Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

виды трапеций

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

равнобедренная трапеция

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

прямоугольная трапеция

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

средняя линия

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

3. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

57

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

qk

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

е

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

трапеция с углами при основании в сумме 90

 

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

4

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

площадь трапеции

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

130 комментариев

  1. Анатолий Шевелев:

    Здравствуйте, ссылка на подборку задач неверная, при клике открывается страница «Площади фигур»…

  2. иван:

    Е Если в окружность вписана в трапецию то трапеция равно бедренная инфа сотка.

    • Татьяна:

      Это если окружность описана около трапеции, тогда равнобедренная.
      А в случае, когда вписана, — совсем не обязательно.

  3. Рональд:

    трапеция вписана в круг, её периметр 12 см, какова её площадь?

  4. ainura:

    спасибо

  5. Таня:

    основи трапеції дорівнюють 9 і 6 см. Діагональ ділить трапецію на два подібні трикутники. Знайдіть довжину діагоналі. Допоможіть будь ласка

    • egeMax egeMax:

      Пусть данная трапеция – ABCD c основаниями BC и AD; диагональ, которая делит трапецию на 2 подобных треугольника – это AC.
      \Delta ABC подобен \Delta DCA. Тогда \frac {AC}{AD}=\frac{BC}{AC}, то есть \frac{AC}{9}=\frac{6}{AC}. Откуда AC^2=54, то есть AC=3\sqrt{6}.

  6. Надя:

    Найти углы прям-угольной трапеции если один из углов 20градусов?

  7. В 5 свойстве равнобедренной трапеции неправильно изображена высота. Она должна выходить из вершины.

    • egeMax egeMax:

      Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания на другое или его продолжение.

  8. тико:

    определить высоту и трапеции, если ее основание 16 и 28, а боковые стороны 28 и 17 нужно ошибку найти

  9. Ирина:

    https://yadi.sk/d/o-xlknoPcHHzD — чертеж к задаче.

    Задача: т.A не принадлежит плоскости α,
    т.B и т.C — принадлежат плоскости α.
    т.D принадлежит AB, DE||BC.
    BD=14 см, AE:EC= 2:5.

    Найти: AD?

    Подскажите, правильно ли нарисован чертеж? Понятно, что связано с трапецией, но как решить?

    • egeMax egeMax:

      Мало информации про точку E. Судя по задумке, точка E принадлежит отрезку AC.
      Тогда в ход идут подобные треугольники ADE и ABC. Составляем отношение сходственных сторон: \frac{AD}{AD+14}=\frac{2}{7}, откуда и находим AD.

  10. Ирина:

    Спасибо за оперативность. Я тоже считаю, что информация неполная. Хотя это задача из учебника.

  11. Мира:

    Задача:
    Трапеция с основаниями 7 и 25 и диагональю 20 вписана в окружность. Найдите:
    а) синус острого угла трапеции
    б) радиус описанной около трапеции окружности

    • egeMax egeMax:

      Опустите перпендикуляры из вершин B и C меньшего основания к большему основанию AD. Рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза – диагональ AC. Чему равен катет этого треугольника, лежащий на AD? Примените т. Пифагора. Найдете высоту. Далее и на синус острого угла можно выйти (0,8).
      Для пункта б) примените теорему синусов для треугольника со сторонами 20, 25, 15 (боковая). Радиус – 12,5.

  12. Ильяс:

    Задача: Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 см и (корень 85) см. Найдите среднюю линию трапеции.
    Заранее спасибо!

    • egeMax egeMax:

      Пусть трапеция у нас ABCD (BC||AD). Перенесите диагональ BD параллельно самой себе в точку C. У вас получится прямоугольный треугольник c катетами 6 и \sqrt{85}. Его гипотенуза – сумма оснований трапеции… Ответ: 5,5.

  13. Ильяс:

    Спасибо!!!

  14. Ильяс:

    Задача: Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых летних домика.В первой бригаде было 20 рабочих, а во второй- 22 рабочих.Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 3 рабочих со второй бригады, в результате чего оба домика были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?

