Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

виды трапеций

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

равнобедренная трапеция

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

прямоугольная трапеция

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

средняя линия

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

57

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

qk

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

е

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

трапеция с углами при основании в сумме 90

 

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

4

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

площадь трапеции

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

242 комментариев

  1. Анатолий Шевелев:

    Здравствуйте, ссылка на подборку задач неверная, при клике открывается страница «Площади фигур»…

    • egeMax egeMax:

      Благодарю!
      Исправила ссылку

      • Здравствуйте,помогите решить задачу:
        диагонали трапеции перпендикулярны ,а их длина равна 7 сантиметров и 8 сантиметров Найдите площадь трапеции

        • egeMax egeMax:

          Перенесите одну диагональ параллельно самой себе так, чтобы один ее конец совпал с концом другой. Подумайте почему площадь образовавшегося прямоугольного треугольника (с катетами-диагоналями) равна площади трапеции.
          Ответ: 56.

  2. иван:

    Е Если в окружность вписана в трапецию то трапеция равно бедренная инфа сотка.

    • Татьяна:

      Это если окружность описана около трапеции, тогда равнобедренная.
      А в случае, когда вписана, — совсем не обязательно.

  3. Рональд:

    трапеция вписана в круг, её периметр 12 см, какова её площадь?

  4. ainura:

    спасибо

  5. Таня:

    основи трапеції дорівнюють 9 і 6 см. Діагональ ділить трапецію на два подібні трикутники. Знайдіть довжину діагоналі. Допоможіть будь ласка

    • egeMax egeMax:

      Пусть данная трапеция – ABCD c основаниями BC и AD; диагональ, которая делит трапецию на 2 подобных треугольника – это AC.
      \Delta ABC подобен \Delta DCA. Тогда \frac {AC}{AD}=\frac{BC}{AC}, то есть \frac{AC}{9}=\frac{6}{AC}. Откуда AC^2=54, то есть AC=3\sqrt{6}.

  6. Надя:

    Найти углы прям-угольной трапеции если один из углов 20градусов?

  7. В 5 свойстве равнобедренной трапеции неправильно изображена высота. Она должна выходить из вершины.

    • egeMax egeMax:

      Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение.

  8. тико:

    определить высоту и трапеции, если ее основание 16 и 28, а боковые стороны 28 и 17 нужно ошибку найти

  9. Ирина:

    https://yadi.sk/d/o-xlknoPcHHzD — чертеж к задаче.

    Задача: т.A не принадлежит плоскости α,
    т.B и т.C — принадлежат плоскости α.
    т.D принадлежит AB, DE||BC.
    BD=14 см, AE:EC= 2:5.

    Найти: AD?

    Подскажите, правильно ли нарисован чертеж? Понятно, что связано с трапецией, но как решить?

    • egeMax egeMax:

      Мало информации про точку E. Судя по задумке, точка E принадлежит отрезку AC.
      Тогда в ход идут подобные треугольники ADE и ABC. Составляем отношение сходственных сторон: \frac{AD}{AD+14}=\frac{2}{7}, откуда и находим AD.

  10. Ирина:

    Спасибо за оперативность. Я тоже считаю, что информация неполная. Хотя это задача из учебника.

  11. Мира:

    Задача:
    Трапеция с основаниями 7 и 25 и диагональю 20 вписана в окружность. Найдите:
    а) синус острого угла трапеции
    б) радиус описанной около трапеции окружности

    • egeMax egeMax:

      Опустите перпендикуляры из вершин B и C меньшего основания к большему основанию AD. Рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза – диагональ AC. Чему равен катет этого треугольника, лежащий на AD? Примените т. Пифагора. Найдете высоту. Далее и на синус острого угла можно выйти (0,8).
      Для пункта б) примените теорему синусов для треугольника со сторонами 20, 25, 15 (боковая). Радиус – 12,5.

  12. Ильяс:

    Задача: Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 см и (корень 85) см. Найдите среднюю линию трапеции.
    Заранее спасибо!

    • egeMax egeMax:

      Пусть трапеция у нас ABCD (BC||AD). Перенесите диагональ BD параллельно самой себе в точку C. У вас получится прямоугольный треугольник c катетами 6 и \sqrt{85}. Его гипотенуза – сумма оснований трапеции… Ответ: 5,5.

  13. Ильяс:

    Спасибо!!!

  14. Ильяс:

    Задача: Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых летних домика.В первой бригаде было 20 рабочих, а во второй- 22 рабочих.Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 3 рабочих со второй бригады, в результате чего оба домика были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

    • egeMax egeMax:

      Пусть производительность одного рабочего – x. Тогда за 10 дней I бригада сделала 20x\cdot 10 часть работы, II – 22x\cdot 10. Пусть бригадам потребовалось закончить работу в новом составе за y дней. Тогда I бригада в новом составе (23 чел.) сделела 23xy часть работы, II – 19xy.
      Итак, работа, сделанная I-ой бригадой – 200x+23xy, работа, сделанная II–ой бригадой – 220x+19xy.
      Составим уравнение:
      200x+23xy=220x+19xy, откуда 200+23y=220+19y, то есть y=5. Это и есть ответ к задаче.

  15. Ильяс:

    Задача: До распродажи брюки стоили дешевле пиджака на 60% и дороже рубашки на 300%. В период распродажи цена пиджака снизилась на 20%, а цена брюк — на 25%. Витя купил пиджак и брюки во время распродажи. Сколько рубашек он мог купить на ту же сумму, если цена рубашки не изменилась.

    • egeMax egeMax:

      Пусть цена пиджака x, цена рубашки y. Тогда цена брюк, с одной стороны, 0,4x, с другой – 4y (откуда y=0,1х).
      Во время распродажи цена пиджака 0,8х, брюк – 0,75*0,4x. Витя потратил 1,1x. А мог бы купить 1,1x:y=1,1x:0,1x=11 рубашек.

  16. Оксана:

    Здравствуйте. Помогите,пожалуйста, решить задачу. Дана равнобедренная трапеция ABCD. KL — средняя линия. Диагональ BD=4. Угол BDA=60 градусов.Чему равна KL?

    • egeMax egeMax:

      Оксана, а боковая сторона не известна ли?

