Трапеция. Свойства трапеции

2016-06-15

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

FavoriteLoadingОтложить задание
Комментариев: 342
  1. Анатолий Шевелев

    Здравствуйте, ссылка на подборку задач неверная, при клике открывается страница «Площади фигур»…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Благодарю!
      Исправила ссылку

      [ Ответить ]
      • Софья

        Здравствуйте,помогите решить задачу:
        диагонали трапеции перпендикулярны ,а их длина равна 7 сантиметров и 8 сантиметров Найдите площадь трапеции

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Перенесите одну диагональ параллельно самой себе так, чтобы один ее конец совпал с концом другой. Подумайте почему площадь образовавшегося прямоугольного треугольника (с катетами-диагоналями) равна площади трапеции.
          Ответ: 56.

          [ Ответить ]
          • Марина

            не 56, а 28

            [ Ответить ]
        • Григорий

          Можно легче: площадь трапеции = половине произведения диагоналей на синус угла между ними. В данном случае синус 90, значит =1.

          [ Ответить ]
      • Полина

        В прямоугольную трапецию вписан окружностью точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длинной 6см и 48см.Найдите периметр данной трапеции,если радиус вписанный в окружность равен18 см можно решение и чертёж пожалуйста

        [ Ответить ]
      • Ирина

        диагональ равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 16 образует с основанием угол 45 градусов. найдите площадь трапеции

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нашла

          [ Ответить ]
          • Ирина

            Напишите решение, пожалуйста.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Пусть основания – BC,AD.
            Проводим CH\perp AD.
            Треугольник ACH – прямоуг., равнобедренный.
            При этом, очевидно, AC=4+6=10. Тогда и CH=10.
            Итак, S=\frac{4+6}{2}\cdot 10.

            [ Ответить ]
          • Аркаша

            Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, поэтому она будет равна 10*10, а не 5*10.

            [ Ответить ]
  2. иван

    Е Если в окружность вписана в трапецию то трапеция равно бедренная инфа сотка.

    [ Ответить ]
    • Татьяна

      Это если окружность описана около трапеции, тогда равнобедренная.
      А в случае, когда вписана, — совсем не обязательно.

      [ Ответить ]
  3. Рональд

    трапеция вписана в круг, её периметр 12 см, какова её площадь?

    [ Ответить ]
  4. ainura

    спасибо

    [ Ответить ]
  5. Таня

    основи трапеції дорівнюють 9 і 6 см. Діагональ ділить трапецію на два подібні трикутники. Знайдіть довжину діагоналі. Допоможіть будь ласка

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть данная трапеция – ABCD c основаниями BC и AD; диагональ, которая делит трапецию на 2 подобных треугольника – это AC.
      \Delta ABC подобен \Delta DCA. Тогда \frac {AC}{AD}=\frac{BC}{AC}, то есть \frac{AC}{9}=\frac{6}{AC}. Откуда AC^2=54, то есть AC=3\sqrt{6}.

      [ Ответить ]
      • Таня

        а какой можно сделать рисунок. подскажите пожалуйста)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Самый что ни на есть простой – трапеция ABCD. Проведите в ней диагональ AC…

          [ Ответить ]
          • Таня

            спасибо за помощь! вы мне очень помогли!!

            [ Ответить ]
  6. Надя

    Найти углы прям-угольной трапеции если один из углов 20градусов?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Два угла по 90°, один 20° и еще один 160°.

      [ Ответить ]
  7. Татьяна

    В 5 свойстве равнобедренной трапеции неправильно изображена высота. Она должна выходить из вершины.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение.

      [ Ответить ]
  8. тико

    определить высоту и трапеции, если ее основание 16 и 28, а боковые стороны 28 и 17 нужно ошибку найти

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ???

      [ Ответить ]
    • qwe

      123

      [ Ответить ]
  9. Ирина

    https://yadi.sk/d/o-xlknoPcHHzD — чертеж к задаче.

    Задача: т.A не принадлежит плоскости α,
    т.B и т.C — принадлежат плоскости α.
    т.D принадлежит AB, DE||BC.
    BD=14 см, AE:EC= 2:5.

    Найти: AD?

    Подскажите, правильно ли нарисован чертеж? Понятно, что связано с трапецией, но как решить?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мало информации про точку E. Судя по задумке, точка E принадлежит отрезку AC.
      Тогда в ход идут подобные треугольники ADE и ABC. Составляем отношение сходственных сторон: \frac{AD}{AD+14}=\frac{2}{7}, откуда и находим AD.

      [ Ответить ]
  10. Ирина

    Спасибо за оперативность. Я тоже считаю, что информация неполная. Хотя это задача из учебника.

    [ Ответить ]
  11. Мира

    Задача:
    Трапеция с основаниями 7 и 25 и диагональю 20 вписана в окружность. Найдите:
    а) синус острого угла трапеции
    б) радиус описанной около трапеции окружности

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Опустите перпендикуляры из вершин B и C меньшего основания к большему основанию AD. Рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза – диагональ AC. Чему равен катет этого треугольника, лежащий на AD? Примените т. Пифагора. Найдете высоту. Далее и на синус острого угла можно выйти (0,8).
      Для пункта б) примените теорему синусов для треугольника со сторонами 20, 25, 15 (боковая). Радиус – 12,5.

      [ Ответить ]
  12. Ильяс

    Задача: Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 см и (корень 85) см. Найдите среднюю линию трапеции.
    Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть трапеция у нас ABCD (BC||AD). Перенесите диагональ BD параллельно самой себе в точку C. У вас получится прямоугольный треугольник c катетами 6 и \sqrt{85}. Его гипотенуза – сумма оснований трапеции… Ответ: 5,5.

      [ Ответить ]
      • Георгий

        можно было по другому

        Когда диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, тогда средняя линия равна высоте

        Площадь равняется квадрвту средней линии
        площадь еще можно вычислить как произведение диагоналов умноженное на синус угла между ними

        получается что средняя линия можно вичислить как корен из произведения диагоналов

        Георгий

        [ Ответить ]
  13. Ильяс

    Спасибо!!!

    [ Ответить ]
  14. Ильяс

    Задача: Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых летних домика.В первой бригаде было 20 рабочих, а во второй- 22 рабочих.Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 3 рабочих со второй бригады, в результате чего оба домика были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть производительность одного рабочего – x. Тогда за 10 дней I бригада сделала 20x\cdot 10 часть работы, II – 22x\cdot 10. Пусть бригадам потребовалось закончить работу в новом составе за y дней. Тогда I бригада в новом составе (23 чел.) сделела 23xy часть работы, II – 19xy.
      Итак, работа, сделанная I-ой бригадой – 200x+23xy, работа, сделанная II–ой бригадой – 220x+19xy.
      Составим уравнение:
      200x+23xy=220x+19xy, откуда 200+23y=220+19y, то есть y=5. Это и есть ответ к задаче.

      [ Ответить ]
      • аля

        Помогите мне решить задачу

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Какую?

          [ Ответить ]
  15. Ильяс

    Задача: До распродажи брюки стоили дешевле пиджака на 60% и дороже рубашки на 300%. В период распродажи цена пиджака снизилась на 20%, а цена брюк — на 25%. Витя купил пиджак и брюки во время распродажи. Сколько рубашек он мог купить на ту же сумму, если цена рубашки не изменилась.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть цена пиджака x, цена рубашки y. Тогда цена брюк, с одной стороны, 0,4x, с другой – 4y (откуда y=0,1х).
      Во время распродажи цена пиджака 0,8х, брюк – 0,75*0,4x. Витя потратил 1,1x. А мог бы купить 1,1x:y=1,1x:0,1x=11 рубашек.

      [ Ответить ]
  16. Оксана

    Здравствуйте. Помогите,пожалуйста, решить задачу. Дана равнобедренная трапеция ABCD. KL — средняя линия. Диагональ BD=4. Угол BDA=60 градусов.Чему равна KL?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Оксана, а боковая сторона не известна ли?

      [ Ответить ]
      • Оксана

        Нет

        [ Ответить ]
        • Евгения

          Т.к. равнобедренная трапеция, то рисуем две диагонали, пересечение диагоналей условно О, получаем, что треугольники АОД и ВОД равносторонние (сумма углов в треугольнике 180, а угол ВДА равен САД из равнобедренности трапеции), ВО=ОС, угол ВОС=АОД=60 как смежный, соответственно ОВС=ВСО, и получаем ВС=ОС=ОВ, АО=ОД=АД, т.к. ВД=4, то ВС+АД=4, т.е. КЛ= (ВС+АД)/2=2 усе

          [ Ответить ]
  17. Ильяс

    Задача: Коммерческие банки составляют 20% от общего числа банков. Финансовое положение устойчиво у 30% всех банков, в том числе у 10% коммерческих банков. Какой процент устойчиво работающих некоммерческих банков.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ильяс, хорошая задачка… И что?..

      [ Ответить ]
  18. Ильяс

    Ну я не могу решить. И учителя и одноклассники пытались — не смогли!

    [ Ответить ]
  19. Ильяс

    Решите плиз!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Принимаем за x количество всех банков. Тогда коммерческих – 0,2x. Так как устойчивое положение имеют 10% коммер.банков, то их количество выражается как 0,02x. Всего 0,3x банков имеют устойчивое положение. А значит, некоммерческих среди них 0,3x-0,02x=0,28x.
      Находим процент устойчивых некоммерческих: 0, 28x от 0,8х – это 35%.
      Что-то ваши задачи не подходят под тему Трапеция.
      С задачами на проценты вам сюда.

      [ Ответить ]
  20. Ильяс

    я так тоже решил, но ответ другой поэтому обратился к вам

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ильяс, перечитайте еще раз решение. Нас интересует процент устойчивых банков от КОММЕРЧЕСКИХ, а не от всех банков.

