$ в точке $P,$ а прямая $OP$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$

a) Докажите, что около четырёхугольника $BDOK$ можно описать окружность.

б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BDOK,$ если $AB=8, BC=\sqrt{15}, AC=7.$

 Ответ: $\frac{64}{7\sqrt{15}}.$

8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC.$

а)  Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б)  Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC,$ если $AD = 4$ и $AB = 5.$

Решение Ответ: $6.$

8.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC.$

а)  Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б)  Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC,$ если $AD = 2$ и $AB = 6.$

Ответ: $4.$

9.1. (ЕГЭ 2023, резерв) На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков$BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=5, AB=12,AC=13.$ 

Решение Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}.$

9.2. (ЕГЭ 2023, резерв) На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ и  $B_1$ соответственно. Оказалось, что $BC_1=CB_1=BC.$ 

а)  Докажите, что точки  $B,C$ и середины отрезков$BB_1$ и $CC_1$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $CC_1,$ если $BC=8, AB=15,AC=17.$ 

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{17}.$

10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:3$?

Решение Ответ: $1:3.$

10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) К окружности, вписанной в квадрат $ABCD,$ проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и  $N$ соответственно.

а)  Докажите, что периметр треугольника $AMN$ равен стороне квадрата.

б)  Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P.$ В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:4$?

Ответ: $1:4.$

11.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите длину отрезка $DE,$ если сторона квадрата равна $18.$

Решение Ответ: $4,5.$

11.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Стороны $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата. 
а)  Докажите, что эта окружность разбивает диагональ $BD$ на три равных отрезка.

б)  Касательная к окружности, проведённая через точку $B,$ пересекает сторону $CD$ в точке $E.$ Найдите отношение $DE:CE,$ если сторона квадрата равна $24.$

Ответ: $1:3.$

12.1. (ЕГЭ 2023) Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и  $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM=MO$ и $CN=NO.$

а)  Докажите, что точки $M,$ $N$ и $O$ лежат на одной прямой. 

6)  Найдите $AM:MB,$ если известно, что $AO=OC$ и $BC:AD=1:7.$

Решение Ответ: $1:2.$

12.2. (ЕГЭ 2023) Дана равнобедренная трапеция   $ABCD$ с основаниями $AD$ и  $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая ее боковые стороны. 

а)  Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции, равна ее боковой стороне.

б)  Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=OC$ и данная прямая делит $ΑB$ в отношении $AM:ΜB=2:3.$

Ответ: $7:17.$

13.1. (ЕГЭ 2023) Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =7:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $4\sqrt{55}.$

Решение Ответ: $4.$

13.2. (ЕГЭ 2023) Биссектриса $AM$ острого угла  $A$ равнобедренной трапеции$ABCD$ делит боковую сторону $CD$ пополам. Отрезок $DN$ перпендикулярен отрезку $AM$ и делит сторону $AB$ в отношении $AN:NB =5:1.$

а)  Докажите, что прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны.

б)  Найдите длину отрезка $MN,$ если площадь трапеции равна $3\sqrt{2}.$

Ответ: $1,5.$

До 2023

-14. (Реальный ЕГЭ, 2021) Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $A$. На продолжении стороны $AD$ за точку $D$ взята точка $N$ такая, что $CN = CD$, а на продолжении стороны $CD$ за точку $D$ взята такая точка $M$, что $AD = AM.$

а) Докажите, что $BM = BN$.

б) Найдите $MN,$ если $AC = 4,$ $sin\angle BAD=\frac{8}{17}.$

Ответ: $\frac{120}{17}.$ Решение 

-13. (Реальный ЕГЭ, 2021) 

Трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и высотой $BH$ вписана в окружность. Прямая $BH$ вторично пересекает эту окружность в точке $K$.

а) Докажите, что прямые $AC$ и $AK$ перпендикулярны.

б) Прямые $CK$ и $AD$ пересекаются в точке $N$. Найдите $AD$, если радиус окружности равен $12$, $\angle BAC=30^{\circ},$ а площадь четырёхугольника $BCNH$ в $8$ раз больше площади треугольника $KNH$.

Ответ: $4\sqrt{33}.$ Решение

-12. (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B= 8: 3$, $BA_1:A_1C = 1: 2$, $CB_1:B_1A  = 3 ∶ 1$.
Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что $ADA_1B_1$— параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=28, BC = 18$.

Ответ: 17. Видеорешение

-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке $K.$ Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$  пересекает вторую окружность в точке $C$.

Ответ: $3,2.$ Видеорешение

-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$, где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$.

а) Докажите, что $OP=AP.$

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $\angle ABC=120^{\circ},$ а радиус описанной окружности равен $18$. Ответ: $27.$ Решение

-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника $ABC$ с различными сторонами описана окружность. $BN$ – диаметр. Высота $BH$ повторно пересекает окружность в точке $K$. Угол $BAC$ равен $35^{\circ}$, угол $ACB$ – $65^{\circ}.$
a) Докажите, что  $AN=CK$.
б) Найдите $KN$, если радиус окружности равен $12$. Ответ: $12.$ Решение

-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$.
Известно, что $AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.$
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD.$
б) Найдите $O_1O_2$. Ответ: $4.$ Решение

-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ — точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60$°.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120$°.
б) Найдите $BH$, если $AB= 7, BC = 8.$ Ответ: $\frac{13}{\sqrt3}.$ Решение

-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$ Ответ: $\frac{55}{7}.$ Решение

-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны $4$ и $9$, а её диагонали равны $5$ и $12$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции. Ответ: $\frac{60}{13}.$ Решение

-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причём точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружности в точках $D$ и $E$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобны.

б) Найдите $AD$, если $\angle DAE=\angle BAC,$  радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и  $AB=3$. Ответ: $9.$ Решение

-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка $E$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ На стороне $AB$ отмечена точка $K$  так, что $CK\parallel AE.$ Прямые $CK,BE$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что $CO=OK.$

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD,$ если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{64}$ площади трапеции $ABCD.$ Ответ: $3:5.$ Решение

-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.

а) Докажите, что $sin AOD=sinBOC.$

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^{\circ}$, а основания равны $5$ и $7$.

Ответ: $35.$ Решение

-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается ее боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=8MB$ и $DN=2CN.$

а) Докажите, что $AD=4BC.$

б) Найдите длину отрезка $MN$, если радиус окружности равен $\sqrt6$. Ответ: $4.$ Решение

0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017)  В треугольнике $ABC$ точки $A_1,B_1,C1$ ‐ середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ ‐ высота, $\angle BAC=60^{\circ}, \angle BCA=45^{\circ}$.

а) Докажите, что точки $A_1,B_1,C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt3.$ Ответ:  $1.$ Решение

1. (МГУ, 2015) Окружность радиуса $\frac{3}{2}$ касается середины стороны $BC$ треугольника $ABC$ и пересекает сторону $AB$ в точках $D$ и $E$, так что $AD:DE:EB=1:2:1.$ Чему может равняться $AC,$ если $\angle BAC=30^{\circ}$? Ответ: $\sqrt3\pm \sqrt{2}.$ Решение

2. (Резервн. ЕГЭ, 2016) В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ – середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ – высота.

а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.

б) Пусть $P$ – точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ – точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH=4,BH=2.$ Ответ: $18\sqrt2.$ Решение

3. (ЕГЭ, 2016) В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ отмечена точка $E$ так, что прямые $CD$ и $CE$ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.

б) Найдите отношение $BH:ED,$ если угол $BCD$ равен $135^{\circ}.$ Ответ: $1:2.$ Решение

4. (ЕГЭ, 2016) В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME,KH.$
а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.
б) Найдите отношение $EH:AC$, если угол $ABC$ равен $30^{\circ}.$ Ответ: $3:4.$ Решение

5. (ЕГЭ, 2016) В трапеции $ABCD$ точка $E$ – середина основания $AD$, точка $M$ – середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC=3,AD=4.$ Ответ: $2:9.$  Решение

6. (Диагностич., 2016) Окружность, проходящая через вершины $A,C$ и $D$ прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ пересекает меньшую боковую сторону $AB$ в точке $P$ и касается прямой $BC$. Известно, что $AD=CD.$

а) Докажите, что $CP$ – биссектриса угла $ACB.$

б) В каком отношении прямая $DP$ делит площадь трапеции? Ответ: $5:4.$ Решение

7. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) Точка $O$ – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, $I$ ‐ центр вписанной в него окружности, $H$ ‐ точка пересечения высот. Известно, что $\angle BAC=\angle OBC+\angle OCB.$

а) Докажите, что точка $I$ лежит на окружности, описанной около треугольника $BOC$.

б) Найдите угол $OIH$, если $\angle ABC=55^{\circ}.$ Ответ: $175^{\circ}.$ Решение

8. (ЕГЭ, 2015) Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причем меньшая проходит через центр большей. Хода $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ – точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC=16$. Ответ: $\sqrt{10}.$ Решение

9. (Диагностич., 2014) Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Прямая, проходящая через точку $P$, второй раз пересекает первую окружность в точке $A$ , а вторую – в точке $D$. Прямая, проходящая через точку $Q$ параллельно $AD$, второй раз пересекает первую окружность в точке $B$, а вторую – в точке $C$ .

а) Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

б) Найдите отношение $BP:PC$, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. Ответ: $2.$ Решение

10. (ДЕМО, 2014) Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, а прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника  $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны $4$ и $1$. Ответ: $3,2.$ Решение

11. (Диагностич., 2013) Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $C C_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Точки $A_2$, $B_2$ и $C_2$ – середины отрезков $MA$, $MB$ и $MC$ соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ вдвое меньше площади треугольника $ABC$.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что $AB = 5$ , $BC = 8$ и $AC =10$. Ответ: $31,5.$ Решение

12. (Диагностич., 2013) Биссектриса угла $ADC$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямую $AB$
в точке $E$. В треугольник $ADE$ вписана окружность, касающаяся стороны $AE$ в точке $K$ и стороны $AD$ в точке $T.$
а) Докажите, что прямые $KT$ и $DE$ параллельны.
б) Найдите угол $BAD$, если известно, что $AD = 6$ и $KT=3.$ Ответ: $60.$ Решение 

13. (Т/Р Ларина) Две окружности имеют общий центр $O$. На окружности большего радиуса выбрана точка $F$.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки $F$ до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки $F$, ни от выбора диаметра.
б) Известно, что радиусы окружностей равны $10$ и $24$. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка $F$, тангенс угла $F$ этого треугольника равен $\frac{1}{4}.$ Ответ: $59,5.$ Решение

14. (Т/Р Ларина) В окружность радиуса $R$ вписан четырехугольник $ABCD$, $P$ – точка пересечения его диагоналей, $AB=CD=5$, $AD>BC$. Высота, опущенная из точки $B$ на сторону $AD$, равна $3$, а площадь треугольника $ADP$ равна $\frac{25}{2}$.