        • Евгения:

          Т.к. равнобедренная трапеция, то рисуем две диагонали, пересечение диагоналей условно О, получаем, что треугольники АОД и ВОД равносторонние (сумма углов в треугольнике 180, а угол ВДА равен САД из равнобедренности трапеции), ВО=ОС, угол ВОС=АОД=60 как смежный, соответственно ОВС=ВСО, и получаем ВС=ОС=ОВ, АО=ОД=АД, т.к. ВД=4, то ВС+АД=4, т.е. КЛ= (ВС+АД)/2=2 усе

  17. Ильяс:

    Задача: Коммерческие банки составляют 20% от общего числа банков. Финансовое положение устойчиво у 30% всех банков, в том числе у 10% коммерческих банков. Какой процент устойчиво работающих некоммерческих банков.

  18. Ильяс:

    Ну я не могу решить. И учителя и одноклассники пытались — не смогли!

  19. Ильяс:

    Решите плиз!

    • egeMax egeMax:

      Принимаем за x количество всех банков. Тогда коммерческих – 0,2x. Так как устойчивое положение имеют 10% коммер.банков, то их количество выражается как 0,02x. Всего 0,3x банков имеют устойчивое положение. А значит, некоммерческих среди них 0,3x-0,02x=0,28x.
      Находим процент устойчивых некоммерческих: 0, 28x от 0,8х – это 35%.
      Что-то ваши задачи не подходят под тему Трапеция.
      С задачами на проценты вам сюда.

  20. Ильяс:

    я так тоже решил, но ответ другой поэтому обратился к вам

    • egeMax egeMax:

      Ильяс, перечитайте еще раз решение. Нас интересует процент устойчивых банков от КОММЕРЧЕСКИХ, а не от всех банков.

  21. Ильяс:

    как получили 35%

  22. Ильяс:

    Задача: Длина медианы СМ треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и АВ в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24 см2

    • egeMax egeMax:

      Пусть P – середина AC. Тогда \Delta PMC – прямоугольный. А в силу того, что PM||BC, то и \Delta ABC – прямоугольный. Раз медиана равна 5, то гипотенуза AB равна 10. Раз площадь треугольника ABC равна 24, то катеты будут 6 и 8. Тогда периметр 24.

  23. Ильяс:

    но там чертёж не возможен

  24. Максим:

    Решите задачу. В трапеции abcd |BC|=2см, |AD|=8см, ac(значок пересечения) bd=O, S(BOC) на 6 см меньше S(ABO). Найдите высоту данной трапеции.

    • egeMax egeMax:

      Коэффициент подобия треугольников BOC и DOA\frac{1}{4}. Значит высота BOC, проведенная из O, в пять раз меньше высоты треугольника ABC, проведенной из A. Итак, отношение площадей треугольников ABC и BOC есть 5. Составим уравнение:
      \frac{2x+6}{x}=5 (x – площадь BOC, 2x+6 – площадь ABC). Откуда x=2.
      Ну а тогда высота BOC есть 2, следовательно высота трапеции – 10.

  25. Артем:

    Помогите решить задачу. Диагональ равнобедренной трапеции составляет с основанием 45 градусов. Какова будет длина диагонали трапеции. Если площадь трапеции равна 72 см2.
    Спасибо.

    • egeMax egeMax:

      Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Проводим OH перпендик AD и OQ перпендик BC.
      Треугольник AOD равноб., прямоуг.(В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы – особая точка!!!!) Тогда HA=HD=HO=x. Аналогично BQ=QC=QO=y. Высота – x+y. Диагональ x√2+y√2.
      При этом 72=(x+y)^2. Откуда x+y=6√2. Ну и тогда диагональ есть 12.

  26. Ильяс:

    Задача: Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвёртая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 часа, первая, третья и четвёртая — за 3 часа. Если будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

    • egeMax egeMax:

      Совместная производительность двух первых, двух вторых, двух третьих и двух четвертых бригад – \frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{4}. Значит суммарная производительность четырех бригад – \frac{3}{8}. Тогда все четыре бригады разгрузят вагон вместе за 1:\frac{3}{8} часа, то есть за 2 часа 40 минут.
      Ильяс, задавайте вопросы в соответствующей теме! Я вас уже отсылала сюда.

  27. D1NKO:

    Высота равнобедренной трапеции, равная 21, делит основание трапеции в отношении 1:9. Определить радиус описанного круга, если боковая сторона трапеции
    равна меньшему основанию.

    • egeMax egeMax:

      Пусть в трапеции ABCD BH – высота, равная 21. Из треугольника ABH по т. Пифагора (8x)^2-x^2=21^2 (где AH=x, соответственно AB=BC=CD=8x). Откуда x=\sqrt7.
      Из \Delta BHD: BD=\sqrt{21^2+(9\sqrt7)^2}=\sqrt{1008}.
      По теореме косинусов из \Delta BCD: 1008=64\cdot 7+64\cdot 7-2\cdot 64\cdot 7\cdot cos BCD, тогда cos BCD=-\frac{1}{8}. Откуда sin BCD=\frac{\sqrt{63}}{8}.
      И наконец, по теореме синусов для треугольника BCD, вписанного в окружность, \frac{BD}{sin BCD}=2R, откуда R=16.

  28. Sh:

    Дана Трапеция ABCD точка пересечение диагоналей O AD||BC BC=3см AD=7см OD=4см найти BO ? Помогите пожалуйста( заранее спасибо:)

  29. Sh:

    В прямоугольной трапеции острый угол равен 60градусов найдите площадь трапеции если основание равны 7см и 5см? Спасибо)

    • egeMax egeMax:

      Проведите в трапеции ABCD (где CD,AD – основания, \angle A=90^{\circ}) высоту из C. Назовите ее CH. Из прямоугольного треугольника CHD с углом в 60^{\circ}, а значит и с углом в 30^{\circ} катет DH=2. Тогда гипотенуза CD – вдвое больше по свойству катета, лежащего против угла в 30^{\circ}. Найдем по т. Пифагора и высоту CH. CH=2\sqrt3.
      Все известно для нахождения площади.
      S=\frac{5+7}{2}\cdot 2\sqrt3=12\sqrt3.

  30. Саша:

    не подскажете , где можно найти доказательства данных свойств трапеции?