      [ Ответить ]
  21. Ильяс

    как получили 35%

    [ Ответить ]
    • egeMax

      0,28x:0,8x=0,35=35%

      [ Ответить ]
  22. Ильяс

    Задача: Длина медианы СМ треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и АВ в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24 см2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть P – середина AC. Тогда \Delta PMC – прямоугольный. А в силу того, что PM||BC, то и \Delta ABC – прямоугольный. Раз медиана равна 5, то гипотенуза AB равна 10. Раз площадь треугольника ABC равна 24, то катеты будут 6 и 8. Тогда периметр 24.

      [ Ответить ]
  23. Ильяс

    но там чертёж не возможен

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ?????

      [ Ответить ]
  24. Максим

    Решите задачу. В трапеции abcd |BC|=2см, |AD|=8см, ac(значок пересечения) bd=O, S(BOC) на 6 см меньше S(ABO). Найдите высоту данной трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Коэффициент подобия треугольников BOC и DOA\frac{1}{4}. Значит высота BOC, проведенная из O, в пять раз меньше высоты треугольника ABC, проведенной из A. Итак, отношение площадей треугольников ABC и BOC есть 5. Составим уравнение:
      \frac{2x+6}{x}=5 (x – площадь BOC, 2x+6 – площадь ABC). Откуда x=2.
      Ну а тогда высота BOC есть 2, следовательно высота трапеции – 10.

      [ Ответить ]
  25. Артем

    Помогите решить задачу. Диагональ равнобедренной трапеции составляет с основанием 45 градусов. Какова будет длина диагонали трапеции. Если площадь трапеции равна 72 см2.
    Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Проводим OH перпендик AD и OQ перпендик BC.
      Треугольник AOD равноб., прямоуг.(В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы – особая точка!!!!) Тогда HA=HD=HO=x. Аналогично BQ=QC=QO=y. Высота – x+y. Диагональ x√2+y√2.
      При этом 72=(x+y)^2. Откуда x+y=6√2. Ну и тогда диагональ есть 12.

      [ Ответить ]
      • Екатерина

        Объясните поподробнее,(В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы – особая точка!!!!) Как это понять?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Екатерина, середина гипотенузы – центр описанной окружности около треугольника. Свойство 7.

          [ Ответить ]
      • Екатерина

        И почему х+у в квадрате, как получилось 12.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Высота – x+y, сумма оснований – 2(x+y). Тогда площадь – \frac{2(x+y)}{2}\cdot (x+y). То есть (x+y)^2=72.
          Выше было сказано, что диагональ – (x+y)\sqrt2. Поскольку x+y=6\sqrt2, то диагональ есть 6.

          [ Ответить ]
          • Ольга

            Из условия задачи следует, что диагонали данной трапеции равны и перпендикулярны. Пусть диагональ равна d. Площадь трапеции равна 1/2*d^2. 1/2*d^=72, d^2=144. Значит, d=12

            [ Ответить ]
  26. Ильяс

    Задача: Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвёртая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 часа, первая, третья и четвёртая — за 3 часа. Если будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Совместная производительность двух первых, двух вторых, двух третьих и двух четвертых бригад – \frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{4}. Значит суммарная производительность четырех бригад – \frac{3}{8}. Тогда все четыре бригады разгрузят вагон вместе за 1:\frac{3}{8} часа, то есть за 2 часа 40 минут.
      Ильяс, задавайте вопросы в соответствующей теме! Я вас уже отсылала сюда.

      [ Ответить ]
  27. D1NKO

    Высота равнобедренной трапеции, равная 21, делит основание трапеции в отношении 1:9. Определить радиус описанного круга, если боковая сторона трапеции
    равна меньшему основанию.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть в трапеции ABCD BH – высота, равная 21. Из треугольника ABH по т. Пифагора (8x)^2-x^2=21^2 (где AH=x, соответственно AB=BC=CD=8x). Откуда x=\sqrt7.
      Из \Delta BHD: BD=\sqrt{21^2+(9\sqrt7)^2}=\sqrt{1008}.
      По теореме косинусов из \Delta BCD: 1008=64\cdot 7+64\cdot 7-2\cdot 64\cdot 7\cdot cos BCD, тогда cos BCD=-\frac{1}{8}. Откуда sin BCD=\frac{\sqrt{63}}{8}.
      И наконец, по теореме синусов для треугольника BCD, вписанного в окружность, \frac{BD}{sin BCD}=2R, откуда R=16.

      [ Ответить ]
      • D1NKO

        Можно пояснить, почему AB=BC=CD=8x ?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          AH:HD=1:9, тогда если AH=x, то HD=9x. Если при этом опустить высоту CT из вершины C на AD, то HT=8x. При этом HT=BC.

          [ Ответить ]
  28. Sh

    Дана Трапеция ABCD точка пересечение диагоналей O AD||BC BC=3см AD=7см OD=4см найти BO ? Помогите пожалуйста( заранее спасибо:)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Треугольники BCO и DAO подобны, коэффициент подобия – \frac{3}{7}.
      Значит BO=\frac{3DO}{7}=\frac{12}{7}.

      [ Ответить ]
  29. Sh

    В прямоугольной трапеции острый угол равен 60градусов найдите площадь трапеции если основание равны 7см и 5см? Спасибо)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Проведите в трапеции ABCD (где CD,AD – основания, \angle A=90^{\circ}) высоту из C. Назовите ее CH. Из прямоугольного треугольника CHD с углом в 60^{\circ}, а значит и с углом в 30^{\circ} катет DH=2. Тогда гипотенуза CD – вдвое больше по свойству катета, лежащего против угла в 30^{\circ}. Найдем по т. Пифагора и высоту CH. CH=2\sqrt3.
      Все известно для нахождения площади.
      S=\frac{5+7}{2}\cdot 2\sqrt3=12\sqrt3.

      [ Ответить ]
  30. Саша

    не подскажете , где можно найти доказательства данных свойств трапеции?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Большая часть – в обычных школьных учебниках… Пробуйте сами – хорошие задачи сами по себе будут… Спрашивайте, если что…

      [ Ответить ]
  31. Андрей

    Дано:АВ-9см СD-12см АD-30см ВС-15см. Нужно найти угол образованный продолжениями боковых сторон трации ABCD

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке O. Треугольники BOC и AOD подобны и коэффициент подобия – 15:30, то есть 1:2.
      Находим BO и CO. Замечаем, что треугольник AOD (его стороны – 30, 18 и 24) оказывается прямоугольным. Ответ: 90.

      [ Ответить ]
  32. Алиса

    Площадь равнобедренной трапеции равна 20 см.Радиус вписанной в трапецию окружности равен 2 см. Найдите длины сторон трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      По формуле S=pr (где pполупериметр, r – радиус вписанной окружности) находим периметр трапеции:
      20=p\cdot 2
      p=10
      Тогда P=20.
      Далее применяем свойство: если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны.
      Стало быть, сумма боковых сторон равна 10, а следовательно, боковые стороны равны по 5.
      Пусть BH\perp AD, CT\perp AD. Их прямоугольного треугольника ABH по т. Пифагора AH=\sqrt{5^2-(2r)^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3. Аналогично TD=3
      Сумма оснований, как уже было сказано, равна 10.
      Тогда 10=BC+AH+HT+TD, откуда 10=BC+3+BC+3.
      BC=2, AD=8

      [ Ответить ]
  33. Павел

    Углы при одном из оснований трапеции равны 19 и 71 градус, а отрезки соединяющие середины противлположных сторон, равны 12 и 10. Найдите основания трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      2 и 22

      [ Ответить ]
  34. Павел

    Большое спасибо, а как решать? У меня получаются дробные числа…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Продлеваем боковые стороны. Пусть они пересекаются в точке О.
      Треугольник OAD (AD – нижнее основание) – прямоугольный.
      Треугольник BOC также прямоугольный.
      Вспоминаем свойство медианы, проведенной к гипотенузе. Она равна ее половине.
      Тогда OK=BK=KC (К – середина BC) и ON=AN=ND (N – середина AD).
      Пусть OK=x. Тогда BC=2x, AD=24-2x. При этом ON=AD/2, то есть 10+x=12-x; x=1.
      Тогда BC=2, AD=22.
      Брали вариант, когда 10 – это ON. Если взять, ON=12, то придем к противоречию.

      [ Ответить ]
  35. Денис

    В ромбе ABCD угол ABC тупой. Из точки B на сторону AD опущен перпендикуляр BX. Известно, что AX = 7 и XD = 2. Найдите длину отрезка BD.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      По т. Пифагора из треугольника ABX: BX=\sqrt{AB^2-AX^2}=\sqrt{9^2-7^2}=\sqrt{32}.
      По т. Пифагора из треугольника BXD: BD=\sqrt{BX^2+XD^2}=\sqrt{(\sqrt{32})^2+2^2}=6.
      Ответ: 6.

      [ Ответить ]
      • Денис

        Большое спасибо.

        [ Ответить ]
  36. Ильяс

    Задача: Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть основания трапеции AD и BC (AC=8.) Через точку C проводим прямую, параллельную BD. Эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке E.
      Пусть BC=x, тогда AD=6-x.
      В треугольнике ACE имеем: AC=8, CE=10, AE=6-x+x=6.
      То есть треугольник ACE оказался прямоугольным (по теореме, обратной теореме Пифагора). Стало быть, высота трапеции – 8.
      Тогда S=8\cdot 3=24.

      [ Ответить ]
      • Галина

        Уточните, как нашли высоту трапеции и почему S= 8*6 если средняя линия равна 3. спасибо

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Галина, – вычислительная ошибка была. Конечно, 8х3, а не 8х6.
          Мы доказали, что AC и есть высота трапеции.

