Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

виды трапеций

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

равнобедренная трапеция

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

прямоугольная трапеция

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

средняя линия

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

57

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

qk

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

е

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

трапеция с углами при основании в сумме 90

 

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

4

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

площадь трапеции

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

20 комментариев

  1. Анатолий Шевелев:

    Здравствуйте, ссылка на подборку задач неверная, при клике открывается страница «Площади фигур»…

  2. Анатолий Шевелев:

    «S=lh, где h – средняя линия» — опечатка ;)

  3. иван:

    Е Если в окружность вписана в трапецию то трапеция равно бедренная инфа сотка.

  4. Рональд:

    трапеция вписана в круг, её периметр 12 см, какова её площадь?

  5. ainura:

    спасибо

  6. Таня:

    основи трапеції дорівнюють 9 і 6 см. Діагональ ділить трапецію на два подібні трикутники. Знайдіть довжину діагоналі. Допоможіть будь ласка

    • egeMax egeMax:

      Пусть данная трапеция – ABCD c основаниями BC и AD; диагональ, которая делит трапецию на 2 подобных треугольника – это AC.
      \Delta ABC подобен \Delta DCA. Тогда \frac {AC}{AD}=\frac{BC}{AC}, то есть \frac{AC}{9}=\frac{6}{AC}. Откуда AC^2=54, то есть AC=3\sqrt{6}.

  7. Надя:

    Найти углы прям-угольной трапеции если один из углов 20градусов?

  8. В 5 свойстве равнобедренной трапеции неправильно изображена высота. Она должна выходить из вершины.

    • egeMax egeMax:

      Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение.

  9. тико:

    определить высоту и трапеции, если ее основание 16 и 28, а боковые стороны 28 и 17 нужно ошибку найти

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Яндекс.Метрика