    • egeMax egeMax:

      Большая часть – в обычных школьных учебниках… Пробуйте сами – хорошие задачи сами по себе будут… Спрашивайте, если что…

  31. Андрей:

    Дано:АВ-9см СD-12см АD-30см ВС-15см. Нужно найти угол образованный продолжениями боковых сторон трации ABCD

    • egeMax egeMax:

      Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке O. Треугольники BOC и AOD подобны и коэффициент подобия – 15:30, то есть 1:2.
      Находим BO и CO. Замечаем, что треугольник AOD (его стороны – 30, 18 и 24) оказывается прямоугольным. Ответ: 90.

  32. Алиса:

    Площадь равнобедренной трапеции равна 20 см.Радиус вписанной в трапецию окружности равен 2 см. Найдите длины сторон трапеции

    • egeMax egeMax:

      По формуле S=pr (где pполупериметр, r – радиус вписанной окружности) находим периметр трапеции:
      20=p\cdot 2
      p=10
      Тогда P=20.
      Далее применяем свойство: если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны.
      Стало быть, сумма боковых сторон равна 10, а следовательно, боковые стороны равны по 5.
      Пусть BH\perp AD, CT\perp AD. Их прямоугольного треугольника ABH по т. Пифагора AH=\sqrt{5^2-(2r)^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3. Аналогично TD=3
      Сумма оснований, как уже было сказано, равна 10.
      Тогда 10=BC+AH+HT+TD, откуда 10=BC+3+BC+3.
      BC=2, AD=8

  33. Павел:

    Углы при одном из оснований трапеции равны 19 и 71 градус, а отрезки соединяющие середины противлположных сторон, равны 12 и 10. Найдите основания трапеции.

  34. Павел:

    Большое спасибо, а как решать? У меня получаются дробные числа…

    • egeMax egeMax:

      Продлеваем боковые стороны. Пусть они пересекаются в точке О.
      Треугольник OAD (AD – нижнее основание) – прямоугольный.
      Треугольник BOC также прямоугольный.
      Вспоминаем свойство медианы, проведенной к гипотенузе. Она равна ее половине.
      Тогда OK=BK=KC (К – середина BC) и ON=AN=ND (N – середина AD).
      Пусть OK=x. Тогда BC=2x, AD=24-2x. При этом ON=AD/2, то есть 10+x=12-x; x=1.
      Тогда BC=2, AD=22.
      Брали вариант, когда 10 – это ON. Если взять, ON=12, то придем к противоречию.

  35. Денис:

    В ромбе ABCD угол ABC тупой. Из точки B на сторону AD опущен перпендикуляр BX. Известно, что AX = 7 и XD = 2. Найдите длину отрезка BD.

  36. Ильяс:

    Задача: Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

    • egeMax egeMax:

      Пусть основания трапеции AD и BC (AC=8.) Через точку C проводим прямую, параллельную BD. Эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке E.
      Пусть BC=x, тогда AD=6-x.
      В треугольнике ACE имеем: AC=8, CE=10, AE=6-x+x=6.
      То есть треугольник ACE оказался прямоугольным (по теореме, обратной теореме Пифагора). Стало быть, высота трапеции – 8.
      Тогда S=8\cdot 6=48.

  37. Наталья:

    Подскажите, как доказать, что основы трапеции геометричны относительно точки пересечения ее больших сторон

    • egeMax egeMax:

      Наталья, есть свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям
      Отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.
      Вы о нем?

  38. Ильяс:

    Задача: Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним из пункта А вышел катер. Дойдя до В, катер сразу же развернулся и пошёл назад. Какую часть пути от А до В проплывёт плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?

  39. Ильяс:

    Пожалуйста решите мне эту задачу. Я её не понимаю!

    • egeMax egeMax:

      x – скорость течения (плота). 4x, 2x – скорости катера по/против течения. Путь AB=S катер пройдет за время \frac{S}{4x}, а путь BA – за время \frac{S}{2x}. На весь путь катер затратит \frac{S}{4x}+\frac{S}{2x} времени, то есть \frac{3S}{4x}.
      Тогда плот за это же время пройдет \frac{3S}{4x}\cdot x=\frac{3S}{4}.
      Ильяс, не первый раз прошу вас писать в соответствующую тему!..

  40. Ильяс:

    Спасибо!

  41. Артем:

    Здравствуйте! Попалась какая-то не решаемая задача. Помогите решить.
    Основания трапеции равно 4 и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
    Спасибо.

  42. кристина:

    Найдите площадь трапеции если ее диагонали равны 15 и 7, а средняя линия 10

    • egeMax egeMax:

      Перенесите одну из диагоналей параллельно самой себе в вершину меньшего основания. Получите треугольник со сторонами 15, 17 и 20.
      Площадь этого треугольника равна площади трапеции.
      Находите площадь треугольника по формуле Герона S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (p – полупериметр треугольника со сторонами a,b,c).

  43. Илья:

    Помогите решить задачу. В окружность радиуса 5 вписана трапеция ABCD. Найдите длину средней линии трапеции, если известно, что её диагонали перпендикулярны друг другу, а синус угла BAC равен 0,6.

    • egeMax egeMax:

      Из \Delta ABC по т. Синусов: BC:0,6=2\cdot 5. Откуда BC=6.
      \angle ABD=90^{\circ}-\angle BAC. Тогда sin ABD=cos BAC=0,8.
      Из \Delta ABD по т. Синусов: AD:0,8=2\cdot 5. Откуда AD=8.
      Итак, средняя линия трапеции равна \frac{6+8}{2}, то есть 7.

  44. Ильяс:

    Задача: Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

    • egeMax egeMax:

      Высота – 24. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой/диагональю, катетом/высотой и вторым катетом, равным 18+14, находим гипотенузу. d^2=32^2+24^2.

      • Светлана:

        Добрый вечер!В трапеции диагонали пересекаются под прямым углом.Их длины 12 и 18.Как найти среднюю линию?Какие есть свойства?Спасибо!

        • egeMax egeMax:

          Одну из диагоналей (например, BD) переносите параллельно самой себе (в точку C). У вас появляется прямоугольный треугольник ACK (CK=BD, CK||BD). Его катеты – 12 и 18. Находите гипотенузу AK. Она есть сумма оснований. Тогда остается результат поделить на два, так как средняя линия есть полусумма оснований.

  45. Ильяс:

    А там ответ 40

  46. Оля:

    Как доказать 4 пункт в свойствах трапеции??