          [ Ответить ]
  37. Наталья

    Подскажите, как доказать, что основы трапеции геометричны относительно точки пересечения ее больших сторон

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, есть свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям
      Отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.
      Вы о нем?

      [ Ответить ]
  38. Ильяс

    Задача: Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним из пункта А вышел катер. Дойдя до В, катер сразу же развернулся и пошёл назад. Какую часть пути от А до В проплывёт плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      см. задачу №5 отсюда

      [ Ответить ]
  39. Ильяс

    Пожалуйста решите мне эту задачу. Я её не понимаю!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      x – скорость течения (плота). 4x, 2x – скорости катера по/против течения. Путь AB=S катер пройдет за время \frac{S}{4x}, а путь BA – за время \frac{S}{2x}. На весь путь катер затратит \frac{S}{4x}+\frac{S}{2x} времени, то есть \frac{3S}{4x}.
      Тогда плот за это же время пройдет \frac{3S}{4x}\cdot x=\frac{3S}{4}.
      Ильяс, не первый раз прошу вас писать в соответствующую тему!..

      [ Ответить ]
  40. Ильяс

    Спасибо!

    [ Ответить ]
  41. Артем

    Здравствуйте! Попалась какая-то не решаемая задача. Помогите решить.
    Основания трапеции равно 4 и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
    Спасибо.

    [ Ответить ]
  42. кристина

    Найдите площадь трапеции если ее диагонали равны 15 и 7, а средняя линия 10

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Перенесите одну из диагоналей параллельно самой себе в вершину меньшего основания. Получите треугольник со сторонами 15, 17 и 20.
      Площадь этого треугольника равна площади трапеции.
      Находите площадь треугольника по формуле Герона S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (p – полупериметр треугольника со сторонами a,b,c).

      [ Ответить ]
  43. Илья

    Помогите решить задачу. В окружность радиуса 5 вписана трапеция ABCD. Найдите длину средней линии трапеции, если известно, что её диагонали перпендикулярны друг другу, а синус угла BAC равен 0,6.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из \Delta ABC по т. Синусов: BC:0,6=2\cdot 5. Откуда BC=6.
      \angle ABD=90^{\circ}-\angle BAC. Тогда sin ABD=cos BAC=0,8.
      Из \Delta ABD по т. Синусов: AD:0,8=2\cdot 5. Откуда AD=8.
      Итак, средняя линия трапеции равна \frac{6+8}{2}, то есть 7.

      [ Ответить ]
  44. Ильяс

    Задача: Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Высота – 24. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой/диагональю, катетом/высотой и вторым катетом, равным 18+14, находим гипотенузу. d^2=32^2+24^2.

      [ Ответить ]
      • Светлана

        Добрый вечер!В трапеции диагонали пересекаются под прямым углом.Их длины 12 и 18.Как найти среднюю линию?Какие есть свойства?Спасибо!

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Одну из диагоналей (например, BD) переносите параллельно самой себе (в точку C). У вас появляется прямоугольный треугольник ACK (CK=BD, CK||BD). Его катеты – 12 и 18. Находите гипотенузу AK. Она есть сумма оснований. Тогда остается результат поделить на два, так как средняя линия есть полусумма оснований.

          [ Ответить ]
  45. Ильяс

    А там ответ 40

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Так и есть – 40

      [ Ответить ]
  46. Оля

    Как доказать 4 пункт в свойствах трапеции??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Оля,один из способов доказательства:
      Треугольники AOD и COB подобны. Тогда AO:CO=DO:BO или, что тоже самое, AO*BO=CO*DO.
      При этом S(ABO)=(AO*BO*sinAOB):2, а S(DOC)=(CO*DO*sinDOC):2, ну и, конечно, угол AOB = угол DOC.
      Вот и получаем, что площади треугольников AOB и DOC равны.

      [ Ответить ]
  47. Настя

    Помогите, пожалуйста))
    В полукруг вписана трапеция с меньшим основанием 14 см, параллельным диаметру, и высотой 24 см. Найдите радиус полукруга.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть трапеция ABCD вписана в полукруг. AD, BC – основания, BC – меньшее.
      О – центр полукруга.
      Треугольник BCO – равнобедренный. Пусть ОН перпендик. BC. Тогда Н – середина BC. OH=24, BH=7.
      Из треугольника BOH по теореме Пифагора находим BO, равный радиусу. BO^2=24^2+7^2.
      BO=25.

      [ Ответить ]
      • Настя

        А почему центр окружности лежит на большем основании, это не сказано по условию задачи?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Из-за того, что трапеция вписана в полукруг. То есть большее основание – диаметр. Так я понимаю…

          [ Ответить ]
  48. Катя

    Помогите пожалуйста)Основание BC трапеции ABCD меньше основания АD.В трапецию вписана окружность, касающаяся стороны АВ так в точке К так, что АК =3кореньиз3, KB=кореньиз3.Угол, образованный прямыми АВ и CD и содержащий центр окружности, равен 30 градусам. Найдите длину стороны СD/

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если использовать свойство отрезков касательных, несложно прийти к тому, что высота трапеции равна 6.
      Вы пришли к этому?
      Далее перенесите, например, боковую сторону AB параллельно самой себе в точку C. В полученном треугольнике CPD (CP\parallel AB) угол C равен 30^{\circ}.
      Площадь этого треугольника можно посчитать как полупроизведение сторон на синус угла между ними, а также как полупроизведение стороны на высоту, к ней проведенную. При этом введите x и y (попарно равные отрезки касательных при точках C,D). Выйдете на первое уравнение системы 2\sqrt3(x+y)=6(y+2\sqrt3-x).
      Также обратитесь к прямоугольному треугольнику при боковой стороне, что выражается как x+y. Катеты этого треугольника – 6 и y-x. Здесь найдем второе уравнение системы: xy=9.
      Ну и далее решаем систему…

      [ Ответить ]
  49. Кристина

    Помогите пожалуйста!
    Найдите среднюю линюю трапеции, диагонали которой перпендикулярны и равны 6 см и 8 см.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Кристина, смотрите 24-й пост (Ильяс), – там аналогичная задача.
      Ответ: 5.

      [ Ответить ]
  50. Стася

    Помогите пожалуйста.
    Основания трапеции корень2 + 1 и корень5 . Отношение площадей меньшего из тоеугольников, образованных диагоналями и основаниями трапеции, и большего равно?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Отношение площадей подобных треугольников с коэффициентом подобия k есть k^2.
      А так как коэффициент подобия указанных в условии треугольников – \frac{\sqrt5}{\sqrt2+1}, то отношение площадей – (\frac{\sqrt5}{\sqrt2+1})^2=(\sqrt5(\sqrt2-1))^2=5(3-2\sqrt2)=15-10\sqrt2.

      [ Ответить ]
  51. Danil

    известны основания 5см 15см и диагонали трапеции 12см и 16см найти площадь. подскажите пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Перенесите одну из диагоналей параллельно самой себе в соседнюю вершину верхнего основания. Увидите треугольник со сторонами 12, 16 и 20. Его площадь и есть площадь трапеции, А площадь треугольника находите по формуле Герона, например.
      Ответ: 96.

      [ Ответить ]
  52. Катя

    Помогите решить, пожалуйста:
    Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BC пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

    а) Докажите, что MK=NL
    б) Найдите MN, если известно, что BC=10, AD=18, MK:KL=1:2

    Заранее спасибо

    [ Ответить ]
    • egeMax

      a) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AMK есть k.
      Заметим, k=\frac{H}{h}, где H – высота трапеции/треугольника ABC, h – высота треугольника AMK к стороне MK.
      Но и у подобных треугольников DBC,DLN отношение соответствующих высот таково же
      (\frac{H}{h}). А значит, коэффициенты подобия указанных пар треугольников равны. А это и означает, что MK=LN=\frac{BC}{k}.
      б) Во-первых, k=\frac{10}{x}, x=MK.
      Во-вторых, из подобия треугольников MBL,ABD имеем: \frac{kh-h}{kh}=\frac{3x}{18}.
      То есть 1-\frac{1}{k}=\frac{x}{6} или 1-\frac{x}{10}=\frac{x}{6}. Откуда x=\frac{15}{4}.
      Наконец, MN=4x=15.

      [ Ответить ]
      • Катя

        Спасибо!

        [ Ответить ]
  53. Ильяс

    А вот в задаче на доказательство там же высота треугольника АМК и высота треугольника DLN не равны
    как мы можем сказать что они равны

    [ Ответить ]
    • egeMax

      О чем речь?

      [ Ответить ]
  54. Ильяс

    ну вот задача Кати про трапецию, как вы узнали что высоты треугольников
    АМК и DLN равны

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ну так эти высоты – как шпалы между рельсами (параллельными прямыми AD и MN)…

      [ Ответить ]
  55. Lolik

    Высота равнобедренного треугольника,проведённая к основанию,равна 64 см,а диаметр вписанной окружности равен 48 см. Найдите радиус окружности,описанной

    около треугольника

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть центр – O, основание – AC, H – середина AC.
      Пусть K и N –  точки касания окр. с бок. сторонами.
      Пусть M – общая точка окр. и высоты BH, отличная от точки H.
      Очевидно, r=24,MB=16, OB=40
      Имеем в треуг. KBO: BK=\sqrt{40^2-24^2}=32.
      Вводим x=AK=AH=HC=CN.
      К треугольнику ABH – опять т. Пиф.
      (x+32)^2=64^2+x^2. Находите x. В итоге все стороны известны становятся. Применяйте формулу R=\frac{abc}{4S} для нахождения радиуса опис. окр.