а) Докажите, что $ABCD$ – равнобедренная трапеция.

б) Найдите стороны $AD$, $BC$ и радиус окружности $R$. Ответ: $10;2;\frac{5\sqrt5}{2}.$ Решение

15. (Т/Р Ларина) Окружность касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $D$ и $E$, точки $A,D,E,C$  лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный
б) Найдите длину высоты треугольника $ABC$, опущенной из точки $A$, если стороны $AB$ и $AC$ равны соответственно $5$ и $2$. Ответ: $\frac{4\sqrt6}{5}.$ Решение

16. (Т/Р Ларина) Прямая, параллельная гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катет $AC$ в точке $D$, катет  $BC$ – в точке $E$, причем $DE=2$ и $BE=1$. На гипотенузе

взята точка $F$ так, что $BF=1$, а величина угла $FCB$ равна $30$ градусов.

а) Докажите, что треугольник $BFE$ равносторонний
б) Найдите площадь треугольника $ABC$. Ответ: $2\sqrt3.$ Решение

17. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$ так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $K$. Прямые $AB$ и $AC$ вторично пересекают меньшую окружность в точках $P$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что $PM\parallel BC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $PM=12,$ а радиус большей окружности равен $20$. Ответ: $48.$ Решение

18. (Т/Р Ларина) В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $E$, при этом $BE=4$, $EA=5$, $BC=6.$

а) Докажите, что углы $BAC$ и $BCE$ равны.
б) Найдите площадь треугольника $AEC$, если известно, что угол $ABC$ равен $30^{\circ}$. Ответ: $7,5.$ Решение

19. (Т/Р Ларина) В окружности проведены хорды $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$, причем касательная к окружности, проходящая через точку $C$, параллельна $BD$.

а) Докажите, что $DC^2=AC\cdot CO.$
б) Найдите площадь треугольника $CDO$, если известно, что $AB:BO=3:1$, а площадь треугольника $ACD$ равна $36$. Ответ: $4$ Решение

20. (Т/Р Ларина)  В ромб вписана окружность $\Theta $. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности $\Theta $ и двух соседних сторон ромба.

А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью $\Theta $, составляет менее $80$% площади ромба.
Б) Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, если известно, что диагонали ромба относятся, как $1:2$. Ответ: $\frac{7+3\sqrt5}{2}.$ Решение

21. (Т/Р Ларина) Из точки $M$, взятой на окружности с центром в точке $O$, на диаметры $AB$ и $CD$ опущены перпендикуляры $MK$ и $MP$ соответственно.
a) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек $M,O,P,K$.

б) Найдите площадь треугольника $MKP$, если известно, что $\angle MKP=30^{\circ}$, $\angle AOC=15^{\circ}$, а радиус окружности равен $4$. Ответ: $\sqrt3-1.$ Решение

22. (Т/Р Ларина) В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны середине стороны $AC$ относительно прямых $BC$ и $AB$ соответственно.
а) Докажите, что отрезки $A_1A_2$ и $C_1C_2$ лежат на параллельных прямых.
Б) Найдите расстояние между точками $A_2$ и $C_2$, если известно, что $AB=7$, $BC=6$, $AC=5$. Ответ: $\frac{2\sqrt{870}}{7}$. Решение

23. (Т/Р Ларина) На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$. Окружности $w_1$ и $w_2$, вписанные в треугольники $ABE$ и $CBE$, касаются прямой $BE$ в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что $KM=\frac{1}{2}\cdot |CE-AE|$.

б) Определите, на сколько радиус окружности $w_2$ больше радиуса окружности $w_1$, если известно, что $AE=9, CE=15$, а радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $4$. Ответ: $1$. Решение

24. (Т/Р Ларина)  Даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Прямые $AA_1,BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке. Прямые $AB$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $C_2.$ Прямые $AC$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $B_2$. Прямые $BC$ и $B_1C_1$ пересекаются в точке $A_2$.

а) Докажите, что точки $A_2,B_2,C_2$ лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника $A_1B_1C_1$ к площади треугольника $ABC$, если высоты треугольника $ABC$ равны $2,\frac{10}{11},\frac{5}{7}$, а высоты треугольника $A_1B_1C_1$ равны $2,\frac{5}{3},\frac{10}{9}.$ Ответ: $\sqrt3.$ Решение

25. (Т/Р Ларина) Внутри равностороннего треугольника $ABC$ в произвольном месте поставлена точка $M$.
а) Докажите, что сумма расстояний от точки $M$ до сторон треугольника $ABC$ равна высоте этого треугольника.
б) Найдите расстояние от точки $M$ до стороны $AB$, если расстояние от точки $M$ до сторон $AC$ и $BC$ соответственно равны $10\sqrt{133}$ и $3\sqrt{133}$, а площадь треугольника $ABC$ равна $14364\sqrt3$. Ответ: $5\sqrt{133}.$ Решение

26. (Т/Р Ларина) Дан треугольник $ABC$. В нём проведены биссектрисы $AM$ и $BN$, каждая из которых равна $\frac{2772\sqrt6}{71}$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его основание равно $132$. Ответ: $1386\sqrt5.$ Решение

27. (Т/Р Ларина) Около окружности описана равнобедренная трапеция $ABCD$. $E$ и $K$ – точки касания этой окружности с боковыми сторонами $AD$ и $BC$. Угол между основанием $AB$ и боковой стороной $AD$ трапеции равен $60^{\circ}$.