    • egeMax egeMax:

      Оля,один из способов доказательства:
      Треугольники AOD и COB подобны. Тогда AO:CO=DO:BO или, что тоже самое, AO*BO=CO*DO.
      При этом S(ABO)=(AO*BO*sinAOB):2, а S(DOC)=(CO*DO*sinDOC):2, ну и, конечно, угол AOB = угол DOC.
      Вот и получаем, что площади треугольников AOB и DOC равны.

  47. Настя:

    Помогите, пожалуйста))
    В полукруг вписана трапеция с меньшим основанием 14 см, параллельным диаметру, и высотой 24 см. Найдите радиус полукруга.

    • egeMax egeMax:

      Пусть трапеция ABCD вписана в полукруг. AD, BC – основания, BC – меньшее.
      О – центр полукруга.
      Треугольник BCO – равнобедренный. Пусть ОН перпендик. BC. Тогда Н – середина BC. OH=24, BH=7.
      Из треугольника BOH по теореме Пифагора находим BO, равный радиусу. BO^2=24^2+7^2.
      BO=25.

      • Настя:

        А почему центр окружности лежит на большем основании, это не сказано по условию задачи?

        • egeMax egeMax:

          Из-за того, что трапеция вписана в полукруг. То есть большее основание – диаметр. Так я понимаю…

  48. Катя:

    Помогите пожалуйста)Основание BC трапеции ABCD меньше основания АD.В трапецию вписана окружность, касающаяся стороны АВ так в точке К так, что АК =3кореньиз3, KB=кореньиз3.Угол, образованный прямыми АВ и CD и содержащий центр окружности, равен 30 градусам. Найдите длину стороны СD/

    • egeMax egeMax:

      Если использовать свойство отрезков касательных, несложно прийти к тому, что высота трапеции равна 6.
      Вы пришли к этому?
      Далее перенесите, например, боковую сторону AB параллельно самой себе в точку C. В полученном треугольнике CPD (CP\parallel AB) угол C равен 30^{\circ}.
      Площадь этого треугольника можно посчитать как полупроизведение сторон на синус угла между ними, а также как полупроизведение стороны на высоту, к ней проведенную. При этом введите x и y (попарно равные отрезки касательных при точках C,D). Выйдете на первое уравнение системы 2\sqrt3(x+y)=6(y+2\sqrt3-x).
      Также обратитесь к прямоугольному треугольнику при боковой стороне, что выражается как x+y. Катеты этого треугольника – 6 и y-x. Здесь найдем второе уравнение системы: xy=9.
      Ну и далее решаем систему…

  49. Кристина:

    Помогите пожалуйста!
    Найдите среднюю линюю трапеции, диагонали которой перпендикулярны и равны 6 см и 8 см.

  50. Стася:

    Помогите пожалуйста.
    Основания трапеции корень2 + 1 и корень5 . Отношение площадей меньшего из тоеугольников, образованных диагоналями и основаниями трапеции, и большего равно?

    • egeMax egeMax:

      Отношение площадей подобных треугольников с коэффициентом подобия k есть k^2.
      А так как коэффициент подобия указанных в условии треугольников – \frac{\sqrt5}{\sqrt2+1}, то отношение площадей – (\frac{\sqrt5}{\sqrt2+1})^2=(\sqrt5(\sqrt2-1))^2=5(3-2\sqrt2)=15-10\sqrt2.

  51. Danil:

    известны основания 5см 15см и диагонали трапеции 12см и 16см найти площадь. подскажите пожалуйста

    • egeMax egeMax:

      Перенесите одну из диагоналей параллельно самой себе в соседнюю вершину верхнего основания. Увидите треугольник со сторонами 12, 16 и 20. Его площадь и есть площадь трапеции, А площадь треугольника находите по формуле Герона, например.
      Ответ: 96.

  52. Катя:

    Помогите решить, пожалуйста:
    Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BC пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

    а) Докажите, что MK=NL
    б) Найдите MN, если известно, что BC=10, AD=18, MK:KL=1:2

    Заранее спасибо

    • egeMax egeMax:

      a) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AMK есть k.
      Заметим, k=\frac{H}{h}, где H – высота трапеции/треугольника ABC, h – высота треугольника AMK к стороне MK.
      Но и у подобных треугольников DBC,DLN отношение соответствующих высот таково же
      (\frac{H}{h}). А значит, коэффициенты подобия указанных пар треугольников равны. А это и означает, что MK=LN=\frac{BC}{k}.
      б) Во-первых, k=\frac{10}{x}, x=MK.
      Во-вторых, из подобия треугольников MBL,ABD имеем: \frac{kh-h}{kh}=\frac{3x}{18}.
      То есть 1-\frac{1}{k}=\frac{x}{6} или 1-\frac{x}{10}=\frac{x}{6}. Откуда x=\frac{15}{4}.
      Наконец, MN=4x=15.

  53. Ильяс:

    А вот в задаче на доказательство там же высота треугольника АМК и высота треугольника DLN не равны
    как мы можем сказать что они равны

  54. Ильяс:

    ну вот задача Кати про трапецию, как вы узнали что высоты треугольников
    АМК и DLN равны

    • egeMax egeMax:

      Ну так эти высоты – как шпалы между рельсами (параллельными прямыми AD и MN)…

  55. Lolik:

    Высота равнобедренного треугольника,проведённая к основанию,равна 64 см,а диаметр вписанной окружности равен 48 см. Найдите радиус окружности,описанной

    около треугольника

    • egeMax egeMax:

      Пусть центр – O, основание – AC, H – середина AC.
      Пусть K и N –  точки касания окр. с бок. сторонами.
      Пусть M – общая точка окр. и высоты BH, отличная от точки H.
      Очевидно, r=24,MB=16, OB=40
      Имеем в треуг. KBO: BK=\sqrt{40^2-24^2}=32.
      Вводим x=AK=AH=HC=CN.
      К треугольнику ABH – опять т. Пиф.
      (x+32)^2=64^2+x^2. Находите x. В итоге все стороны известны становятся. Применяйте формулу R=\frac{abc}{4S} для нахождения радиуса опис. окр.

  56. Lolik:

    Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 48 см, делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 3:5, считая от основания. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

    • egeMax egeMax:

      Задача крайне похожа на предыдущую.
      Радиус – 3x, высота – 8x.
      Если AC — основание, H – его сер., M,N – точки кас. окр. с бок. сторонами, то AH=HC=AM=CN=24.
      Из треуг. OMB: BM=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x.
      Теорему Пиф. применяем теперь к треуг. ABH. Находите x. Ну а после и R по формуле R=\frac{abc}{4S}.

  57. Lolik:

    Точка касания окружности вписанной в ромб делит его сторону на 9 см и 16 см. Найдите высоту ромба
    Помогите, пожалуйста :)

    • egeMax egeMax:

      Сторона ромба – 25. Рассмотрите прямоугольный треугольник с гипотенузой – стороной ромба, катетом, равным высоте. Второй катет такого треугольника – 7 (подумайте почему). Тогда по т. Пифагора h=24.

  58. Sh:

    в окружность вписан четырехугольник ABCD лучи AB и CD пересекаются в точке O найти отрезок а)отрезокOC если AO=10дм BO=6дм DO=15дм?
    б)отрезокOB, если CD=10дм OD=8дм AB=4дм?

  59. K:

    В окружности с радиусом 13дм взята точка Р находящаяся от центра окружности на расстояние 5дм . Через точку Р проведена хорда АВ длиной 25дм . Найдите отрезки АР и РВ

    • egeMax egeMax:

      Пусть центр – О, пусть прямая ОP пересекается с окружностью в точках M и N.
      Примените свойство пересекающихся хорд: MP*PN=AP*PB.
      8*18=x(25-x), откуда AP и PB – 16 и 9.

  60. Свет:

    Дана трапеция АВСД основания равны 16 и 96 боковые стороны 58 найти диагональ АС

  61. Aya:

    Помогите, пожалуйста:
    Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12 см, а наибольшая боковая сторона 25 см. Найдите периметр трапеции.

  62. Артём:

    задача: вокруг окружности описана прямоугольная трапеция, длины оснований которой равны 8 и 12. найдите радиус этой окружности с решением

  63. Алексей:

    Трапеция ABCD с основаниями AD=36, BC=12, AB=13. Сумма углов в основании трапеции (BAD+CDA)=90. Как найти радиус окружности, проходящей через A и B и касающейся CD?
    Спасибо!

    • egeMax egeMax:

      Продлите боковые стороны. Увидите прямоугольный треугольник. Проведите медиану из вершины прямого угла этого треугольника. Вспомните свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Начните … Пробуйте!

  64. Ольга:

    Через точку О пересечения диагоналей равнобедренной трапеции ABCD (AD||BC) со взаимно перпендикулярными диагоналями проведена прямая MK перпендикулярная к стороне CD ( точка M лежит на AB, точка K на CD). Найдите MK, если AD=40 см, BC=30см.

    • Игорь:

      Помогите пожалуйста. Диагонали трапеции 6 и 8 см. Отрезок, соединяющий середины ее оснований 5 см. найдите площадь трапеции.

      • egeMax egeMax:

        Смотрите ответ на коммент Ильяса от 03.02.2015. Дано решение аналогичной задачи.

  65. Taaaton:

    Трапеция ABCD с основаниями BC и AD описана около окружности, угол BCD=120 градусам, угол BAD=60градусам. Найдите отношение AB:BC

    • egeMax egeMax:

      Taaaton (и другие), ну задачка… и что..? Вы же обращаетесь не в пустоту, не к роботу, правда? А к конкретному человеку. Вам сложно попросить? Есть слова «спасибо», «пожалуйста». Всегда готова помочь… :))

      • Taaaton:

        помогите пожалуйста ,не могу решить , заранее спасибо

        • egeMax egeMax:

          Несложно заметить, что трапеция ABCD (пусть AD,BC – большее и меньшее основания) – равнобокая. Пусть AB и CD пересекаются в точке M. Тогда треугольник AMD – равносторонний. То есть AM=AD. Обозначим BC=2x,AD=2y. Очевидно, по свойству отрезков касательных, AB=x+y. Откуда AM=y+x+2x. Итак, возвращаясь к тому, что AM=AD, получаем: y+3x=2y.
          То есть y=3x. Стало быть, AB:BC=4x:2x=2.
          Если остались вопросы, обращайтесь.

  66. Валерия):

    Здравствуйте!Помогите пожалуйста с решением задач, а то затрудняюсь, буду очень благодарна)
    1)Трапеция ABCD c основаниями BC и ADописана около окружности. Известно, что <ВСD=2<BAD.Найдите отношение АВ|ВС.
    2)При каких значениях k прямая y=kx, имеет с графиком функции y=|x-2|+|x+1|ровное две точки.
    3)При каких значениях параметра а уравнение аx^2-4x+a+3=0 Имеет более одного корня. Заранее большое спасибо)

    • egeMax egeMax:

      3) потребуйте для исходного уравнения, чтобы D>0 при условии, что a\neq 0. Должны прийти к a\in (-4;0)\cup (0;1).
      2) Постройте «корыто». Как будет выглядеть y при x\in (-\infty;-1), при x\in [-1;2] и при x\in (2;+\infty)? Повращайте y=kx вокруг точки (0;0). Начните…
      1) А трапеция, случайно, не равнобедренная?

      • Валерия):

        Спасибо, нет не сказано какая трапеция,ноо
        пускай будет равнобедренная)

  67. Ксю00014:

    трапеция АВСД, ВС — 6, АД — 9, диагонали перетинаються в точке О. Найти ОД и ОВ, якщо ОД-ВО=2.

  68. Виталий:

    Помогите пожалуйста в решении такой задачи.Найдите радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию если основание 8,2 см. Заранее спасибо!

  69. Изольда:

    Помогите пожалуйста решить задачу. Найти площадь равнобедренной трапеции если диагональ делит острый угол пополам и среднюю линию на отрезки 23 и 13.Большое спасибо.

    • egeMax egeMax:

      Пусть BC,AD – меньшее и большее основания соответственно.
      BC=26, так как отрезок средней линии трапеции, равный 13, является средней линией треугольника с основанием BC. Аналогично AD=46.
      Далее замечаем, что треугольник ABC – равнобедренный, тогда AB=CD=26.
      Опускаем из B и C высоты к AD. Из одного из образовавшихся прямоугольных треугольников находим высоту h по теореме Пифагора: h=\sqrt{26^2-10^2}=24.
      Наконец, S=\frac{26+46}{2}\cdot 24=...

      • Денис:

        Помогите пожалуйста решить задачку. Дана равнобедренная трапеция АВСD (AD параллельна BC). Известно,что AD>BC. На её описанной окружности отмечена точка Е, такая, что BE перпендикулярна AD. Докажите, что АЕ+ВС>DE.