      [ Ответить ]
  56. Lolik

    Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 48 см, делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 3:5, считая от основания. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Задача крайне похожа на предыдущую.
      Радиус – 3x, высота – 8x.
      Если AC — основание, H – его сер., M,N – точки кас. окр. с бок. сторонами, то AH=HC=AM=CN=24.
      Из треуг. OMB: BM=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x.
      Теорему Пиф. применяем теперь к треуг. ABH. Находите x. Ну а после и R по формуле R=\frac{abc}{4S}.

      [ Ответить ]
  57. Lolik

    Точка касания окружности вписанной в ромб делит его сторону на 9 см и 16 см. Найдите высоту ромба
    Помогите, пожалуйста :)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Сторона ромба – 25. Рассмотрите прямоугольный треугольник с гипотенузой – стороной ромба, катетом, равным высоте. Второй катет такого треугольника – 7 (подумайте почему). Тогда по т. Пифагора h=24.

      [ Ответить ]
      • Lolik

        Спасибо большое, очень благодарна!

        [ Ответить ]
  58. Sh

    в окружность вписан четырехугольник ABCD лучи AB и CD пересекаются в точке O найти отрезок а)отрезокOC если AO=10дм BO=6дм DO=15дм?
    б)отрезокOB, если CD=10дм OD=8дм AB=4дм?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      а) По свойству секущих: OB*OA=OC*OD, откуда 60=15OC, то есть OC=4
      б) по аналогии
      Вам сюда.

      [ Ответить ]
  59. K

    В окружности с радиусом 13дм взята точка Р находящаяся от центра окружности на расстояние 5дм . Через точку Р проведена хорда АВ длиной 25дм . Найдите отрезки АР и РВ

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть центр – О, пусть прямая ОP пересекается с окружностью в точках M и N.
      Примените свойство пересекающихся хорд: MP*PN=AP*PB.
      8*18=x(25-x), откуда AP и PB – 16 и 9.

      [ Ответить ]
  60. Свет

    Дана трапеция АВСД основания равны 16 и 96 боковые стороны 58 найти диагональ АС

    [ Ответить ]
  61. Aya

    Помогите, пожалуйста:
    Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12 см, а наибольшая боковая сторона 25 см. Найдите периметр трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Раз радиус равен 12, то меньшая боковая сторона равна 24.
      Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Поэтому периметр равен (12+25)*2=74

      [ Ответить ]
      • Роберт

        Неправильно. (24+25)*2=98

        [ Ответить ]
        • egeMax

          да, конечно)

          [ Ответить ]
  62. Артём

    задача: вокруг окружности описана прямоугольная трапеция, длины оснований которой равны 8 и 12. найдите радиус этой окружности с решением

    [ Ответить ]
  63. Алексей

    Трапеция ABCD с основаниями AD=36, BC=12, AB=13. Сумма углов в основании трапеции (BAD+CDA)=90. Как найти радиус окружности, проходящей через A и B и касающейся CD?
    Спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Продлите боковые стороны. Увидите прямоугольный треугольник. Проведите медиану из вершины прямого угла этого треугольника. Вспомните свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Начните … Пробуйте!

      [ Ответить ]
      • Алексей

        Благодарю)

        [ Ответить ]
  64. Ольга

    Через точку О пересечения диагоналей равнобедренной трапеции ABCD (AD||BC) со взаимно перпендикулярными диагоналями проведена прямая MK перпендикулярная к стороне CD ( точка M лежит на AB, точка K на CD). Найдите MK, если AD=40 см, BC=30см.

    [ Ответить ]
    • Игорь

      Помогите пожалуйста. Диагонали трапеции 6 и 8 см. Отрезок, соединяющий середины ее оснований 5 см. найдите площадь трапеции.

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Смотрите ответ на коммент Ильяса от 03.02.2015. Дано решение аналогичной задачи.

        [ Ответить ]
  65. Taaaton

    Трапеция ABCD с основаниями BC и AD описана около окружности, угол BCD=120 градусам, угол BAD=60градусам. Найдите отношение AB:BC

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Taaaton (и другие), ну задачка… и что..? Вы же обращаетесь не в пустоту, не к роботу, правда? А к конкретному человеку. Вам сложно попросить? Есть слова «спасибо», «пожалуйста». Всегда готова помочь… :))

      [ Ответить ]
      • Taaaton

        помогите пожалуйста ,не могу решить , заранее спасибо

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Несложно заметить, что трапеция ABCD (пусть AD,BC – большее и меньшее основания) – равнобокая. Пусть AB и CD пересекаются в точке M. Тогда треугольник AMD – равносторонний. То есть AM=AD. Обозначим BC=2x,AD=2y. Очевидно, по свойству отрезков касательных, AB=x+y. Откуда AM=y+x+2x. Итак, возвращаясь к тому, что AM=AD, получаем: y+3x=2y.
          То есть y=3x. Стало быть, AB:BC=4x:2x=2.
          Если остались вопросы, обращайтесь.

          [ Ответить ]
          • Taaaton

            спасибо,очень помогли

            [ Ответить ]
  66. Валерия)

    Здравствуйте!Помогите пожалуйста с решением задач, а то затрудняюсь, буду очень благодарна)
    1)Трапеция ABCD c основаниями BC и ADописана около окружности. Известно, что <ВСD=2<BAD.Найдите отношение АВ|ВС.
    2)При каких значениях k прямая y=kx, имеет с графиком функции y=|x-2|+|x+1|ровное две точки.
    3)При каких значениях параметра а уравнение аx^2-4x+a+3=0 Имеет более одного корня. Заранее большое спасибо)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      3) потребуйте для исходного уравнения, чтобы D>0 при условии, что a\neq 0. Должны прийти к a\in (-4;0)\cup (0;1).
      2) Постройте «корыто». Как будет выглядеть y при x\in (-\infty;-1), при x\in [-1;2] и при x\in (2;+\infty)? Повращайте y=kx вокруг точки (0;0). Начните…
      1) А трапеция, случайно, не равнобедренная?

      [ Ответить ]
      • Валерия)

        Спасибо, нет не сказано какая трапеция,ноо
        пускай будет равнобедренная)

        [ Ответить ]
  67. Ксю00014

    трапеция АВСД, ВС — 6, АД — 9, диагонали перетинаються в точке О. Найти ОД и ОВ, якщо ОД-ВО=2.

    [ Ответить ]
  68. Виталий

    Помогите пожалуйста в решении такой задачи.Найдите радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию если основание 8,2 см. Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Виталий, чего-то не хватает в условии. Дайте точную формулировку.

      [ Ответить ]
  69. Изольда

    Помогите пожалуйста решить задачу. Найти площадь равнобедренной трапеции если диагональ делит острый угол пополам и среднюю линию на отрезки 23 и 13.Большое спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть BC,AD – меньшее и большее основания соответственно.
      BC=26, так как отрезок средней линии трапеции, равный 13, является средней линией треугольника с основанием BC. Аналогично AD=46.
      Далее замечаем, что треугольник ABC – равнобедренный, тогда AB=CD=26.
      Опускаем из B и C высоты к AD. Из одного из образовавшихся прямоугольных треугольников находим высоту h по теореме Пифагора: h=\sqrt{26^2-10^2}=24.
      Наконец, S=\frac{26+46}{2}\cdot 24=...

      [ Ответить ]
      • Денис

        Помогите пожалуйста решить задачку. Дана равнобедренная трапеция АВСD (AD параллельна BC). Известно,что AD>BC. На её описанной окружности отмечена точка Е, такая, что BE перпендикулярна AD. Докажите, что АЕ+ВС>DE.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Можно попробовать так.
          Пусть BE пересекается с AD в точке K.
          Введите переменные: AK=x,KD=y. Замечаем, y>x.
          Выражаем AE,BC,DE через x,y.
          AE=x\sqrt2, BC=y-x, DE=AB=\sqrt{x^2+y^2}.
          Пробуйте теперь в новых обозначениях доказать неравенство)))

          [ Ответить ]
  70. Людмилка

    прошу подсказать решение:
    Дана трапеция АВСД (не равнобедренная!). Диагонали АС и ВД перпендикулярны, причем АС=48см. Средняя линия MN=25см.
    Высота ВН опущена на основание АД(перпендикулярна ему)
    Найти Высоту ВН

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Перенесите диагональ BD параллельно самой себе в точку C. У полученного прямоугольного треугольника ACK (K – точка на AD) известна гипотенуза (50) и катет (48). Находим второй катет (14) – это BD ( или CK).
      Теперь вам просто надо найти высоту прямоугольного треугольника ACK, проведенную к гипотенузе. Все для этого есть!

      [ Ответить ]
      • Людмилка

        спасибо большое, оказывается все очень просто!

        [ Ответить ]
  71. Виктория

    Елена Юрьевна,добрый вечер.Поздравляю Вас с профессиональным
    праздником! Помогите пожалуйста разобраться в задаче для 8 класса. В учебнике мало информации. Заранее благодарю Вас.
    Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Виктория,спасибо!
      Можно положить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, при этом меньшее основание одной плитки лежало бы на одной прямой с большим основанием другой плитки (а такое совпадение обязательно произойдет, так как сумма соседних углов при разных основаниях равна 180 градусам по свойству трапеции). Так можно покрыть полосу, а такими полосами покрыть и плоскость.

      [ Ответить ]
      • Виктория

        Большое спасибо.

        [ Ответить ]
  72. Дарья

    Помогите решить задачу по геометрии. Дана равнобедренная трапеция ABCD, меньшее основание которой равно боковой стороне. Меньшее основание трапеции равно половине большего основания. Найдите все углы трапеции. Очень прошу, помогите(

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть у трапеции ABCD меньшее и большее основания – BC и AD соответственно.
      Пусть K – середина AD. Тогда треугольник CKD – равносторонний. То есть угол D (а значит и угол A) равен 60˚. Ну тогда углы B и C по 120˚.