а) Докажите, что $EK$ параллельно $AB$.

б) Найдите площадь трапеции $ABKE$ , если радиус окружности равен $\sqrt{131}.$ Ответ: $\frac{1179\sqrt3}{4}.$ Решение

28. (Т/Р Ларина)  В равнобокой описанной трапеции $ABCD$, где угол $B$ тупой, а $BC$ и $AD$ – основания, проведены:

1) биссектриса угла $B$;

2) высота из вершины $C$;

3) прямая, параллельная $AB$ и проходящая через середину отрезка $CD$.
а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции $ABCD$, если известно, что $BC=8$, $AD=18$. Ответ: $\frac{65}{24}.$ Решение

29. (Т/Р Ларина) В равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне $AB$ как на диаметре, второй раз пересекает большее основание $AD$ в точке $H$.

а) Докажите, что треугольник $CHD$ равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно $6$ и $6,5$. Ответ: $8;18$. Решение

30. (Т/Р Ларина) Четырехугольник $ABDС$ вписан в окружность. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$.

а) Докажите, что $AD\cdot BP=BC\cdot DP.$

б) Найдите площадь треугольника $APC$, если известно, что $BD=2AC$, а площадь четырехугольника $ABDC$ равна $36$. Ответ: $12$. Решение

31. (Т/Р Ларина)  На сторонах прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полуокружности  $\omega, \omega_1 $ и  $\omega _2$ ( см. рис.).
а) Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями $\omega$ и $\omega_1$ и полуокружностями $\omega$ и $\omega_2$.
б) Пусть прямая $l$ касается $\omega_1$ в точке $M$, а $\omega_2$ в точке $P$. Найдите длину отрезка $MP$, если известно, что сумма площадей двух луночек равна $49$. Ответ: $7.$ Решение

32. (Т/Р Ларина) Точка $M$ лежит на диаметре $AB$ окружности с центром $O$.

$C$ и $D$ – точки окружности, расположенные по одну сторону от $AB$, причем $\angle CMA=\angle DMB$.

а) Докажите, что $\angle OCM=\angle ODM.$
б) Найдите площадь четырехугольника $COMD$, если известно, что $OM=4, BM=2, \angle CMA=\angle DMB=45^{\circ}$. Ответ: $14+2\sqrt{14}.$ Решение

33. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен $\frac{1}{3}$.   На гипотенузе $AB$ взята точка $H$, а на катете $AC$ – точка $K$. Известно, что прямая $KH$ перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части.
а) Докажите, что в четырехугольник $KHBC$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что $KH=1$. Ответ: $2-\sqrt2.$ Решение

34. (Т/Р Ларина)  К двум окружностям с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $6$ и $3$ проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть $A$ и $B$ – точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.
а) Докажите, что около четырехугольника  $O_1AO_2B$ можно описать окружность.
б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что $O_1O_2=15$. Ответ: $12.$ Решение

35. (Т/Р Ларина)  а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла проведена высота $CH$. Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ABC$, $ACH$ и $BCH$, если известно, что $CH=\sqrt5$.Ответ: $\sqrt5.$ Решение

36. (Т/Р Ларина)  В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=2$ проведены медиана $CM$ и биссектриса $CL.$

а) Докажите, что площадь треугольника $CML$ составляет одну десятую часть от площади треугольника $ABC.$

б) Найдите угол $MCL.$ Ответ: $arctg 0,2.$ Решение

37. (Т/Р Ларина)  В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается гипотенузы $AB$ в точке $K$, а катетов – в точках $P$ и $M$.
а) Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна $AK\cdot BK$.
б) Найдите площадь треугольника $PKM$, если известно, что $AK=12, BK=5.$  Ответ: $\frac{180}{17}.$ Решение

38. (Т/Р Ларина) Окружности $\omega 1$ с центром $O_1$ и окружность $\omega 2$ с центром $O_2$ касаются внешним образом. Из точки $O_1$ к $\omega 2$ проведена касательная $O_1A$, а из точки $O_2$ к $\omega 1$ проведена касательная $O_2B$ ($A$ и $B$ – точки касания).
a) Докажите, что углы $O_1AB$ и $O_1O_2B$ равны.
б) Найдите площадь четырехугольника $O_1O_2AB$, если известно, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2$, а радиусы окружностей равны соответственно $2$ и $3$. Ответ: $\frac{2}{25}(8\sqrt{21}+63).$ Решение

39. (Т/Р Ларина)  В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$ проведены медианы $AM$ и $BK$. Известно, что около четырехугольника $ABMK$ можно описать окружность.
а) Докажите, что $CK=CM$.
б) Пусть $AB=2$. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABMK$. Ответ: $\frac{\sqrt5}{2}.$ Решение

40. (Т/Р Ларина)  Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены диаметры $AC$ и $AD$ этих окружностей.

а) Докажите, что точки $D,B$ и $C$ лежат на одной прямой.

б) Найдите произведение $AD\cdot AC$, если известно, что $AC=8,$ а диаметр окружности, описанной около треугольника $ADC,$ равен $10.$ Ответ: $80.$ Решение

41. (Т/Р Ларина) В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CM$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $P$.
а) Докажите, что $BC:AC=CP:AP$.
б) Найдите длину отрезка $CP$, если известно, что $AM=5, BM=4.$ Ответ: $20.$ Решение

42. (Т/Р Ларина)  Через вершины $A$ и $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B=90^{\circ}$) проведена окружность с центром в точке $O$, касающаяся прямой $AB$ и пересекающая продолжение стороны $BC$ в точке $E$.
а) Докажите, что сумма углов $AOE$ и $AOC$ равна $180^{\circ}$.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что $BE=5$, $AC=6$. Ответ: $9.$ Решение

43. (Т/Р Ларина) В четырехугольнике $ABCD$ биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$, а биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Известно, что $AKCM$ – параллелограмм.
а) Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $BK=3$, $AM=2$, а угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^{\circ}$. Ответ: $8\sqrt3.$ Решение

44. (Т/Р Ларина) В трапеции $ABCD$ площадью, равной 30, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, а $\angle BAC=\angle CDB$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ – равнобедренная.
б) Найдите площадь треугольника $AKD$, если известно, что $\angle AKD=30^{\circ}$, а $BC<AD.$ Ответ: $45.$ Решение

45. (Т/Р Ларина) Окружность проходит через вершину $C$ прямоугольника $ABCD$, касается стороны $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$ и касается стороны $AD$ в точке $K$.

а) Докажите, что угол $CKD$ равен углу $KMD$.
б) Найдите сторону $AB$, зная, что $AD=18$, $DM=4.$ Ответ: $16.$ Решение

46. (Т/Р Ларина)  На диаметре $AB$ окружности $\omega$ выбрана точка $C$. На отрезках $AC$ и $BC$ как на диаметрах построены окружности $\omega1$ и $\omega2$ соответственно. Прямая $l$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $D$, окружность $\omega1$ – в точках $A$ и $E$, а окружность $\omega2$ – в точках $M$ и $N$.

а) Докажите, что $MD=NE$.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей $\omega$, $\omega1$ и $\omega2$, если известно, что $AC=10$, $BC=6$. Ответ: $\frac{120}{49}.$ Решение

47. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$.
а) Докажите, что углы $ACB$ и $MNB$ равны.
б) Вычислите длину стороны $AC$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $25$ см, периметр треугольника $BMN$ равен $15$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника $BMN$ равен $3$ см. Ответ: $8.$ Решение

48. (Т/Р Ларина) Площадь треугольника $ABC$ равна 72, а сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна 24.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $ABC$, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне $AB$. Ответ: $4\sqrt2.$ Решение

49. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены биссектрисы $AK$, $BM$, $CP$.
a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $KMP$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $64$, а косинус угла $BAC$ равен $0,3$. Ответ: $15.$ Решение

50. (Т/Р Ларина) $O$ – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Периметры треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $DOA$, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны соответственно $3$, $4$ и $6$. Ответ: $4,5.$ Решение

51. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AK$, $BM$ и $CP$.

a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площадь треугольника $KMP$ равна 12, а косинус угла $ABC$ равен $0,6$. Ответ: $50.$ Решение

52. (Т/Р Ларина) Окружность касается стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$, пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и проходит через вершины $C$ и $D$.
а) Докажите, что $DN=CM$.
б) Найдите $DN$, зная, что $AM=9$, $BN=16$, $ВС=18.$ Ответ: $30.$ Решение

53. (Т/Р Ларина) Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность. На окружности отмечена точка $M$, не совпадающая ни с одной из точек $A$, $B$ и $C$.

а) Докажите, что расстояние от точки $M$ до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках $A$, $B$, $C$ и $M$, если известно, что его площадь равна  $\frac{49\sqrt3}{4}$, а радиус окружности равен $\sqrt{13}$. Ответ: $2\sqrt{39}+7.$ Решение

54. (Т/Р Ларина)  В равнобедренной трапеции $ABCD$ точки $M$ и $N$ – середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Отрезки $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $DM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$.

а) Докажите, что площадь четырехугольника $PMKN$ равна сумме площадей треугольников $ABP$ и $DCK$.

б) Найдите площадь четырехугольника $PMKN$, если известно, что $BC=8$, $AD=18$, $AB=CD=13$. Ответ: $\frac{432}{13}.$ Решение

55. (Т/Р Ларина)  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек $B$ и $C$ опущены перпендикуляры на прямую $AD$. Они пересекают прямые $AC$ и $BD$ соответственно в точках $E$ и $F$.

а) Докажите, что $BCEF$ – ромб
б) Найдите отношение площади четырехугольника $BCEF$ к площади вписанного в него круга, если $BF:CE=3:4.$ Ответ: $\frac{25}{6\pi}.$ Решение

56. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что треугольники $AOC$ и $C_1OA_1$ подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника $ACA_1C_1$, если известно, что угол $ABC$ равен $30^{\circ}$ , а площадь треугольника $ABC$ равна $80^{\circ}$. Ответ: $20.$ Решение

57. (Т/Р Ларина) Точка $E$ – середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$, прямые $BE$ и $AC$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COE$ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $AB=3$, $BC=4$. Ответ: $2\sqrt{35}.$ Решение

58. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внешним образом в точке $A$. Прямая $l$ касается первой окружности в точке $B$, а второй – в точке $C$.
a) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если радиусы окружностей $8$ и $2$. Ответ: $12,8.$ Решение

59. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.

а) Докажите, что $EM$ – медиана треугольника $CED$.
б) Найдите длину отрезка $EM$, если $AD=8$, $AB=4$ и угол $CDB$ равен $60^{\circ}$. Ответ: $2\sqrt{15}.$ Решение

60. (Т/Р Ларина) В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $K$ так, что $CK:BK=1:2$. Точка $E$ – середина стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $AK$ пересекаются в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $BPC$ и $APC$ имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна $120$. Ответ: $60.$ Решение 

61. (Т/Р Ларина)  В треугольнике $ABC$ $AB=20$, $AC=24$. Окружность с центром $O_2$ на стороне $AC$ проходит через вершину $C$, точку пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$ и центр $O_1$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна прямой $BC$;
б) Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности. Ответ: $12,5$. Решение

62. (Т/Р Ларина) Биссектрисы $AN$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $BO:OM=4:3$, $CN=18\sqrt{35}.$  В четырехугольник $ONCM$ вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности. Ответ: $21-\sqrt{21}.$ Решение

63. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике $ABC$  $AC$ – основание. На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ отмечена точка $D$ так, что угол $CAD$ равен углу $ABD$.

а) Докажите, что $AB$ – биссектриса угла $CAD$.

б) Найдите длину отрезка $AD$, если боковая сторона треугольника $ABC$ равна 5, а его основание равно $6$. Ответ: $\frac{150}{11}.$  Решение

64. (Т/Р Ларина) Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Точка $X$ лежит на его стороне $AD$, причем $BX||CD$ и $CX||BA$, $AX=\frac{3}{2}$ и $DX=6$.

a) Докажите, что треугольники $ABX$ и $BXC$ подобны;

б) Найдите $BC$. Ответ: $3.$ Решение

65. (Т/Р Ларина) Прямая $p$, параллельная основаниям $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$, пересекает прямые $AB$, $AC,$ $BD$, $CD$ в точках $E,$ $F$, $G$ и $H$ соответственно, причём $EF=FG$.

а) Докажите, что точки пересечения прямой $p$ с диагоналями $AC$ и $BD$ делят отрезок $EH$ на три равных части;

б) Найдите $EF$, если $BC=3$, $AD=4$. Ответ: $1,2.$ Решение

66. (Т/Р Ларина) Хорда $AB$ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка $C$ лежит на этой дуге, а точка $D$ лежит на хорде $AB$. При этом $AD = 2,$ $BD = 1,$ $DC = \sqrt2$.
а) Докажите, что угол $ADC$ равен $\frac{\pi}{6}.$
б) Найдите площадь треугольника $ABC$. Ответ: $\frac{3\sqrt2}{4}.$ Решение

67. (Т/Р Ларина) Трапеция ABCD c углами при одном основании $\alpha$ и $\beta$ описана около круга.
а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой  $\frac{S_{trap}}{S_{krug}}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}$.

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции $ABCD$, если $\alpha=\frac{\pi}{3}$ , а площадь вписанного круга равна $\pi$. Ответ: $\frac{6+4\sqrt3}{3}.$ Решение

68. (Т/Р Ларина)  Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами $a,$ $b,$ $c,$ $d$ описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как   $\frac{bc+ad}{ab+cd}$;

б) Найдите площадь четырёхугольника, если $a=2$, $b=8$, $c=12$, $d=4$. Ответ: $3\sqrt{55}.$ Решение

69. (Т/Р Ларина)  Площадь треугольника $ABC$ равна 10; площадь треугольника $AHB$, где $H$ – точка пересечения высот, равна 8. На прямой $CH$ взята такая точка $K$, что треугольник $ABK$ – прямоугольный.

а) Докажите,что $S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB};$
б) Найдите площадь треугольника $ABK.$ Ответ: $4\sqrt5.$ Решение

70. (Т/Р Ларина) В треугольнике $ABC$ основание $BC=9,5$ , площадь треугольника  равна $28,5$. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.

а) Докажите,что $AC+AB=3BC$.
б) Найдите меньшую из боковых сторон. Ответ: $10.$ Решение

71. (Т/Р Ларина)  Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N. Ответ: $4.$ Решение

72. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются
в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.
а) Докажите, что $EM$ – медиана треугольника $CED$
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$ , $AB = 4$ и угол $CDB$ равен 60°. Ответ: $2\sqrt{15}.$ Решение

73. (Т/Р Ларина)  Медианы треугольника $ABC$ равны $5$, $12$ и $13$.
а) Докажите, что медианы разбивают треугольник на $6$ равновеликих треугольников;
б) Найдите площадь треугольника $ABC$. Ответ: $40.$  Решение

74. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $BP.$

а) Докажите, что углы $ABP$ и $AKP$ равны.

б) Найдите длину отрезка $PK$, если известно, что $AB=5,BC=6,AC=4.$ Ответ: $\frac{45}{16}.$ Решение

75. (Т/Р Ларина) Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC$ и $AD$ – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон $AB$, $BC$ и $CD$ трапеции, если известно, что $BC=4$, $AD=6$. Ответ: $0,4(\sqrt{26}+1).$ Решение

76. (Т/Р Ларина) Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями $AC$ и $BD$ вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что $AB=\sqrt5,BC=\sqrt2,CD=\sqrt7.$  Ответ: $\frac{\sqrt5(2+\sqrt7)}{2}$. Решение

77. (Т/Р Ларина) В треугольнике $ABC$ $BA=8,BC=7,\angle B=120^{\circ}.$

Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны $AC$ в точке $M$.

а) Докажите, что $AM=BC.$

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах $AB$ и $AC$, перпендикулярного $AB$ и касающегося окружности  ω. Ответ: $\frac{49\sqrt3-21}{23}.$ Решение

78. (Т/Р Ларина) Точка $K$ лежит на диаметре $AB$ окружности с центром $O$. $C$ и $D$ – точки окружности, расположенные по одну сторону от $AB$, причем $\angle OCK=\angle ODK.$

а) Докажите, что $\angle CKB=\angle DKA.$
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках $A,B,C,D$, если известно, что $OK=3,6, BK=9,6,\angle OCK=\angle ODK=30^{\circ}$. Ответ: $5\sqrt{11}+15\sqrt3.$ Решение

79. (Т/Р Ларина)  В окружность с центром в точке $O$ вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. На большем катете $BC$ взята точка $D$ так, что $AC=BD$. Точка $E$ – середина дуги $ACB$.

а) Докажите, что $\angle CED=90^{\circ}.$
б) Найдите площадь пятиугольника $AODEC$, если известно, что $AB=13,AC=5.$ Ответ: $36.$ Решение

80. (Т/Р Ларина) Окружность ω с центром в точке $O$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке $E$ касается стороны $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что $BK=CM$.
б) Найдите площадь четырехугольника $OKEM$, если известно, что $AC=5,BC=6,AB=4.$

Ответ: $\frac{3\sqrt7}{2}.$ Решение

81. (Т/Р Ларина) Дан квадрат $ABCD$. Точки $K,L,M$ – середины сторон $AB,BC$ и $CD$ соответственно. $AL$ пересекает $DK$ в точке $P$; $DL$ пересекает $AM$ в точке $T$; $AM$ пересекает $DK$ в точке $O$.

А) Докажите, что точки $P,L,T,O$ лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник $PLTO$, если $AB=4.$

Ответ: $\frac{2\sqrt5}{5}.$ Решение

82. (Т/Р Ларина) На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $P$, причем $AE:EP:PC=1:2:1$. Прямые $DE$ и $DP$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$

соответственно.
a) Докажите, что $KM\parallel AC.$
б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если известно, что площадь пятиугольника $BKEPM$  равна $30$.

Ответ: $72.$ Решение

83. (Т/Р Ларина) Хорда $AB$ окружности параллельна касательной, проходящей через точку $C$, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку $C$ и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке $P$.
А) Докажите, что треугольник $ABP$ равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда $AB$ делит диаметр $CP$, если известно, что $\angle APB=150^{\circ}.$

Ответ: $(7+4\sqrt3):1.$ Решение

84. (Т/Р Ларина) Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается основания $AC$ в точке $M$. Вторая окружность касается основания $AC $ и продолжений боковых сторон.
А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.
Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен $3$, а $BM=8$. Ответ:$12$. Решение

85. (Т/Р Ларина) В треугольнике $ABC$ стороны $AB:BC:AC=3:4:5$. Первая окружность вписана в треугольник $ABC$, а вторая касается $AB$ и продолжения сторон $BC$ и $AC$.

А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно $2:1$.
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны $AB$, если $AC=15$.

Ответ: а) $2:1$; б) $3.$ Решение

86. (Т/Р , 2017) Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла  $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12,BD=6,5.$

Ответ: $5.$ Решение

87. (Т/Р Ларина) Окружность касается прямых $AB$ и $BC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Точка  $A$ лежит между $B$ и $D$, а тока $C$ – между $B$ и $E$. Точки $A$, $D$, $E$, $C$ лежат на одной окружности.

a) Доказать, что треугольники $ABC$ и $DBE$ подобны.
б) Найти площадь $ABC$, если $AC=8$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен $1$.

Ответ: $\frac{128}{15}.$ Решение

88. (Т/Р Ларина)  В остроугольном треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $C$ опущены высоты $AP$ и $CQ$ на стороны $BC$ и $AB.$ Известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $18$, площадь треугольника $BPQ$ равна $2$, а длина отрезка $РQ$ равна $2\sqrt2.$
а) Доказать, что треугольники $QBP$ и $CBA$ подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Ответ: $4,5.$ Решение

89. (Т/Р Ларина) Точки $M$ и $P$ – середины сторон $BC$ и $AD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Диагональ $AC$ проходит через середину отрезка $MP$.

а) Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $ACD$ равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABM$, если известно, что $AB=12,BC=10,$ а площадь четырехугольника $AMCP$ равна $60$.

Ответ: $2.$ Решение

90. (Т/Р Ларина) Дан квадрат $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ внешним и внутренним образом

соответственно построены равносторонние треугольники $ABK$ и $BCP$.

а) Докажите, что точка $P$ лежит на прямой $DK$.
б) Найдите площадь четырехугольника $PKBC$, если известно, что $AB=2$.

Ответ: $\sqrt3+2.$ Решение

91. (Т/Р Ларина)  Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ описаны около треугольников $AOB$ и $BOC$ соответственно. Пусть $O_1$ – центр окружности $\omega_1$, а $O_2$ – центр окружности $\omega_2$.
а) Докажите, что прямая $BO_1$ касается окружности $\omega_2$, а прямая $BO_2$ касается окружности $\omega_1$.
б) Найдите длину отрезка $O_1O_2$, если известно, что $AB=6,BC=8.$

Ответ: $\frac{125}{24}.$ Решение

92. (Т/Р Ларина)  В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=2CK$.

а) Докажите, что $BD$ делит площадь треугольника $AKC$ в отношении $3:7$.

б) Пусть $M$ – точка пересечения $AK$ и $BD$, $P$ – точка пересечения $DK$ и $AC$. Найдите длину отрезка $MP,$ если $AB=8,BC=6.$

Ответ: $\frac{3\sqrt{65}}{10}.$ Решение

93. (Т/Р Ларина) Окружности с центрами в точках $A,B$ и $C$ и радиусами, равными $a,b$ и $c$ соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка $K$, $M$, $P$.
а) Докажите, что отношение площади треугольника $KMP$ к площади треугольника $ABC$ равно $\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}.$

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMP$, если известно, что $a=6, b=7, c=1$.

Ответ: $\sqrt3.$ Решение

94. (Т/Р Ларина) В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ равна стороне $AD$.

а) Докажите, что прямая $CD$ касается окружности ω, описанной около треугольника $ABD$.

б) Пусть прямая $CB$ вторично пересекает ω в точке $K$. Найдите $KD:AC$ при условии, что угол $BDA$ равен $120^{\circ}.$ Ответ: $\sqrt3:\sqrt7.$ Решение

95. (Т/Р Ларина) Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Окружности, построенные на

боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках $P$ и $K$.

а) Докажите, что прямые $PK$ и $BC$ перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка $PK$, если известно, что $AD=20,BC=6,AB=16,DC=14.$

Ответ: $\frac{56\sqrt3}{13}$. Решение

96. (Т/Р Ларина) В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ – середина стороны $AD$. Отрезок $BE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$. $AB=PD$.

а) Докажите, что отрезок $BE$ перпендикулярен диагонали $AC$.

б) Найдите площадь параллелограмма, если $AB=2$ см, $BC=3$ см.

Ответ: б) $\sqrt{35}.$ Решение

97. (Т/Р Ларина)  В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC.$

а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из

которых втрое больше другого.
б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$. Ответ: $4.$ Решение

98. (Т/Р Ларина)  В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $AC$.
а) Докажите, что длина отрезка $BM$ больше полуразности, но меньше полусуммы длин

сторон $AB$ и $BC$.
б) Окружность проходит через точки $B$, $C$, $M$. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой $AB$, если известно, что $AB=5,BC=3,BM=4.$ Ответ: $0,2.$ Решение

99. (Т/Р Ларина)  Точка $O$ – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На луче $AO$ отмечена точка $M$ так, что $\angle BAC+\angle AMC=90^{\circ}.$

а) Докажите, что существует точка $P$, одинаково удаленная от точек $B,O,C,M.$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до точки $M$, если известно, что $\angle BAC=15^{\circ}$ и $BC=15.$ Ответ: $15.$ Решение

100. (Т/Р Ларина)  Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$. Пусть $AB$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $L$.

а) Докажите, что $KL$ – биссектриса угла $AKB$.
б) Найдите длину отрезка $KL$, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно $6$ и $2$, а угол $AKB$ равен $90^{\circ}.$

Ответ: $2\sqrt3.$ Решение

101. (Т/Р Ларина)  Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $K$. Прямая $p$

касается первой окружности в точке $M$, а второй – в точке $N$.
а) Докажите что расстояние от точки $K$ до прямой $p$ равно $\frac{MK\cdot KN}{MN}$.

б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно $12$ и $3$. Ответ: $28,8.$ Решение

102. (Т/Р Ларина)  Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Радиус $AO$ перпендикулярен радиусу $OB,$ а радиус $OC$ перпендикулярен радиусу $OD.$

а) Докажите, что $BC \parallel AD.$

б) Найдите площадь треугольника $AOB,$ если длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AD,$ равна $9,$ а длина отрезка $BC$ в два раза меньше длины отрезка $AD.$

Ответ: $22,5.$ Решение

103. (Т/Р Ларина) Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $\frac{\sqrt{15}}{3}.$ Окружность радиуса $\frac{5\sqrt5}{3\sqrt3}$ касается вписанной в треугольник $ABC$ окружности в точке $T,$ а также касается лучей, образующих угол $ACB.$ Окружности касаются прямой $AC$ в точках $K$ и $M.$

а) Докажите, что треугольник $KTM$ прямоугольный.

б) Найдите тангенс угла $ABC,$ если площадь треугольника $ABC$ равна $3\sqrt{15,}$ а наибольшей из его сторон является сторона $AC.$ Ответ: $-\sqrt{15}.$

104. (Т/Р 280 А. Ларина) В треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$ и $BB_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $ANA_1$, где точка $N$ – середина стороны $AB$, пересекла прямую $A_1B_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $AK$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника $ABA_1B_1$ и треугольника $CA_1B_1$, если $\angle ABC=45^{\circ}$, $AB_1=BN=1$. Ответ: $7+4\sqrt3.$ Видеорешение