        • egeMax egeMax:

          Можно попробовать так.
          Пусть BE пересекается с AD в точке K.
          Введите переменные: AK=x,KD=y. Замечаем, y>x.
          Выражаем AE,BC,DE через x,y.
          AE=x\sqrt2, BC=y-x, DE=AB=\sqrt{x^2+y^2}.
          Пробуйте теперь в новых обозначениях доказать неравенство)))

  70. Людмилка:

    прошу подсказать решение:
    Дана трапеция АВСД (не равнобедренная!). Диагонали АС и ВД перпендикулярны, причем АС=48см. Средняя линия MN=25см.
    Высота ВН опущена на основание АД(перпендикулярна ему)
    Найти Высоту ВН

    • egeMax egeMax:

      Перенесите диагональ BD параллельно самой себе в точку C. У полученного прямоугольного треугольника ACK (K – точка на AD) известна гипотенуза (50) и катет (48). Находим второй катет (14) – это BD ( или CK).
      Теперь вам просто надо найти высоту прямоугольного треугольника ACK, проведенную к гипотенузе. Все для этого есть!

  71. Виктория:

    Елена Юрьевна,добрый вечер.Поздравляю Вас с профессиональным
    праздником! Помогите пожалуйста разобраться в задаче для 8 класса. В учебнике мало информации. Заранее благодарю Вас.
    Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

    • egeMax egeMax:

      Виктория,спасибо!
      Можно положить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, при этом меньшее основание одной плитки лежало бы на одной прямой с большим основанием другой плитки (а такое совпадение обязательно произойдет, так как сумма соседних углов при разных основаниях равна 180 градусам по свойству трапеции). Так можно покрыть полосу, а такими полосами покрыть и плоскость.

  72. Дарья:

    Помогите решить задачу по геометрии. Дана равнобедренная трапеция ABCD, меньшее основание которой равно боковой стороне. Меньшее основание трапеции равно половине большего основания. Найдите все углы трапеции. Очень прошу, помогите(

    • egeMax egeMax:

      Пусть у трапеции ABCD меньшее и большее основания – BC и AD соответственно.
      Пусть K – середина AD. Тогда треугольник CKD – равносторонний. То есть угол D (а значит и угол A) равен 60˚. Ну тогда углы B и C по 120˚.

  73. Лея:

    Помогите пожалуйста,периметр равнобедренной трапеции равен 36.средняя линия больше на 2 сантиметра чем бедро трапеции. Чему равно бедро трапеции.

    • egeMax egeMax:

      Пусть боковое ребро – x, основания – a и b.
      Согласно условию \frac{a+b}{2}=x+2 (откуда a+b=2x+4).
      А так как периметр трапеции по условию равен 36 (то есть 2x+a+b=36), то 2x+2x+4=36, откуда x=8.

  74. Светлана:

    в равнобедренной трапеции диагональ составляет с основанием угол 30 градусов, а её высота = 4см. Найти среднюю линию трапеции. Помогите, пожалуйста! ))

    • egeMax egeMax:

      Пусть BC, AD – меньшее и большее основания трапеции ABCD соответственно.
      Пусть CH\perp AD. В треугольнике ACH напротив угла в 30˚ лежит катет, равный 4. Тогда AC=2\cdot 4.
      Следовательно AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=4\sqrt3.
      При этом AH=\frac{BC+AD}{2}, то есть длина AH и есть длина средней линии.
      Ответ: 4\sqrt3.
      Надеюсь, ясно окуда взялось AH=\frac{BC+AD}{2} )))

  75. Александра:

    Здравствуйте, помогтте пожалуйста решить задачу. В прямоугольной трапецииАВСД ,угол ВАД прямой,угол ВАС =45,угол ВСД =135, АД=30 см.Найдите меньшую боковую сторону трапеции. Назовите три равных треугольника из которых составлена эта трапеция.

    • egeMax egeMax:

      Угол BCA равен 45°, так как углы BCA и CAD – накрест лежащие при BC||AD и секущей AC.
      Треугольник ABC таким образом – прямоугольный, равнобедренный.
      А так как угол С равен 135˚, то угол AСD – прямой.
      Треугольник ACD – прямоугольный, равнобедренный. Если в нем провести высоту (медиану) к гипотенузе, то он разобьется на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника (треугольник ABC также равен им).
      Меньшая боковая сторона – 15.

  76. Надежда:

    Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить задачу: Основания трапеции равны 12 и 28, а одна из взаимно-перпендикулярных диагоналей — 24. Чему равна площадь трапеции?

    • egeMax egeMax:

      Параллельно самой себе одну из диагоналей перенесите до пересечения с концом другой. Получите прямоугольный треугольник с известной гипотенузой (40) и катетом (24). Тогда второй катет (неизвестная диагональ) – 32.
      Площадь этого треугольника и есть площадь трапеции. Ответ: (32*24):2.

      • Надежда:

        спасибо большое! Оказывается совсем просто решается, а я решила другим способом, он более громоздкий. Может подскажете решение другой задачи: найти наибольшую площадь трапеции, каждая из боковых сторон которой и меньшее основание равны 4/3 в степени 3/4.Спасибо.

        • egeMax egeMax:

          Введите переменную. Пусть x – высота трапеции.
          Тогда S=x((\frac{4}{3})^{\frac{3}{4}}+\sqrt{(\frac{4}{3})^{\frac{3}{2}}-x^2}).
          Исследуйте функцию S(x) на наибольшее значение.

          • Надежда:

            Спасибо большое, я так же решила.
            Меня беспокоят еще две задачи, только они не геометрические. Если Вас не затруднит, может подскажете.Вот 1 задание: найдите сумму всех целых а, при которых уравнение 2а(sinx-1) + 15 = а^2-10sinх имеет хотя бы одно решение. Я выразила sinх через а, затем, т.к. -1<sinx<1, значит и правая часть принадлежит этому промежутку, нашла сумму всех целых а, получилось 15, но этот ответ неверный. Где ошибка, не могу найти.И со второй задачей ответ не сходится, значит решаю что-то не так.2 задание: корень квадратный из выражения 2(sin^2(Пху/2) + 1 + ctg^2(Пху/2)) = — у^2 + 2у + 1. Определить х — у.Спасибо.

          • egeMax egeMax:

            1) Начали правильно. Да, нужно выразить sinx. Должно получиться что-то вроде sinx=\frac{a^2+2a-15}{2a+10} при a\neq -5.
            Значение a=-5 – дает также верное равенство.
            Решайте |\frac{a^2+2a-15}{2a+10}|\leq 1, незабыв потом к решению добавить a=-5.
            2) Так как a+\frac{1}{a}\geq 2, то
            под корнем: 2(sin^2\frac{xy\pi}{2}+\frac{1}{sin^2\frac{xy\pi}{2}})\geq 4, то есть левая часть всегда больше или равна 2. А правая – меньше или равна 2. Делайте вывод.

          • Надежда:

            Спасибо, Вы мне очень помогли.

  77. Танько:

    Сможете помочь ._.?
    Найдите площадь равнобедренной трапеции ,диагональ которой равна 12см,а угол между диагоналям составляет 45 градусов .

    • egeMax egeMax:

      Раз трапеция равнобедренная, то диагонали равны. Воспользуйтесь формулой S=\frac{d_1\cdot d_2\cdot sin\alpha}{2}, где \alpha – угол между диагоналями, d_1=d_2=12.  
      Или
      Перенесите одну диагональ параллельно самой себе в конец (что в меньшем основании) второй диагонали. Получите равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 12 и углом между ними 45. Подумайте, как связана его площадь с площадью исх. трапеции.

      • Раушан:

        Помогите пожалуйста решить задачу. В прямоугольной трапеции АВСД меньшая боковая сторона АВ=10см, угол СДА=45°. Найти расстояние от С до АД

  78. Нина:

    Помогите, пож-та, решить:
    В трапеции ABCD т.E — середина большего основания AD. ED=BC, угол B=120. Найти углы AEC и BCE.

  79. Марина:

    Помогите пожалуйста решить задачу.Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

    • egeMax egeMax:

      1) Докажите сначала, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции. К этому несложно прийти через подобие треугольников.
      2) После чего докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.
      3) Тогда мы придем к тому, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

  80. Людмила:

    Помогите!!!!!!!!
    в полукруг радиуса R вписана трапеция наибольшего периметра основание которой совпадает с диаметром. найти стороны трапеции.

    • egeMax egeMax:

      Пусть x – боковые стороны (трапеция равнобокая, коль вписана в полукруг).
      Пусть y – меньшее основание.
      Высота трапеции – \sqrt{R^2-\frac{y^2}{4}} с одной стороны, \sqrt{x^2-(R-\frac{y}{2})^2} с другой.
      Тогда y=(2R^2-x^2):R.
      Периметр – 2R+(2R^2-x^2):R+2x.
      Исследуйте функцию 2R+(2R^2-x^2):R+2x на наибольшее значение, найтите x (затем и y), при котором оно достигается.

  81. Света:

    как решить задачу : Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны боковым сторонам.
    Найдите площадь трапеции, если основания её равны 4 и 8.

    • egeMax egeMax:

      Так как углы ABD,ACD – прямые, то трапеция ABCD – вписанная в окружность с диаметром AD. Центр окр. – O.
      Тогда OB=4.
      Пусть BH\perp AD. Из треугольника BHO:
      BH=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.
      Наконец, S=\frac{(4+8)\cdot 2\sqrt3}{2}=12\sqrt3.

  82. Василина:

    Помогите пожалуйста :Моторная лодка во вторник в 17:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный
    в 198 км от пункта А. Пробыв в пункте В 3 часа 12 мин, лодка отправилась назад и
    вернулась в пункт А в четверг в 12:12. Найдите собственную скорость лодки, если
    известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

    ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!!!

  83. Алиса:

    Если мооожно то с рисунком. Отрезок СН – биссектриса треугольника. Точки F и D – основания
    перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АС и ВС соответственно; АС =
    3
    4
    ВС, АСВ = 60градусов, HD = 14 корень из 3
    . Найдите стороны треугольника.

    • egeMax egeMax:

      Алиса, вы уже успели за два дня побыть Светой, Василиной, может еще что я упустила…
      Умнее не станете, если за вас решать задачи будут))) Сама-сама…

      • Алиса:

        Я здесь только с алисы и василины писала , но вам все равно за задачу огромное спасибо!!!

  84. Мария:

    Помогите, пожалуйста. в прямоугольном параллелепипеде точка Е-середина сс1. найти расстояние между АЕ и Вс1. если ав=3, ад=2 сс1=4. по-моему нужно опустить перпендикуляр, только не могу это представить

    • egeMax egeMax:

      Здесь так все легко получится через введение прямоугольной системы координат. Сам прямоугольный параллелепипед же дан! Советую попробовать.

  85. Елена:

    Найдите длину большего основания прямоугольной трапеции, если ее меньшая боковая сторона равна 6 см, меньшая диагональ, перпендикулярная большей боковой стороне равна 10 см.
    Заранее спасибо!

    • egeMax egeMax:

      Пусть ABCD – данная трапеция. AB=6, AC=10.
      Очевидно, по т. Пифагора, из треугольника ABC: BC=8.
      Проведем CH\perp AD.
      Пусть HD=x. Заметим, HC=6. Из треугольника HCD: CD^2=x^2+6^2
      Тогда из треугольника ACD по т. Пифагора (x+8)^2=10^2+x^2+6^2.
      Отсюда находим x.

  86. яна:

    докажите что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180 .Верно ли обратное утверждение если сумма противолежащих углов трапеции равна 180 верно то данная трапеция равнобокая

    • egeMax egeMax:

      В равнобокой трапеции ABCD углы при основаниях (AD,BC) соответственно равны (угол A равен D; угол C равен B)

      А так как основания параллельны, то углы A и B (также как и C, D) в сумме дают 180 градусов как внутренние односторонние углы.
      Итак, A+B=180 можно переписать как A+C=180 (угол C равен B). Аналогично со второй парой.
      Обратное верно.

  87. Татьяна:

    Пожалуйста, помогите решить задачу:
    При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 45 градусов и периметром P=4(1+ Корень квадратный из 2) имеет наибольшую площадь? Заранее благодарю)

    • egeMax egeMax:

      Малое основание трапеции меньше большего на длину высоты (подумайте, почему…)
      Пусть высота – h, меньшее основание – x.
      4(1+ Корень квадратный из 2) =2h+2x+h√2, откуда 4+4√2-h(2+√2)=2x
      S=h(2x+h):2=h(4+4√2-h(2+√2)+h):2.
      Исследуйте S(h)=h(4+4√2-h(1+√2)):2 на наибольшее значение, точнее найдите h, при котором оно достигается.