    • egeMax egeMax:

      Пусть производительность одного рабочего – x. Тогда за 10 дней I бригада сделала 20x\cdot 10 часть работы, II – 22x\cdot 10. Пусть бригадам потребовалось закончить работу в новом составе за y дней. Тогда I бригада в новом составе (23 чел.) сделела 23xy часть работы, II – 19xy.
      Итак, работа, сделанная I-ой бригадой – 200x+23xy, работа, сделанная II–ой бригадой – 220x+19xy.
      Составим уравнение:
      200x+23xy=220x+19xy, откуда 200+23y=220+19y, то есть y=5. Это и есть ответ к задаче.

  15. Ильяс:

    Задача: До распродажи брюки стоили дешевле пиджака на 60% и дороже рубашки на 300%. В период распродажи цена пиджака снизилась на 20%, а цена брюк — на 25%. Витя купил пиджак и брюки во время распродажи. Сколько рубашек он мог купить на ту же сумму, если цена рубашки не изменилась.

    • egeMax egeMax:

      Пусть цена пиджака x, цена рубашки y. Тогда цена брюк, с одной стороны, 0,4x, с другой – 4y (откуда y=0,1х).
      Во время распродажи цена пиджака 0,8х, брюк – 0,75*0,4x. Витя потратил 1,1x. А мог бы купить 1,1x:y=1,1x:0,1x=11 рубашек.

  16. Оксана:

    Здравствуйте. Помогите,пожалуйста, решить задачу. Дана равнобедренная трапеция ABCD. KL — средняя линия. Диагональ BD=4. Угол BDA=60 градусов.Чему равна KL?

  17. Оксана:

    egeMax, наверное, недостаточно данных? Спасибо за ответ

  18. Ильяс:

    Задача: Коммерческие банки составляют 20% от общего числа банков. Финансовое положение устойчиво у 30% всех банков, в том числе у 10% коммерческих банков. Какой процент устойчиво работающих некоммерческих банков.

  19. Ильяс:

    Ну я не могу решить. И учителя и одноклассники пытались — не смогли!

  20. Ильяс:

    Решите плиз!

    • egeMax egeMax:

      Принимаем за x количество всех банков. Тогда коммерческих – 0,2x. Так как устойчивое положение имеют 10% коммер.банков, то их количество выражается как 0,02x. Всего 0,3x банков имеют устойчивое положение. А значит, некоммерческих среди них 0,3x-0,02x=0,28x.
      Находим процент устойчивых некоммерческих: 0, 28x от 0,8х – это 35%.
      Что-то ваши задачи не подходят под тему Трапеция.
      С задачами на проценты вам сюда.

  21. Ильяс:

    я так тоже решил, но ответ другой поэтому обратился к вам

    • egeMax egeMax:

      Ильяс, перечитайте еще раз решение. Нас интересует процент устойчивых банков от КОММЕРЧЕСКИХ, а не от всех банков.

  22. Ильяс:

    как получили 35%

  23. Ильяс:

    Задача: Длина медианы СМ треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и АВ в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24 см2

    • egeMax egeMax:

      Пусть P – середина AC. Тогда \Delta PMC – прямоугольный. А в силу того, что PM||BC, то и \Delta ABC – прямоугольный. Раз медиана равна 5, то гипотенуза AB равна 10. Раз площадь треугольника ABC равна 24, то катеты будут 6 и 8. Тогда периметр 24.

  24. Ильяс:

    но там чертёж не возможен

  25. Максим:

    Решите задачу. В трапеции abcd |BC|=2см, |AD|=8см, ac(значок пересечения) bd=O, S(BOC) на 6 см меньше S(ABO). Найдите высоту данной трапеции.

    • egeMax egeMax:

      Коэффициент подобия треугольников BOC и DOA\frac{1}{4}. Значит высота BOC, проведенная из O, в пять раз меньше высоты треугольника ABC, проведенной из A. Итак, отношение площадей треугольников ABC и BOC есть 5. Составим уравнение:
      \frac{2x+6}{x}=5 (x – площадь BOC, 2x+6 – площадь ABC). Откуда x=2.
      Ну а тогда высота BOC есть 2, следовательно высота трапеции – 10.

  26. Артем:

    Помогите решить задачу. Диагональ равнобедренной трапеции составляет с основанием 45 градусов. Какова будет длина диагонали трапеции. Если площадь трапеции равна 72 см2.
    Спасибо.