      [ Ответить ]
      • Дарья

        Спасибо большое, теперь все понятно :)

        [ Ответить ]
  73. Лея

    Помогите пожалуйста,периметр равнобедренной трапеции равен 36.средняя линия больше на 2 сантиметра чем бедро трапеции. Чему равно бедро трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть боковое ребро – x, основания – a и b.
      Согласно условию \frac{a+b}{2}=x+2 (откуда a+b=2x+4).
      А так как периметр трапеции по условию равен 36 (то есть 2x+a+b=36), то 2x+2x+4=36, откуда x=8.

      [ Ответить ]
      • Лея

        Огромное спасибо

        [ Ответить ]
  74. Светлана

    в равнобедренной трапеции диагональ составляет с основанием угол 30 градусов, а её высота = 4см. Найти среднюю линию трапеции. Помогите, пожалуйста! ))

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть BC, AD – меньшее и большее основания трапеции ABCD соответственно.
      Пусть CH\perp AD. В треугольнике ACH напротив угла в 30˚ лежит катет, равный 4. Тогда AC=2\cdot 4.
      Следовательно AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=4\sqrt3.
      При этом AH=\frac{BC+AD}{2}, то есть длина AH и есть длина средней линии.
      Ответ: 4\sqrt3.
      Надеюсь, ясно окуда взялось AH=\frac{BC+AD}{2} )))

      [ Ответить ]
  75. Александра

    Здравствуйте, помогтте пожалуйста решить задачу. В прямоугольной трапецииАВСД ,угол ВАД прямой,угол ВАС =45,угол ВСД =135, АД=30 см.Найдите меньшую боковую сторону трапеции. Назовите три равных треугольника из которых составлена эта трапеция.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Угол BCA равен 45°, так как углы BCA и CAD – накрест лежащие при BC||AD и секущей AC.
      Треугольник ABC таким образом – прямоугольный, равнобедренный.
      А так как угол С равен 135˚, то угол AСD – прямой.
      Треугольник ACD – прямоугольный, равнобедренный. Если в нем провести высоту (медиану) к гипотенузе, то он разобьется на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника (треугольник ABC также равен им).
      Меньшая боковая сторона – 15.

      [ Ответить ]
  76. Надежда

    Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу: Основания трапеции равны 12 и 28, а одна из взаимно-перпендикулярных диагоналей — 24. Чему равна площадь трапеции?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Параллельно самой себе одну из диагоналей перенесите до пересечения с концом другой. Получите прямоугольный треугольник с известной гипотенузой (40) и катетом (24). Тогда второй катет (неизвестная диагональ) – 32.
      Площадь этого треугольника и есть площадь трапеции. Ответ: (32*24):2.

      [ Ответить ]
      • Надежда

        спасибо большое! Оказывается совсем просто решается, а я решила другим способом, он более громоздкий. Может подскажете решение другой задачи: найти наибольшую площадь трапеции, каждая из боковых сторон которой и меньшее основание равны 4/3 в степени 3/4.Спасибо.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Введите переменную. Пусть x – высота трапеции.
          Тогда S=x((\frac{4}{3})^{\frac{3}{4}}+\sqrt{(\frac{4}{3})^{\frac{3}{2}}-x^2}).
          Исследуйте функцию S(x) на наибольшее значение.

          [ Ответить ]
          • Надежда

            Спасибо большое, я так же решила.
            Меня беспокоят еще две задачи, только они не геометрические. Если Вас не затруднит, может подскажете.Вот 1 задание: найдите сумму всех целых а, при которых уравнение 2а(sinx-1) + 15 = а^2-10sinх имеет хотя бы одно решение. Я выразила sinх через а, затем, т.к. -1<sinx<1, значит и правая часть принадлежит этому промежутку, нашла сумму всех целых а, получилось 15, но этот ответ неверный. Где ошибка, не могу найти.И со второй задачей ответ не сходится, значит решаю что-то не так.2 задание: корень квадратный из выражения 2(sin^2(Пху/2) + 1 + ctg^2(Пху/2)) = — у^2 + 2у + 1. Определить х — у.Спасибо.

            [ Ответить ]
          • egeMax

            1) Начали правильно. Да, нужно выразить sinx. Должно получиться что-то вроде sinx=\frac{a^2+2a-15}{2a+10} при a\neq -5.
            Значение a=-5 – дает также верное равенство.
            Решайте |\frac{a^2+2a-15}{2a+10}|\leq 1, незабыв потом к решению добавить a=-5.
            2) Так как a+\frac{1}{a}\geq 2, то
            под корнем: 2(sin^2\frac{xy\pi}{2}+\frac{1}{sin^2\frac{xy\pi}{2}})\geq 4, то есть левая часть всегда больше или равна 2. А правая – меньше или равна 2. Делайте вывод.

            [ Ответить ]
          • Надежда

            Спасибо, Вы мне очень помогли.

            [ Ответить ]
  77. Танько

    Сможете помочь ._.?
    Найдите площадь равнобедренной трапеции ,диагональ которой равна 12см,а угол между диагоналям составляет 45 градусов .

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Раз трапеция равнобедренная, то диагонали равны. Воспользуйтесь формулой S=\frac{d_1\cdot d_2\cdot sin\alpha}{2}, где \alpha – угол между диагоналями, d_1=d_2=12.  
      Или
      Перенесите одну диагональ параллельно самой себе в конец (что в меньшем основании) второй диагонали. Получите равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 12 и углом между ними 45. Подумайте, как связана его площадь с площадью исх. трапеции.

      [ Ответить ]
      • Раушан

        Помогите пожалуйста решить задачу. В прямоугольной трапеции АВСД меньшая боковая сторона АВ=10см, угол СДА=45°. Найти расстояние от С до АД

        [ Ответить ]
        • egeMax

          10.
          Только зачем дан угол в 45°, не понятно…

          [ Ответить ]
  78. Нина

    Помогите, пож-та, решить:
    В трапеции ABCD т.E — середина большего основания AD. ED=BC, угол B=120. Найти углы AEC и BCE.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ВСEA — параллелограмм, поэтому угол AEC равен 120°, угол BCE равен 60˚.

      [ Ответить ]
  79. Марина

    Помогите пожалуйста решить задачу.Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) Докажите сначала, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции. К этому несложно прийти через подобие треугольников.
      2) После чего докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.
      3) Тогда мы придем к тому, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

      [ Ответить ]
  80. Людмила

    Помогите!!!!!!!!
    в полукруг радиуса R вписана трапеция наибольшего периметра основание которой совпадает с диаметром. найти стороны трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть x – боковые стороны (трапеция равнобокая, коль вписана в полукруг).
      Пусть y – меньшее основание.
      Высота трапеции – \sqrt{R^2-\frac{y^2}{4}} с одной стороны, \sqrt{x^2-(R-\frac{y}{2})^2} с другой.
      Тогда y=(2R^2-x^2):R.
      Периметр – 2R+(2R^2-x^2):R+2x.
      Исследуйте функцию 2R+(2R^2-x^2):R+2x на наибольшее значение, найтите x (затем и y), при котором оно достигается.

      [ Ответить ]
  81. Света

    как решить задачу : Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны боковым сторонам.
    Найдите площадь трапеции, если основания её равны 4 и 8.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Так как углы ABD,ACD – прямые, то трапеция ABCD – вписанная в окружность с диаметром AD. Центр окр. – O.
      Тогда OB=4.
      Пусть BH\perp AD. Из треугольника BHO:
      BH=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.
      Наконец, S=\frac{(4+8)\cdot 2\sqrt3}{2}=12\sqrt3.

      [ Ответить ]
      • Света

        Спасибо огромное!!!!

        [ Ответить ]
  82. Василина

    Помогите пожалуйста :Моторная лодка во вторник в 17:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный
    в 198 км от пункта А. Пробыв в пункте В 3 часа 12 мин, лодка отправилась назад и
    вернулась в пункт А в четверг в 12:12. Найдите собственную скорость лодки, если
    известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

    ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!!!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Время в пути – 19 часов.
      x – собств. скорость лодки.
      \frac{198}{x-1}+\frac{198}{x+1}=19.

      [ Ответить ]
  83. Алиса

    Если мооожно то с рисунком. Отрезок СН – биссектриса треугольника. Точки F и D – основания
    перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АС и ВС соответственно; АС =
    3
    4
    ВС, АСВ = 60градусов, HD = 14 корень из 3
    . Найдите стороны треугольника.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Алиса, вы уже успели за два дня побыть Светой, Василиной, может еще что я упустила…
      Умнее не станете, если за вас решать задачи будут))) Сама-сама…

      [ Ответить ]
      • Алиса

        Я здесь только с алисы и василины писала , но вам все равно за задачу огромное спасибо!!!

        [ Ответить ]
  84. Мария

    Помогите, пожалуйста. в прямоугольном параллелепипеде точка Е-середина сс1. найти расстояние между АЕ и Вс1. если ав=3, ад=2 сс1=4. по-моему нужно опустить перпендикуляр, только не могу это представить

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Здесь так все легко получится через введение прямоугольной системы координат. Сам прямоугольный параллелепипед же дан! Советую попробовать.

      [ Ответить ]
      • Мария

        а там нужно проводить плоскость через одну из прямых?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Да, одну прямую переносим парллельно самой себе до пересечения со второй.

