Трапеция. Свойства трапеции

2023-08-06
Определение


Трапеция
– четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

виды трапеций

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

равнобедренная трапеция

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

прямоугольная трапеция

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

средняя линия

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

3. Треугольники $AOD$ и $COB$, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – $k=\frac{AD}{BC}.$

Отношение площадей этих треугольников есть $k^2$.

57

4. Треугольники $ABO$ и $DCO$, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

qk

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

е

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

трапеция с углами при основании в сумме 90

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Вписанная  окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом $r$  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — $a$ и $b$,  то $r=\sqrt{ab}.$

4

Площадь

$\color{red}S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ или $\color{red}S=lh,$ где  $l$ – средняя линия

площадь трапеции

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Печать страницы
комментарий 431
  1. Чумаченко

    Площадь равнобедренной трапеции = 288 см, а разность основ равнобедренной трапеции и её высота равны по 12 см. Найти диагональ трапеции.
    Не мог разобраться

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Меньшее основание обозначаем за х. Тогда большое основание – 12+х. Составляем уравнение: ((12+х+х):2)*12=288

      [ Ответить ]
  2. ррннео

    енгшегншенгшегшенгшегш

    [ Ответить ]
  3. Катерина

    Доброго времени суток. Помогите пожалуйста с решением задачки.

    В трапецию, основания которой равны 11 и 22, вписана окружность радиуса 6. Найдите длину меньшей из боковых сторон этой трапеции.

    Ответ: 13

    [ Ответить ]
  4. Медер

    Дана трапеция ABCD, с угла B в сторону AD проведена линия которая пересекается в точке E и она параллель на стороне CD. Периметр треугольника ABE=18дм, найти P трапеции

    [ Ответить ]

Добавить комментарий для Ильяс Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




1 × 3 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif