С1 (№15). Иррациональное уравнение с тригонометрическими функциями

Смотрите также С2(№16), С4(№18), С5(№20) тренировочной работы №63 А. Ларина.

Возможно, вам стоит вспомнить/изучить как осуществляются равносильные переходы в иррациональных уравнениях.

а) Решите уравнение $\sqrt{5sinx+cos2x}+2cosx=0;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$.

Решение:

а) Перепишем уравнение следующим образом:

$\sqrt{5sinx+cos2x}=-2cosx;$

Заметим, $-2cosx\geq 0.$

Переходим к равносильной системе уравнений:

$\begin{cases}5sinx+cos2x=4cos^2x,\\-2cosx\geq 0;&\end{cases}$

Обратите внимание, нет необходимости указывать в системе неравенство $5sinx+cos2x\geq 0$.

Раз $5sinx+cos2x$ есть $4cos^2x$, а $cos^2x\geq 0$, то получается, – все уже оговорено.

Применяем  к $cos2x$ формулу двойного угла

$\color{red}cos2x=1-2sin^2x$.

Также используем для правой части уравнения основное тригонометрическое тождество:

$\color{red}sin^2x+cos^2x=1$.

Получаем

$\begin{cases}5sinx+1-2sin^2x=4(1-sin^2x),\\-2cosx\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2sin^2x+5sinx-3=0,\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}sinx=-3,\\sinx=\frac{1}{2};\end{array}\right.\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}sinx=\frac{1}{2};\\cosx\leq 0;&\end{cases}$

Нас устраивает только серия корней $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z.$

б) Произведем отбор корней из отрезка $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$:

В данный отрезок попадает один корень – это $-\frac{7\pi}{6}.$

Ответ: a) $\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n\in Z$; б) $-\frac{7\pi }{6}.$

___________________________________________________________

Полезно порешать

а) Решите уравнение $\sqrt{1-2cos^2x}=cosx+sinx;$
б) Найдите все корни на промежутке $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$.

Ответ: + показать

Если у вас возникли вопросы, – пожалуйста, пишите в комментариях!