          [ Ответить ]
  85. Елена

    Найдите длину большего основания прямоугольной трапеции, если ее меньшая боковая сторона равна 6 см, меньшая диагональ, перпендикулярная большей боковой стороне равна 10 см.
    Заранее спасибо!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть ABCD – данная трапеция. AB=6, AC=10.
      Очевидно, по т. Пифагора, из треугольника ABC: BC=8.
      Проведем CH\perp AD.
      Пусть HD=x. Заметим, HC=6. Из треугольника HCD: CD^2=x^2+6^2
      Тогда из треугольника ACD по т. Пифагора (x+8)^2=10^2+x^2+6^2.
      Отсюда находим x.

      [ Ответить ]
      • Елена

        Большое спасибо)

        [ Ответить ]
  86. яна

    докажите что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180 .Верно ли обратное утверждение если сумма противолежащих углов трапеции равна 180 верно то данная трапеция равнобокая

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В равнобокой трапеции ABCD углы при основаниях (AD,BC) соответственно равны (угол A равен D; угол C равен B)

      А так как основания параллельны, то углы A и B (также как и C, D) в сумме дают 180 градусов как внутренние односторонние углы.
      Итак, A+B=180 можно переписать как A+C=180 (угол C равен B). Аналогично со второй парой.
      Обратное верно.

      [ Ответить ]
  87. Татьяна

    Пожалуйста, помогите решить задачу:
    При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 45 градусов и периметром P=4(1+ Корень квадратный из 2) имеет наибольшую площадь? Заранее благодарю)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Малое основание трапеции меньше большего на длину высоты (подумайте, почему…)
      Пусть высота – h, меньшее основание – x.
      4(1+ Корень квадратный из 2) =2h+2x+h√2, откуда 4+4√2-h(2+√2)=2x
      S=h(2x+h):2=h(4+4√2-h(2+√2)+h):2.
      Исследуйте S(h)=h(4+4√2-h(1+√2)):2 на наибольшее значение, точнее найдите h, при котором оно достигается.

      [ Ответить ]
      • Татьяна

        По моему вы нашли полусумма оснований,, а не надо ли еще все это умножить на высоту , чтобы получить площадь?

        [ Ответить ]
      • Татьяна

        все увидела высоту спасибо большое теперь все понятно

        [ Ответить ]
  88. Лана

    дана прямоугольная трапеция, большее основание которой равно 12 см, а радиус вписанной в нее окружности-3 см. найдите площадь трапеции. как решить без тангенса?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Опустите высоту, примените т. Пифагора для образовавшегося прямоугольного треугольника с одним из катетов 6. Прежде введите x.

      [ Ответить ]
      • Лана

        так там только одна сторона будет известна, не понимаю, как решить…

        [ Ответить ]
  89. николай

    помогите решить задачу.дана трапеция со сторонами 9см и 12см основания 15см и 30 см.надо определить велечину угла пересечения боковых сторон трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть K – точка пересечения продолжения сторон AB,DC.
      Тогда треугольники BKC,AKD подобны и коэффициент подобия – \frac{1}{2}.
      В треугольнике AKD известны все стороны AK=18,KD=24,AD=30. Находим искомый угол по теореме косинусов:
      30^2=18^2+24^2-2\cdot 18\cdot 24\cdot cos\alpha.
      Ответ: 90.
      (Можно и сразу заметить, что AD^2=AK^2+KD^2)

      [ Ответить ]
  90. Люба

    Основания трапеции равны 7см и 21 см. Найдите боковые стороны трапеции, если радиус вписанной окружности равен 6 сч.

    [ Ответить ]
  91. Мариша

    Пусть АД и ВС — основания трапеции АВСД, причем АД=21, ВС=7. Так как трапеция описана около окружности радиуса 6, то сумма боковых сторон трапеции равна 28, а ее высота — 12.Проведем ВМ параллельно сд. Тогда АМ=14, а площадь треугольника АВМ равна 84.Обозначим:
    АВ=х, ВМ=28-х и снова найдем площадь треугольника АВМ, но теперь по теореме Герона. Уравняем найденные площади и решим получившееся уравнение. А ответ будет таким: 15см и 13см.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мариша, спасибо. Но думаю, – Люба сюда не заглянет уже…
      Я не отвечаю тем, кто просто кидает задачи. Если лень вежливо попросить помощи, то мне лень решать))

      [ Ответить ]
      • Люба

        Спасибо за решение. А сюда не надо заглядывать — у вас сайт с обратной связью, как только Вы ответили на мою задачку мне на почту пришел ответ.
        С новогодними праздниками и прошедшими каникулами!

        [ Ответить ]
  92. Люба

    Упс, Мариша не верно прочитала условие задачи — окружность — не описанная, а вписанная — «Основания трапеции равны 7см и 21 см. Найдите боковые стороны трапеции, если радиус вписанной окружности равен 6 см.» Заранее благодарна…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мариша все поняла правильно)))
      Люба, будьте внимательнее!

      [ Ответить ]
  93. Арыстан

    Сможете пожалуйста решить задачу. Дано:В четырехугольнике ABCD AB = CD, M и K — середины BC и AD. Докажите,
    что угол между MK и AC равен полусумме углов BAC и DCA.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Арыстан, посмотрите здесь.

      [ Ответить ]
  94. Влад

    в окружность радиусом 3 см вписана трапеция с углом при основании 45 градусов и высотой корень из 2 см. Найдите площадь трапеции

    [ Ответить ]
  95. Бобер я

    Какой градусный коэффициент у трапеции?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Здесь надо бы вставить смайлик, разводящий в недоумении руками…

      [ Ответить ]
  96. Ги

    Здравствуйте! Почему в качестве примера Вы не приводите трапецию, получаемую при отсечении острого угла тупоугольного треугольника?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Вы имеете ввиду тупоугольную трапецию?
      Да, надо бы вставить…

      [ Ответить ]
  97. Ги

    Еще вопрос. Тупоугольные трапеции почти нигде не рассматриваются, особенно, как в следующем примере с вершинами: (0,0),(4,0),(7,5),(5,5). Можно ли утверждать, что все формулы и теоремы для трапеций справедливы и в случае тупоугольных?

    Я имею учебник с решенными задачами. Одна из задач такова.

    Найти площадь трапеции, зная длины ее диагоналей и высоты.

    Автор учебника даже не рассматривает случай, который я привел выше. Между тем результат там — иной.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, конечно.
      По поводу задачи – ничего не понятно. Ответ иной по сравнению с чем? Лучше конкретнее.

      [ Ответить ]
      • Ги

        Здравствуйте. Я хотел сказать, что выделение тупоугольных трапеций является существенным. Более того. Из тупоугольных трапеций следует еще выделить «сильно» наклонные, т.е. тот случай, когда одно основание даже частично не проектируется на другое:

        ••••••••••••••••••••••••••••••••••
        ••••••••••••••••••••••••• •••••
        •••••••••••••••••••••• ••••••
        ••••••••••••••••••• •••••••
        •••••••••••••••• ••••••••
        ••••••••••••• •••••••••
        •••••••••• ••••••••••
        ••••••• •••••••••••
        •••• ••••••••••••
        ••••••••••••••••••••••••••••••••••

        Вернусь к задаче

        Найти площадь трапеции, если даны диагонали d1, d2 и высота h.

        Решение этой задачи дано в книге: Кутасов А.Д. и др. (под редакцией Яковлева Г.Н.), Пособие по математике для поступающих в вузы, Москва 1982.

        При решении задачи авторы пособия рассмотрели лишь классическую форму трапеции и получили результат:

        S = 0.5·h·[√(d1·d1 — h·h) + √(d2·d2 — h·h)]

        Однако для «сильно» наклонной трапеции ответ другой:

        S = 0.5·h·[√(d1·d1 — h·h) — √(d2·d2 — h·h)], где d1 > d2

        Скачать книгу в формате djvu можно здесь:
        https://yadi.sk/d/fl1JOtXonDvya
        Решение задачи на стр. 320

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Согласна с вами, что формула S = 0.5·h·[√(d1·d1 — h·h) + √(d2·d2 — h·h)] не работает для, как вы говорите, «сильно» наклонной трапеции.
          Но свойства, рассматриваемые конкретно мной в этой статье, верны для всех видов трапеции. Так, что, не думаю, что тупоугольные трапеции здесь как-то «ущемлены».
          Спасибо за диалог. Быть может, руки доберутся когда-нибудь до написания отдельной статьи (или для дополнения этой) для «сильно» наклонных трапеций.

          [ Ответить ]
      • Ги

        Пример «сильно» наклонной трапеции: (0,0),(4,0),(7,5),(5,5) (вершины)

        [ Ответить ]
  98. Мари

    в окружность радиусом 3 см вписана трапеция с углом при основании 45 градусов и высотой корень из 2 см. Найдите площадь трапеции

    [ Ответить ]
  99. Мари

    Для треугольника со сторонами 5 см, 6 см, 9 см Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей:

    [ Ответить ]
  100. Ап

    Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О. Периметры треугольников ВОС и AOD относятся как 3 : 5, BD = 24. Найдите длины отрезков ВО и OD.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ап, наверное, вы делитесь задачкой…
      Спасибо…

      [ Ответить ]
  101. Сергей

    В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, угол ADB=углу BDC=30 градусов. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см
    Помогите, пожалуйста решить.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Принимаем AB за x. Тогда по свойству катета, лежащего против угла в 30 градусов, AD=2x.
      Несложно заметить, что трапеция равнобедренная и треугольник BCD равнобедренный. То есть AB=BC=CD=x.
      60=5x. Откуда находим AD.

      [ Ответить ]
      • Сергей

        Спасибо огромное)

        [ Ответить ]
  102. Анна

    Здравствуйте Пришлите пожалуйста основание трапеции равно 2 сантиметра и 18 сантиметров а диагональ 15 и 7 сантиметров найти площадь трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Прислать вам основание трапеции?))

      [ Ответить ]
      • egeMax

        Перенесите одну из диагоналей трапеции параллельно самой себе в конец другой. Получите треугольник со сторонами 20, 15 и 7.
        Его площадь можно найти по формуле Герона. Подумайте, почему его площадь равна площади трапеции…

        [ Ответить ]
  103. Марина

    Помогите решить задачу. Дана трапеция АДСВ, где АВ и ДС — основание.ДС=4, АД=16, АВ=32, угол А=30, найти площадь

    [ Ответить ]
    • egeMax

      S=\frac{AB+DC}{2}\cdot h=\frac{32+4}{2}\cdot 8.
      DH=h=8, так как напротив угла в 30 градусов лежит катет, вдвое меньший гипотенузы (AD).

      [ Ответить ]
  104. Алексей

    Диагонали прямоугольной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны. Короткая боковая сторона AB равна 18 см, длинное основание AD равно 24 см.
    Определи (дроби в ответах не сокращай):
    1. Короткое основание BC:
    2. Длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения O:
    короткая диагональ делится на отрезки CO= см и AO= см.
    длинная диагональ делится на отрезки BO= см и DO= см.
    Очень нужна Ваша помощь.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      По теореме Пифагора BD=30.
      Для треугольника ABD, расписав площади:
      AO\cdot BD=AB\cdot AD.
      AO=\frac{18\cdot 24}{30}=14,4.
      По теореме Пифагора из ABO: BO=\sqrt{18^2-14,4^2}=\sqrt{116,64}=10,8.
      Тогда OD=19,2.
      Треугольники AOD,COB  подобны, k=\frac{192}{108}=\frac{16}{9}, откуда BC=\frac{9}{16}AD=\frac{9\cdot 24}{16}=\frac{27}{2}.
      Несложно найти остальные элементы…

      [ Ответить ]
  105. Izabella

    Здравствуйте.
    В произвольной трапеции ABCD проведена средняя линия MN.
    Из точки М провели перпендикуляр к диагонали АС, а из точки N аналогично к BD.Эти перпендикуляры пересекаются в некоторой точке К. Надо доказать,что К равноудалена от А и D.
    Нужна подсказка, в каком направлении искать решение.
    Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть BH_1\perp AC,CH_2\perp BD.
      Пусть L – середина BC.
      Очевидно, MA=MB=MH_1 и ND=NC=NH_2.
      Тогда, если Q_1, Q_2 – основания перпендикуляров из M,N к AC,BD соответственно, то MQ_1 – не только высота треугольника MH_1, но и медиана. Тогда AK=KH_1. Аналогично KH_2=KD.
      Как только докажем, что KH_1=KH_2, будет доказано, что K равноудалена от A и D.
      Поможет нам в этом равенство H_1L и H_2L, а затем треугольников H_1LK,H_2LK.
      Пробуйте!

      [ Ответить ]
      • IZABELLA

        Простите,я правильно поняла,точки перпендикуляров на диагонали( Н1 и Н2) должны принадлежать и средней линии трапеции? Все решение строится на этом . Но почему, как это обосновать?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нет, они не обязаны попадать на среднюю линию.

          [ Ответить ]
  106. IZABELLA

    Да, поняла, начинаю вникать в Ваш ход решения. Расписала для себя подробно и уяснила док-во равенств АК= АН1 и AD=AH2. Огромное спасибо за идею. Но вот с последней фразой проблема … Как доказать ВН1=СН2 или LH1=LH2 ?? Дальше вроде бы ход ясен. КН1=КН2 можно из треугольников с Вершиной О ( точка пересечения диагоналей).
    Первая задача по планиметрии, по которой возникли трудности , из всех, что ребенок из школы приносит…((

    [ Ответить ]
  107. IZABELLA

    AK=KH1 , KD=KH2 конечно же !!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      То есть разобрались? Не нужно пояснять?

      [ Ответить ]
  108. IZABELLA

    Очень нужно пояснить КАК доказать равенство отрезков
    LH1,LH2 или отрезков ВН1,СН2.
    Последний абзац Вашего решения.
    Спасибо

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Треугольники BH_1C,BH_2C – прямоугольные, при этом у них общая гипотенуза. А также H_1L, H_2L в указанных треугольниках – медианы. Как известно, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Потому LH_1=LH_2.

      При этом BH_1 не равно CH_2!

      [ Ответить ]
      • IZABELLA

        Видела на рис и эти тр-ки,и прямые углы,и общую гипотенузу.
        Знаю и св-во медианы,проведенной из вершины прямого угла.Но связать все вместе в этой задаче не догадалась.
        Огромное спасибо за помощь!

        [ Ответить ]
  109. IZABELLA

    Последний этап -это рав-во KH1L, KH2L.
    H1L=H2L, LK-общая. По идее углы между ними должны быть равными.Чтобы признак применить. Но вот почему?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      При первом беглом решении мне показалось, что я смогла доказать равенство углов, которых нам недостает…
      Сейчас смотрю – не вижу… Но они, конечно, должны быть равны.. Нужно поиграться с углами, что ли… Пока не было времени детально вникнуть…

      [ Ответить ]
  110. IZABELLA

    Не нашла я причин для равенства рассматриваемых углов…
    Если у Вас возникнут идеи,поделитесь,пожалуйста.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, и вы…

      [ Ответить ]
  111. name12345

    Помогите, пожалуйста
    Дана трапеция ABCD (верхнее основание BC меньше AD) с заданной S=27 и (AD/BC)=4/3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точке М и N.
    а) Докажите, что треугольники АВО и СОD равновелики;
    б) Найдите площадь треугольника MNO.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) S_{ABO}=S_{ABC}-S_{BCO}.
      S_{OCD}=S_{BCD}-S_{BCO}.
      При этом S_{ABC}=S_{BCD}=\frac{BC\cdot h}{2}, где h – высота трапеции.
      Потому и S_{ABO}=S_{OCD}.
      2) Пусть BC=3x,AF=4x.
      27=\frac{(3x+4x)h}{2}, откуда 54=7xh.
      Коэффициент подобия треугольников BCO,DAO3:4. Тогда и высоты этих треугольников находятся в оношении 3:4. То есть равны \frac{3h}{7} и \frac{4h}{7} соответственно.
      Высота треугольника MON:
      \frac{4h}{7}-\frac{h}{2}=\frac{h}{14}.
      S_{MON}=\frac{\frac{h}{14}\cdot MN}{2}=\frac{\frac{h}{14}\cdot x}{2}=\frac{xh}{28}=\frac{\frac{54}{7}}{28}.

      [ Ответить ]
      • name12345

        Большое спасибо!!!

        [ Ответить ]
  112. Jene

    Здравствуйте.
    В трапеции АВСD(АD>BC,AD парал.ВС) на диагонали АС выбрана точка Е так, что ВЕ парал.СD. Площадь треугольника равна 10. Найти площадь треугольника DEC.
    Нужна подсказка, в каком направлении искать решение.
    Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не понятно, площадь какого треугольника равна 10.

      [ Ответить ]
      • Jene

        Площадь треугольника АВС равна 10.
        Извините за невнимательность.

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Треугольники BCE,DAC подобны.
          Тогда \frac{CE}{AC}=\frac{h}{H}, где h,H – высоты треугольников из вершин B и D соответственно проведенные.
          Откуда H\cdot CE=h\cdot AC.
          Согласно условию 20=h\cdot AC.
          S_{CED}=\frac{H\cdot CE}{2}=\frac{h\cdot AC}{2}=10.

          [ Ответить ]
          • Jene

            Огромное спасибо! Подобие треугольников!!!

            [ Ответить ]
  113. Ольга

    Здравствуйте. Помогите,плз,с решением. В четырехугольнике 2 стороны параллельны,а 2 другие перренликулярны диагоналям. Нужно докащать рааенство 2 других непараллельных сторон.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть ABCD – данный четырехугольник, при этом AD\parallel BC,BD\perp AB,AC\perp CD.
      Треугольники ACD,ABD – прямоугольные с общей гипотенузой. Значит точки A,B,C,D лежат на одной окружности (центр окружности – середина гипотенузы AD).
      Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

      [ Ответить ]
  114. Алина

    В равнобедренной трапеции длины оснований равны 14 см и 40 см, а длина высоты — 9 см. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции. Известно,
    что центр окружности лежит внутри трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нашла

      [ Ответить ]
  115. Анна

    Добрый вечер. Помогите, пожалуйста, решить задачу. Дана трапеция ABCD, описанная вокруг окружности. AB=CD, BD=5, периметр трапеции =16. Найти площадь трапеции. Заранее спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть M,N,P,Q – точки касания окружности со сторонами AB,BC,CD,AD соответственно.
      Пусть AM=x,BN=y. Тогда AD=2x,PD=x,BC=2y,CP=y.
      16=4(x+y), откуда x+y=4.
      S=\frac{2x+2y}{2}\cdot h=4h.
      Пусть BH\perp AD.
      Из треугольника BDH:
      25=h^2+(x+y)^2;
      h=3.
      Итак, S=12.

      [ Ответить ]
      • Анна

        Огромное спасибо!

        [ Ответить ]
  116. Алексей

    Здравствуйте! В восьмом классе учился 25 лет назад, но как и большинству родителей приходится через некоторое время возвращаться к подобным упражнениям. Вот такой задачей ребёнок поставил меня в тупик:

    В трапеции ABCD BC параллельно AD, AB=9 см. Диагональ AC делит трапецию на два подобных треугольника ABC и ACD. Найдите большее
    основание трапеции, если эта диагональ равна 12 см.

    На мой взгляд не хватает данных. получается решить если принять что треугольники ABC,ACD и DCA подобны, тогда они равнобедренные, со всеми вытекающими оттуда последствиями.

    Заранее благодарен за любую помощь.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если треугольники ABC,ACD подобны, то \angle BAC=\angle CAD. Но углы CAD,BCA накрест лежащие при параллельных прямых BC,AD. То есть \angle BAC=\angle BCA, то есть треугольник ABC (а значит и ACD) равнобедренный.
      \frac{9}{12}=\frac{12}{AD}, откуда AD=16.

      [ Ответить ]
      • Алексей

        Благодарю! Где то так я и думал. Забыл какими коварными могут быть условия задач.

        [ Ответить ]
  117. Nata

    Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачку. ABCD — трапеция, описанная вокруг окружности. AB = CD. Доказать, что sin BAD = tg ADB. Спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть K – основание перпендикуляра из B на AD.
      Sin BAD=BK:AB, tgADB=BK:KD.
      Достаточно показать, что AB=KD. Это несложно, начните…

      [ Ответить ]
  118. Dasy

    Как найти площадь равнобедренной трапеции, если диагональ равна 8√2, а угол между основанием и диагональю равен 45°?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Например, так.
      Несложно заметить, что угол между (равными) диагоналями – 90˚.
      Воспользуйтесь формулой нахождения площади четырехугольника с диагоналями d_1, d_2 и углом \alpha между ними: S=\frac{d_1\cdot d_2\cdot sin\alpha}{2}.
      В нашем случае: S=\frac{(8\sqrt2)^2}{2}.
      Можно и без этой формулы.Трапеция разбита на 4 прямоуг. треуг. Думайте…

      [ Ответить ]
  119. Кэт

    Помогите пожалуйста решить задачу:
    основания трапеции равны 18 и 6, а боковые стороны 11 и 7. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Можно продлить боковые стороны AB,DC до пересечения в точке K.
      Треугольники AKD,BKC подобны, k=1/3.
      Искомый отрезок имеет длину, равную 2/3 медианы треугольника AKD, проведенной из K.
      Все стороны этого треугольника известны – 18; 21/2; 33/2.
      Есть формула длины медианы.
      Может, можно как-то еще… Первое, что пришло.

      [ Ответить ]
  120. Ольга

    Помогите разобраться!
    В окружность радиуса 5 вписана трапеция ABCD. Найдите длину средней линии трапеции, если известно, что ее диагонали перпендикулярны друг другу, а синус угла BAC равен 0,6.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из прямоуг. треуг. ABQ, где Q – точка пересечения диагоналей:
      sinBAC=\frac{3}{5}=\frac{BQ}{AB}. То есть BQ=3x, тогда AQ=4x.
      Треуг. BCQ,DAQ подобны, k=\frac{3}{4}.
      Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 5, потому по т. Синусов \frac{BC}{sin BAC}=2\cdot 5.
      Откуда находите BC.
      Зная коэфф. подобия треуг. BCQ,DAQ, легко найти и AD. А далее и средн. л.

      [ Ответить ]
  121. Артём

    Подскажите, пожалуйста, ход решения задачи. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Воспользуйтесь вторым признаком подобия треугольников.

      [ Ответить ]
  122. Игорь

    В равнобедренную трапецию,боковая сторона которой равна 6 см,а высота 5 см,вписана окружность.Найдите площадь трапеции.Помогите пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Свойство: Если в четырехугольник вписана окружность, то равны суммы длин его противоположных сторон.
      Поэтому сумма оснований трапеции равна 6+6, то есть 12. Тогда площадь – 6*5.

      [ Ответить ]
  123. Торн

    В равнобедренной трапеции угол при верхнем основании 117гр. Найдите угол между диагональю и нижним основанием.
    Подскажите, плз, ход решения.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Не хватает данных в задаче.

      [ Ответить ]
  124. Марина

    Помогите решить задачу))
    Дано прямоугольную трапецию с основаниями а, b и меньшей боковой стороной с. Определить расстояния точки пересечения диагоналей трапеции от основания а и от меньшей боковой стороны.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Непонятен вопрос, – с окончаниями/склонениями беда…

      [ Ответить ]
  125. Ярослав

    Помогите решить. Дан треугольник ABC.Известно ,что угол С:А:относятся как 2:1:1 соответственно.Найдите высоту CH данного треугольника , если СВ =√2

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если А=В=x,С=2x, то 4x=180, откуда x=45.
      Треугольник ABC – прямоугольный, равнобедренный.
      Треугольник СВН таким образом также прямоугольный, с углом 45, гипотенузой корень из 2.
      Тогда СН=1.

      [ Ответить ]
  126. Даша

    буду очень благодарна, если поможете решить :3
    В трапеции с высотой 1 боковые стороны и меньшее основание равны половине большего основания. Найдите площадь трапеции.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть AB=BC=CD=x,AD=2x.
      Проводим высоты BH_1,CH_2.
      Очевидно, AH_1=DH_2=\frac{x}{2}.
      Из треугольника ABH_1:
      x^2=1+\frac{x^2}{4}.
      Из этого уравнения находим x.
      Тогда и площадь узнаете.

      [ Ответить ]
  127. Ирэн

    ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА: Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут, а середню лінію на відрізки завдовжки 13 см і 23 см. Знайдіть площу трапеції.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Простите, мне непонятно, что такое «навпіл її гострий кут»

      [ Ответить ]
  128. Лена

    Подскажите пожалуйста,как доказать четвёртое свойство трапеции?

    4. Треугольники , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Например так: треугольники BCO,DAO подобны по двум углам, потому BO:DO=CO:AO. Откуда BO\cdot AO=DO\cdot CO.
      Тогда S_{ABO}=\frac{1}{2}AO\cdot BO\cdot sin \alpha.
      S_{DCO}=\frac{1}{2}DO\cdot CO\cdot sin \alpha =S_{ABO}.

      [ Ответить ]
  129. Мирослав

    Помогите решить, пожалуйста..
    Дана трапеция abcd. Mеньшее основание bc=18 cм. Диагональ ac делится другой диагональю на отрезки: ao=15см co=9 см. Найдите нижнее основание трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть H1,H2 – проекции O,C на AD.
      Треугольники AOH1,ACH2 подобны, k=15:24.
      Тогда пусть OH1=5h, тогда CH2=8h.
      Стало быть, коэффициент подобия треугольников BOC,DOA 3/5.
      Тога AD=5*18:3=30.

      [ Ответить ]
  130. Игорь

    Радиус окружности вписанной в равнобокую трапецию равен 6 сантиметров один из отрезков на которые Точка касания Вписанной окружности делит боковую сторону 4 сантиметров. Найдите площадь трапеции. Решите пожалуйста

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Обозначьте второй из отрезков боковой стороны за x. Проведите высоты. Примените теорему Пифагора к одному из них.

      [ Ответить ]
      • Игорь

        Там 2 часть стороны равна 2корня из5.что дальше?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Нет, не 2 корня из 5. Пересмотрите.

          [ Ответить ]
          • Игорь

            Я 6возвел в квадрат получил 36 вышел квадрат 4=16 получил 20.корень из 2з не выводится. Разложил 20 получил 2корня из5

            [ Ответить ]
  131. Игорь

    Отнял в не вышел опечатался а т9 понял по своему

    [ Ответить ]
  132. Елена

    Основания трапеции ABCD равны 9 и 12 см. Диагональ AC делится точкой пересечения диагоналей на отрезки, разность которых равна 1 см. Найти диагональ AC

    [ Ответить ]
  133. Екатерина

    Помогите мне пожалуйста ))
    Диагональ равнобедренной трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника . Найти углы трапеции

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть АD — большее основание. Пусть угол ВАС, так же как и ВСА — x. Пусть АСD, ADC — y.
      Из треугольника АDС: 3y-x=180. А также, так как А+В =180, то х+2y=180. Остаётся решить систему..

      [ Ответить ]
  134. Екатерина

    И вот еще одна задача
    Сделать уравнение прямой , которая проходить через точку А(-2;1) и угловой коефициент равен 3 . Р.S условия задач правильные

    [ Ответить ]
    • egeMax

      угловой коэффициент – 3, поэтому k=3. Подставляйте в y=kx+b координаты точки А и k и будет вам счастье

      [ Ответить ]
  135. Алексей

    Очень хороший сайт:-D

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Благодарю!

      [ Ответить ]
  136. Марк

    Здравствуйте, не могли бы вы помочь решить одну задачу, пожалуйста.
    В трапеции с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются под углом 60. Найти длину средней линии этой трапеции, если
    AC = 5, BD = 8.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Переместите параллельным переносом диагональ BD так, чтобы В совпала бы с С.
      Получим треугольник ACK со сторонами 5, 8 и углом между этими сторонами в 60°. По теореме косинусов можно найти AK. Половина АК и есть средняя линия трапеции.

      [ Ответить ]
      • Марк

        Спасибо вам большое!

        [ Ответить ]
  137. Татьяна

    Здравствуйте, помогите, пожалуйста, с решением задачи.
    В трапеции ABCD известны длина основания BC=10 и длины боковых сторон AB=5, CD=11. Точки P и Q — середины оснований. Найдите длину основания AD, если PQ=8.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      На основании AD отмечаем точки K и L так, что PK параллельна AB, PL параллельна СD.
      В треугольнике KPL PQ – медиана. При этом PK=5,PL=11,PQ=8.
      Пусть $KQ=QL=x.$
      По свойству медианы 8=0,5√(2(25+121)-4x^2) (см. 5 пункт). Откуда x=3.
      Стало быть, AD=5+2*3+5=16.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
http://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif