Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

виды трапеций

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

равнобедренная трапеция

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

прямоугольная трапеция

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

средняя линия

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

57

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

qk

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

е

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

трапеция с углами при основании в сумме 90

 

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

4

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

площадь трапеции

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

66 комментариев

  1. Анатолий Шевелев:

    Здравствуйте, ссылка на подборку задач неверная, при клике открывается страница «Площади фигур»…

  2. Анатолий Шевелев:

    «S=lh, где h – средняя линия» — опечатка ;)

  3. иван:

    Е Если в окружность вписана в трапецию то трапеция равно бедренная инфа сотка.

    • Татьяна:

      Это если окружность описана около трапеции, тогда равнобедренная.
      А в случае, когда вписана, — совсем не обязательно.

  4. Рональд:

    трапеция вписана в круг, её периметр 12 см, какова её площадь?

  5. ainura:

    спасибо

  6. Таня:

    основи трапеції дорівнюють 9 і 6 см. Діагональ ділить трапецію на два подібні трикутники. Знайдіть довжину діагоналі. Допоможіть будь ласка

    • egeMax egeMax:

      Пусть данная трапеция – ABCD c основаниями BC и AD; диагональ, которая делит трапецию на 2 подобных треугольника – это AC.
      \Delta ABC подобен \Delta DCA. Тогда \frac {AC}{AD}=\frac{BC}{AC}, то есть \frac{AC}{9}=\frac{6}{AC}. Откуда AC^2=54, то есть AC=3\sqrt{6}.

  7. Надя:

    Найти углы прям-угольной трапеции если один из углов 20градусов?

  8. В 5 свойстве равнобедренной трапеции неправильно изображена высота. Она должна выходить из вершины.

    • egeMax egeMax:

      Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение.

  9. тико:

    определить высоту и трапеции, если ее основание 16 и 28, а боковые стороны 28 и 17 нужно ошибку найти

  10. Ирина:

    https://yadi.sk/d/o-xlknoPcHHzD — чертеж к задаче.

    Задача: т.A не принадлежит плоскости α,
    т.B и т.C — принадлежат плоскости α.
    т.D принадлежит AB, DE||BC.
    BD=14 см, AE:EC= 2:5.

    Найти: AD?

    Подскажите, правильно ли нарисован чертеж? Понятно, что связано с трапецией, но как решить?

    • egeMax egeMax:

      Мало информации про точку E. Судя по задумке, точка E принадлежит отрезку AC.
      Тогда в ход идут подобные треугольники ADE и ABC. Составляем отношение сходственных сторон: \frac{AD}{AD+14}=\frac{2}{7}, откуда и находим AD.

  11. Ирина:

    Спасибо за оперативность. Я тоже считаю, что информация неполная. Хотя это задача из учебника.

  12. Мира:

    Задача:
    Трапеция с основаниями 7 и 25 и диагональю 20 вписана в окружность. Найдите:
    а) синус острого угла трапеции
    б) радиус описанной около трапеции окружности

    • egeMax egeMax:

      Опустите перпендикуляры из вершин B и C меньшего основания к большему основанию AD. Рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза – диагональ AC. Чему равен катет этого треугольника, лежащий на AD? Примените т. Пифагора. Найдете высоту. Далее и на синус острого угла можно выйти (0,8).
      Для пункта б) примените теорему синусов для треугольника со сторонами 20, 25, 15 (боковая). Радиус – 12,5.

  13. Ильяс:

    Задача: Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 см и (корень 85) см. Найдите среднюю линию трапеции.
    Заранее спасибо!

    • egeMax egeMax:

      Пусть трапеция у нас ABCD (BC||AD). Перенесите диагональ BD параллельно самой себе в точку C. У вас получится прямоугольный треугольник c катетами 6 и \sqrt{85}. Его гипотенуза – сумма оснований трапеции… Ответ: 5,5.

  14. Ильяс:

    Спасибо!!!

  15. Ильяс:

    Задача: Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых летних домика.В первой бригаде было 20 рабочих, а во второй- 22 рабочих.Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 3 рабочих со второй бригады, в результате чего оба домика были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

    • egeMax egeMax:

      Пусть производительность одного рабочего – x. Тогда за 10 дней I бригада сделала 20x\cdot 10 часть работы, II – 22x\cdot 10. Пусть бригадам потребовалось закончить работу в новом составе за y дней. Тогда I бригада в новом составе (23 чел.) сделела 23xy часть работы, II – 19xy.
      Итак, работа, сделанная I-ой бригадой – 200x+23xy, работа, сделанная II–ой бригадой – 220x+19xy.
      Составим уравнение:
      200x+23xy=220x+19xy, откуда 200+23y=220+19y, то есть y=5. Это и есть ответ к задаче.

  16. Ильяс:

    Задача: До распродажи брюки стоили дешевле пиджака на 60% и дороже рубашки на 300%. В период распродажи цена пиджака снизилась на 20%, а цена брюк — на 25%. Витя купил пиджак и брюки во время распродажи. Сколько рубашек он мог купить на ту же сумму, если цена рубашки не изменилась.

    • egeMax egeMax:

      Пусть цена пиджака x, цена рубашки y. Тогда цена брюк, с одной стороны, 0,4x, с другой – 4y (откуда y=0,1х).
      Во время распродажи цена пиджака 0,8х, брюк – 0,75*0,4x. Витя потратил 1,1x. А мог бы купить 1,1x:y=1,1x:0,1x=11 рубашек.

  17. Оксана:

    Здравствуйте. Помогите,пожалуйста, решить задачу. Дана равнобедренная трапеция ABCD. KL — средняя линия. Диагональ BD=4. Угол BDA=60 градусов.Чему равна KL?