      • Татьяна:

        По моему вы нашли полусумма оснований,, а не надо ли еще все это умножить на высоту , чтобы получить площадь?

      • Татьяна:

        все увидела высоту спасибо большое теперь все понятно

  88. Лана:

    дана прямоугольная трапеция, большее основание которой равно 12 см, а радиус вписанной в нее окружности-3 см. найдите площадь трапеции. как решить без тангенса?

  89. николай:

    помогите решить задачу.дана трапеция со сторонами 9см и 12см основания 15см и 30 см.надо определить велечину угла пересечения боковых сторон трапеции

    • egeMax egeMax:

      Пусть K – точка пересечения продолжения сторон AB,DC.
      Тогда треугольники BKC,AKD подобны и коэффициент подобия – \frac{1}{2}.
      В треугольнике AKD известны все стороны AK=18,KD=24,AD=30. Находим искомый угол по теореме косинусов:
      30^2=18^2+24^2-2\cdot 18\cdot 24\cdot cos\alpha.
      Ответ: 90.
      (Можно и сразу заметить, что AD^2=AK^2+KD^2)

  90. Люба:

    Основания трапеции равны 7см и 21 см. Найдите боковые стороны трапеции, если радиус вписанной окружности равен 6 сч.

  91. Мариша:

    Пусть АД и ВС — основания трапеции АВСД, причем АД=21, ВС=7. Так как трапеция описана около окружности радиуса 6, то сумма боковых сторон трапеции равна 28, а ее высота — 12.Проведем ВМ параллельно сд. Тогда АМ=14, а площадь треугольника АВМ равна 84.Обозначим:
    АВ=х, ВМ=28-х и снова найдем площадь треугольника АВМ, но теперь по теореме Герона. Уравняем найденные площади и решим получившееся уравнение. А ответ будет таким: 15см и 13см.

    • egeMax egeMax:

      Мариша, спасибо. Но думаю, – Люба сюда не заглянет уже…
      Я не отвечаю тем, кто просто кидает задачи. Если лень вежливо попросить помощи, то мне лень решать))

      • Люба:

        Спасибо за решение. А сюда не надо заглядывать — у вас сайт с обратной связью, как только Вы ответили на мою задачку мне на почту пришел ответ.
        С новогодними праздниками и прошедшими каникулами!

  92. Люба:

    Упс, Мариша не верно прочитала условие задачи — окружность — не описанная, а вписанная — «Основания трапеции равны 7см и 21 см. Найдите боковые стороны трапеции, если радиус вписанной окружности равен 6 см.» Заранее благодарна…

  93. Сможете пожалуйста решить задачу. Дано:В четырехугольнике ABCD AB = CD, M и K — середины BC и AD. Докажите,
    что угол между MK и AC равен полусумме углов BAC и DCA.

  94. Влад:

    в окружность радиусом 3 см вписана трапеция с углом при основании 45 градусов и высотой корень из 2 см. Найдите площадь трапеции

  95. Какой градусный коэффициент у трапеции?

  96. Ги:

    Здравствуйте! Почему в качестве примера Вы не приводите трапецию, получаемую при отсечении острого угла тупоугольного треугольника?

  97. Ги:

    Еще вопрос. Тупоугольные трапеции почти нигде не рассматриваются, особенно, как в следующем примере с вершинами: (0,0),(4,0),(7,5),(5,5). Можно ли утверждать, что все формулы и теоремы для трапеций справедливы и в случае тупоугольных?

    Я имею учебник с решенными задачами. Одна из задач такова.

    Найти площадь трапеции, зная длины ее диагоналей и высоты.

    Автор учебника даже не рассматривает случай, который я привел выше. Между тем результат там — иной.

    • egeMax egeMax:

      Да, конечно.
      По поводу задачи – ничего не понятно. Ответ иной по сравнению с чем? Лучше конкретнее.

      • Ги:

        Здравствуйте. Я хотел сказать, что выделение тупоугольных трапеций является существенным. Более того. Из тупоугольных трапеций следует еще выделить «сильно» наклонные, т.е. тот случай, когда одно основание даже частично не проектируется на другое:

        ••••••••••••••••••••••••••••••••••
        ••••••••••••••••••••••••• •••••
        •••••••••••••••••••••• ••••••
        ••••••••••••••••••• •••••••
        •••••••••••••••• ••••••••
        ••••••••••••• •••••••••
        •••••••••• ••••••••••
        ••••••• •••••••••••
        •••• ••••••••••••
        ••••••••••••••••••••••••••••••••••

        Вернусь к задаче

        Найти площадь трапеции, если даны диагонали d1, d2 и высота h.

        Решение этой задачи дано в книге: Кутасов А.Д. и др. (под редакцией Яковлева Г.Н.), Пособие по математике для поступающих в вузы, Москва 1982.

        При решении задачи авторы пособия рассмотрели лишь классическую форму трапеции и получили результат:

        S = 0.5·h·[√(d1·d1 — h·h) + √(d2·d2 — h·h)]

        Однако для «сильно» наклонной трапеции ответ другой:

        S = 0.5·h·[√(d1·d1 — h·h) — √(d2·d2 — h·h)], где d1 > d2

        Скачать книгу в формате djvu можно здесь:
        https://yadi.sk/d/fl1JOtXonDvya
        Решение задачи на стр. 320

        • egeMax egeMax:

          Согласна с вами, что формула S = 0.5·h·[√(d1·d1 — h·h) + √(d2·d2 — h·h)] не работает для, как вы говорите, «сильно» наклонной трапеции.
          Но свойства, рассматриваемые конкретно мной в этой статье, верны для всех видов трапеции. Так, что, не думаю, что тупоугольные трапеции здесь как-то «ущемлены».
          Спасибо за диалог. Быть может, руки доберутся когда-нибудь до написания отдельной статьи (или для дополнения этой) для «сильно» наклонных трапеций.

      • Ги:

        Пример «сильно» наклонной трапеции: (0,0),(4,0),(7,5),(5,5) (вершины)

  98. Мари:

    в окружность радиусом 3 см вписана трапеция с углом при основании 45 градусов и высотой корень из 2 см. Найдите площадь трапеции

  99. Для треугольника со сторонами 5 см, 6 см, 9 см Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Яндекс.Метрика