    • egeMax egeMax:

      Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Проводим OH перпендик AD и OQ перпендик BC.
      Треугольник AOD равноб., прямоуг.(В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы – особая точка!!!!) Тогда HA=HD=HO=x. Аналогично BQ=QC=QO=y. Высота – x+y. Диагональ x√2+y√2.
      При этом 72=(x+y)^2. Откуда x+y=6√2. Ну и тогда диагональ есть 12.

  27. Ильяс:

    Задача: Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвёртая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 часа, первая, третья и четвёртая — за 3 часа. Если будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

    • egeMax egeMax:

      Совместная производительность двух первых, двух вторых, двух третьих и двух четвертых бригад – \frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{4}. Значит суммарная производительность четырех бригад – \frac{3}{8}. Тогда все четыре бригады разгрузят вагон вместе за 1:\frac{3}{8} часа, то есть за 2 часа 40 минут.
      Ильяс, задавайте вопросы в соответствующей теме! Я вас уже отсылала сюда.

  28. D1NKO:

    Высота равнобедренной трапеции, равная 21, делит основание трапеции в отношении 1:9. Определить радиус описанного круга, если боковая сторона трапеции
    равна меньшему основанию.

    • egeMax egeMax:

      Пусть в трапеции ABCD BH – высота, равная 21. Из треугольника ABH по т. Пифагора (8x)^2-x^2=21^2 (где AH=x, соответственно AB=BC=CD=8x). Откуда x=\sqrt7.
      Из \Delta BHD: BD=\sqrt{21^2+(9\sqrt7)^2}=\sqrt{1008}.
      По теореме косинусов из \Delta BCD: 1008=64\cdot 7+64\cdot 7-2\cdot 64\cdot 7\cdot cos BCD, тогда cos BCD=-\frac{1}{8}. Откуда sin BCD=\frac{\sqrt{63}}{8}.
      И наконец, по теореме синусов для треугольника BCD, вписанного в окружность, \frac{BD}{sin BCD}=2R, откуда R=16.

  29. Sh:

    Дана Трапеция ABCD точка пересечение диагоналей O AD||BC BC=3см AD=7см OD=4см найти BO ? Помогите пожалуйста( заранее спасибо:)

  30. Sh:

    В прямоугольной трапеции острый угол равен 60градусов найдите площадь трапеции если основание равны 7см и 5см? Спасибо)

    • egeMax egeMax:

      Проведите в трапеции ABCD (где CD,AD – основания, \angle A=90^{\circ}) высоту из C. Назовите ее CH. Из прямоугольного треугольника CHD с углом в 60^{\circ}, а значит и с углом в 30^{\circ} катет DH=2. Тогда гипотенуза CD – вдвое больше по свойству катета, лежащего против угла в 30^{\circ}. Найдем по т. Пифагора и высоту CH. CH=2\sqrt3.
      Все известно для нахождения площади.
      S=\frac{5+7}{2}\cdot 2\sqrt3=12\sqrt3.

  31. Саша:

    не подскажете , где можно найти доказательства данных свойств трапеции?

    • egeMax egeMax:

      Большая часть – в обычных школьных учебниках… Пробуйте сами – хорошие задачи сами по себе будут… Спрашивайте, если что…

  32. Андрей:

    Дано:АВ-9см СD-12см АD-30см ВС-15см. Нужно найти угол образованный продолжениями боковых сторон трации ABCD

    • egeMax egeMax:

      Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке O. Треугольники BOC и AOD подобны и коэффициент подобия – 15:30, то есть 1:2.
      Находим BO и CO. Замечаем, что треугольник AOD (его стороны – 30, 18 и 24) оказывается прямоугольным. Ответ: 90.

  33. Алиса:

    Площадь равнобедренной трапеции равна 20 см.Радиус вписанной в трапецию окружности равен 2 см. Найдите длины сторон трапеции

    • egeMax egeMax:

      По формуле S=pr (где pполупериметр, r – радиус вписанной окружности) находим периметр трапеции:
      20=p\cdot 2
      p=10
      Тогда P=20.
      Далее применяем свойство: если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны.
      Стало быть, сумма боковых сторон равна 10, а следовательно, боковые стороны равны по 5.
      Пусть BH\perp AD, CT\perp AD. Их прямоугольного треугольника ABH по т. Пифагора AH=\sqrt{5^2-(2r)^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3. Аналогично TD=3
      Сумма оснований, как уже было сказано, равна 10.
      Тогда 10=BC+AH+HT+TD, откуда 10=BC+3+BC+3.
      BC=2, AD=8

  34. Павел:

    Углы при одном из оснований трапеции равны 19 и 71 градус, а отрезки соединяющие середины противлположных сторон, равны 12 и 10. Найдите основания трапеции.

  35. Павел:

    Большое спасибо, а как решать? У меня получаются дробные числа…

    • egeMax egeMax:

      Продлеваем боковые стороны. Пусть они пересекаются в точке О.
      Треугольник OAD (AD – нижнее основание) – прямоугольный.
      Треугольник BOC также прямоугольный.
      Вспоминаем свойство медианы, проведенной к гипотенузе. Она равна ее половине.
      Тогда OK=BK=KC (К – середина BC) и ON=AN=ND (N – середина AD).
      Пусть OK=x. Тогда BC=2x, AD=24-2x. При этом ON=AD/2, то есть 10+x=12-x; x=1.
      Тогда BC=2, AD=22.
      Брали вариант, когда 10 – это ON. Если взять, ON=12, то придем к противоречию.

  36. Денис:

    В ромбе ABCD угол ABC тупой. Из точки B на сторону AD опущен перпендикуляр BX. Известно, что AX = 7 и XD = 2. Найдите длину отрезка BD.

  37. Ильяс:

    Задача: Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

    • egeMax egeMax:

      Пусть основания трапеции AD и BC (AC=8.) Через точку C проводим прямую, параллельную BD. Эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке E.
      Пусть BC=x, тогда AD=6-x.
      В треугольнике ACE имеем: AC=8, CE=10, AE=6-x+x=6.
      То есть треугольник ACE оказался прямоугольным (по теореме, обратной теореме Пифагора). Стало быть, высота трапеции – 8.
      Тогда S=8\cdot 6=48.

  38. Наталья:

    Подскажите, как доказать, что основы трапеции геометричны относительно точки пересечения ее больших сторон

    • egeMax egeMax:

      Наталья, есть свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям
      Отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.
      Вы о нем?

  39. Ильяс:

    Задача: Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним из пункта А вышел катер. Дойдя до В, катер сразу же развернулся и пошёл назад. Какую часть пути от А до В проплывёт плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?

  40. Ильяс:

    Пожалуйста решите мне эту задачу. Я её не понимаю!

    • egeMax egeMax:

      x – скорость течения (плота). 4x, 2x – скорости катера по/против течения. Путь AB=S катер пройдет за время \frac{S}{4x}, а путь BA – за время \frac{S}{2x}. На весь путь катер затратит \frac{S}{4x}+\frac{S}{2x} времени, то есть \frac{3S}{4x}.
      Тогда плот за это же время пройдет \frac{3S}{4x}\cdot x=\frac{3S}{4}.
      Ильяс, не первый раз прошу вас писать в соответствующую тему!..

  41. Ильяс:

    Спасибо!

  42. Артем:

    Здравствуйте! Попалась какая-то не решаемая задача. Помогите решить.
    Основания трапеции равно 4 и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
    Спасибо.

  43. кристина:

    Найдите площадь трапеции если ее диагонали равны 15 и 7, а средняя линия 10

    • egeMax egeMax:

      Перенесите одну из диагоналей параллельно самой себе в вершину меньшего основания. Получите треугольник со сторонами 15, 17 и 20.
      Площадь этого треугольника равна площади трапеции.
      Находите площадь треугольника по формуле Герона S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (p – полупериметр треугольника со сторонами a,b,c).

  44. Илья:

    Помогите решить задачу. В окружность радиуса 5 вписана трапеция ABCD. Найдите длину средней линии трапеции, если известно, что её диагонали перпендикулярны друг другу, а синус угла BAC равен 0,6.

    • egeMax egeMax:

      Из \Delta ABC по т. Синусов: BC:0,6=2\cdot 5. Откуда BC=6.
      \angle ABD=90^{\circ}-\angle BAC. Тогда sin ABD=cos BAC=0,8.
      Из \Delta ABD по т. Синусов: AD:0,8=2\cdot 5. Откуда AD=8.
      Итак, средняя линия трапеции равна \frac{6+8}{2}, то есть 7.

  45. Ильяс:

    Задача: Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

    • egeMax egeMax:

      Высота – 24. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой/диагональю, катетом/высотой и вторым катетом, равным 18+14, находим гипотенузу. d^2=32^2+24^2.

  46. Ильяс:

    А там ответ 40

  47. Оля:

    Как доказать 4 пункт в свойствах трапеции??

    • egeMax egeMax:

      Оля,один из способов доказательства:
      Треугольники AOD и COB подобны. Тогда AO:CO=DO:BO или, что тоже самое, AO*BO=CO*DO.
      При этом S(ABO)=(AO*BO*sinAOB):2, а S(DOC)=(CO*DO*sinDOC):2, ну и, конечно, угол AOB = угол DOC.
      Вот и получаем, что площади треугольников AOB и DOC равны.

  48. Настя:

    Помогите, пожалуйста))
    В полукруг вписана трапеция с меньшим основанием 14 см, параллельным диаметру, и высотой 24 см. Найдите радиус полукруга.

    • egeMax egeMax:

      Пусть трапеция ABCD вписана в полукруг. AD, BC – основания, BC – меньшее.
      О – центр полукруга.
      Треугольник BCO – равнобедренный. Пусть ОН перпендик. BC. Тогда Н – середина BC. OH=24, BH=7.
      Из треугольника BOH по теореме Пифагора находим BO, равный радиусу. BO^2=24^2+7^2.
      BO=25.

      • Настя:

        А почему центр окружности лежит на большем основании, это не сказано по условию задачи?

        • egeMax egeMax:

          Из-за того, что трапеция вписана в полукруг. То есть большее основание – диаметр. Так я понимаю…

  49. Катя:

    Помогите пожалуйста)Основание BC трапеции ABCD меньше основания АD.В трапецию вписана окружность, касающаяся стороны АВ так в точке К так, что АК =3кореньиз3, KB=кореньиз3.Угол, образованный прямыми АВ и CD и содержащий центр окружности, равен 30 градусам. Найдите длину стороны СD/

    • egeMax egeMax:

      Если использовать свойство отрезков касательных, несложно прийти к тому, что высота трапеции равна 6.
      Вы пришли к этому?
      Далее перенесите, например, боковую сторону AB параллельно самой себе в точку C. В полученном треугольнике CPD (CP\parallel AB) угол C равен 30^{\circ}.
      Площадь этого треугольника можно посчитать как полупроизведение сторон на синус угла между ними, а также как полупроизведение стороны на высоту, к ней проведенную. При этом введите x и y (попарно равные отрезки касательных при точках C,D). Выйдете на первое уравнение системы 2\sqrt3(x+y)=6(y+2\sqrt3-x).
      Также обратитесь к прямоугольному треугольнику при боковой стороне, что выражается как x+y. Катеты этого треугольника – 6 и y-x. Здесь найдем второе уравнение системы: xy=9.
      Ну и далее решаем систему…

  50. Кристина:

    Помогите пожалуйста!
    Найдите среднюю линюю трапеции, диагонали которой перпендикулярны и равны 6 см и 8 см.

  51. Стася:

    Помогите пожалуйста.
    Основания трапеции корень2 + 1 и корень5 . Отношение площадей меньшего из тоеугольников, образованных диагоналями и основаниями трапеции, и большего равно?

    • egeMax egeMax:

      Отношение площадей подобных треугольников с коэффициентом подобия k есть k^2.
      А так как коэффициент подобия указанных в условии треугольников – \frac{\sqrt5}{\sqrt2+1}, то отношение площадей – (\frac{\sqrt5}{\sqrt2+1})^2=(\sqrt5(\sqrt2-1))^2=5(3-2\sqrt2)=15-10\sqrt2.

  52. Danil:

    известны основания 5см 15см и диагонали трапеции 12см и 16см найти площадь. подскажите пожалуйста

    • egeMax egeMax:

      Перенесите одну из диагоналей параллельно самой себе в соседнюю вершину верхнего основания. Увидите треугольник со сторонами 12, 16 и 20. Его площадь и есть площадь трапеции, А площадь треугольника находите по формуле Герона, например.
      Ответ: 96.

  53. Катя:

    Помогите решить, пожалуйста:
    Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BC пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

    а) Докажите, что MK=NL
    б) Найдите MN, если известно, что BC=10, AD=18, MK:KL=1:2

    Заранее спасибо

    • egeMax egeMax:

      a) Пусть коэффициент подобия треугольников ABC и AMK есть k.
      Заметим, k=\frac{H}{h}, где H – высота трапеции/треугольника ABC, h – высота треугольника AMK к стороне MK.
      Но и у подобных треугольников DBC,DLN отношение соответствующих высот таково же
      (\frac{H}{h}). А значит, коэффициенты подобия указанных пар треугольников равны. А это и означает, что MK=LN=\frac{BC}{k}.
      б) Во-первых, k=\frac{10}{x}, x=MK.
      Во-вторых, из подобия треугольников MBL,ABD имеем: \frac{kh-h}{kh}=\frac{3x}{18}.
      То есть 1-\frac{1}{k}=\frac{x}{6} или 1-\frac{x}{10}=\frac{x}{6}. Откуда x=\frac{15}{4}.
      Наконец, MN=4x=15.

  54. Ильяс:

    А вот в задаче на доказательство там же высота треугольника АМК и высота треугольника DLN не равны
    как мы можем сказать что они равны

  55. Ильяс:

    ну вот задача Кати про трапецию, как вы узнали что высоты треугольников
    АМК и DLN равны

    • egeMax egeMax:

      Ну так эти высоты – как шпалы между рельсами (параллельными прямыми AD и MN)…

  56. Lolik:

    Высота равнобедренного треугольника,проведённая к основанию,равна 64 см,а диаметр вписанной окружности равен 48 см. Найдите радиус окружности,описанной

    около треугольника

    • egeMax egeMax:

      Пусть центр – O, основание – AC, H – середина AC.
      Пусть K и N –  точки касания окр. с бок. сторонами.
      Пусть M – общая точка окр. и высоты BH, отличная от точки H.
      Очевидно, r=24,MB=16, OB=40
      Имеем в треуг. KBO: BK=\sqrt{40^2-24^2}=32.
      Вводим x=AK=AH=HC=CN.
      К треугольнику ABH – опять т. Пиф.
      (x+32)^2=64^2+x^2. Находите x. В итоге все стороны известны становятся. Применяйте формулу R=\frac{abc}{4S} для нахождения радиуса опис. окр.

  57. Lolik:

    Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 48 см, делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 3:5, считая от основания. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

    • egeMax egeMax:

      Задача крайне похожа на предыдущую.
      Радиус – 3x, высота – 8x.
      Если AC — основание, H – его сер., M,N – точки кас. окр. с бок. сторонами, то AH=HC=AM=CN=24.
      Из треуг. OMB: BM=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x.
      Теорему Пиф. применяем теперь к треуг. ABH. Находите x. Ну а после и R по формуле R=\frac{abc}{4S}.

  58. Lolik:

    Точка касания окружности вписанной в ромб делит его сторону на 9 см и 16 см. Найдите высоту ромба
    Помогите, пожалуйста :)

    • egeMax egeMax:

      Сторона ромба – 25. Рассмотрите прямоугольный треугольник с гипотенузой – стороной ромба, катетом, равным высоте. Второй катет такого треугольника – 7 (подумайте почему). Тогда по т. Пифагора h=24.

  59. Sh:

    в окружность вписан четырехугольник ABCD лучи AB и CD пересекаются в точке O найти отрезок а)отрезокOC если AO=10дм BO=6дм DO=15дм?
    б)отрезокOB, если CD=10дм OD=8дм AB=4дм?

  60. K:

    В окружности с радиусом 13дм взята точка Р находящаяся от центра окружности на расстояние 5дм . Через точку Р проведена хорда АВ длиной 25дм . Найдите отрезки АР и РВ

    • egeMax egeMax:

      Пусть центр – О, пусть прямая ОP пересекается с окружностью в точках M и N.
      Примените свойство пересекающихся хорд: MP*PN=AP*PB.
      8*18=x(25-x), откуда AP и PB – 16 и 9.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

Яндекс.Метрика