  18. Оксана:

    egeMax, наверное, недостаточно данных? Спасибо за ответ

  19. Ильяс:

    Задача: Коммерческие банки составляют 20% от общего числа банков. Финансовое положение устойчиво у 30% всех банков, в том числе у 10% коммерческих банков. Какой процент устойчиво работающих некоммерческих банков.

  20. Ильяс:

    Ну я не могу решить. И учителя и одноклассники пытались — не смогли!

  21. Ильяс:

    Решите плиз!

    • egeMax egeMax:

      Принимаем за x количество всех банков. Тогда коммерческих – 0,2x. Так как устойчивое положение имеют 10% коммер.банков, то их количество выражается как 0,02x. Всего 0,3x банков имеют устойчивое положение. А значит, некоммерческих среди них 0,3×-0,02x=0,28x.
      Находим процент устойчивых некоммерческих: 0, 28x от 0,8х – это 35%.
      Что-то ваши задачи не подходят под тему Трапеция.
      С задачами на проценты вам сюда.

  22. Ильяс:

    я так тоже решил, но ответ другой поэтому обратился к вам

    • egeMax egeMax:

      Ильяс, перечитайте еще раз решение. Нас интересует процент устойчивых банков от КОММЕРЧЕСКИХ, а не от всех банков.

  23. Ильяс:

    как получили 35%

  24. Ильяс:

    Задача: Длина медианы СМ треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и АВ в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24 см2

    • egeMax egeMax:

      Пусть P – середина AC. Тогда \Delta PMC – прямоугольный. А в силу того, что PM||BC, то и \Delta ABC – прямоугольный. Раз медиана равна 5, то гипотенуза AB равна 10. Раз площадь треугольника ABC равна 24, то катеты будут 6 и 8. Тогда периметр 24.

  25. Ильяс:

    но там чертёж не возможен

  26. Максим:

    Решите задачу. В трапеции abcd |BC|=2см, |AD|=8см, ac(значок пересечения) bd=O, S(BOC) на 6 см меньше S(ABO). Найдите высоту данной трапеции.

    • egeMax egeMax:

      Коэффициент подобия треугольников BOC и DOA\frac{1}{4}. Значит высота BOC, проведенная из O, в пять раз меньше высоты треугольника ABC, проведенной из A. Итак, отношение площадей треугольников ABC и BOC есть 5. Составим уравнение:
      \frac{2x+6}{x}=5 (x – площадь BOC, 2x+6 – площадь ABC). Откуда x=2.
      Ну а тогда высота BOC есть 2, следовательно высота трапеции – 10.

  27. Артем:

    Помогите решить задачу. Диагональ равнобедренной трапеции составляет с основанием 45 градусов. Какова будет длина диагонали трапеции. Если площадь трапеции равна 72 см2.
    Спасибо.

    • egeMax egeMax:

      Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Проводим OH перпендик AD и OQ перпендик BC.
      Треугольник AOD равноб., прямоуг.(В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы – особая точка!!!!) Тогда HA=HD=HO=x. Аналогично BQ=QC=QO=y. Высота – x+y. Диагональ x√2+y√2.
      При этом 72=(x+y)^2. Откуда x+y=6√2. Ну и тогда диагональ есть 12.

  28. Ильяс:

    Задача: Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвёртая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 часа, первая, третья и четвёртая — за 3 часа. Если будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

    • egeMax egeMax:

      Совместная производительность двух первых, двух вторых, двух третьих и двух четвертых бригад – \frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{4}. Значит суммарная производительность четырех бригад – \frac{3}{8}. Тогда все четыре бригады разгрузят вагон вместе за 1:\frac{3}{8} часа, то есть за 2 часа 40 минут.
      Ильяс, задавайте вопросы в соответствующей теме! Я вас уже отсылала сюда.

  29. D1NKO:

    Высота равнобедренной трапеции, равная 21, делит основание трапеции в отношении 1:9. Определить радиус описанного круга, если боковая сторона трапеции
    равна меньшему основанию.

    • egeMax egeMax:

      Пусть в трапеции ABCD BH – высота, равная 21. Из треугольника ABH по т. Пифагора (8x)^2-x^2=21^2 (где AH=x, соответственно AB=BC=CD=8x). Откуда x=\sqrt7.
      Из \Delta BHD: BD=\sqrt{21^2+(9\sqrt7)^2}=\sqrt{1008}.
      По теореме косинусов из \Delta BCD: 1008=64\cdot 7+64\cdot 7-2\cdot 64\cdot 7\cdot cos BCD, тогда cos BCD=-\frac{1}{8}. Откуда sin BCD=\frac{\sqrt{63}}{8}.
      И наконец, по теореме синусов для треугольника BCD, вписанного в окружность, \frac{BD}{sin BCD}=2R, откуда R=16.

  30. Sh:

    Дана Трапеция ABCD точка пересечение диагоналей O AD||BC BC=3см AD=7см OD=4см найти BO ? Помогите пожалуйста( заранее спасибо:)

  31. Sh:

    В прямоугольной трапеции острый угол равен 60градусов найдите площадь трапеции если основание равны 7см и 5см? Спасибо)

    • egeMax egeMax:

      Проведите в трапеции ABCD (где CD,AD – основания, \angle A=90^{\circ}) высоту из C. Назовите ее CH. Из прямоугольного треугольника CHD с углом в 60^{\circ}, а значит и с углом в 30^{\circ} катет DH=2. Тогда гипотенуза CD – вдвое больше по свойству катета, лежащего против угла в 30^{\circ}. Найдем по т. Пифагора и высоту CH. CH=2\sqrt3.
      Все известно для нахождения площади.
      S=\frac{5+7}{2}\cdot 2\sqrt3=12\sqrt3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Яндекс.Метрика