Тригонометрический круг II

 Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Соответственно, так как длина окружности равна $2\pi R$, то очевидно, что в окружности укладывается $2\pi$ радиан, то есть $360^{\circ}=2\pi$ радиан.

1 рад ≈ 57,295779513° ″.

Находим на круге $0^{\circ}$. Проецируем точку на ось синусов (то есть проводим перпендикуляр из точки $0^{\circ}$ к оси синусов (оу)).

Приходим в $0$. Значит, $\sin 0^{\circ}=0$.

Находим на круге $270^{\circ}$ (проходим против часовой стрелки $180^{\circ}$  и еще $90^{\circ}$ ). Проецируем точку на ось синусов (а она уже лежит на оси синусов).

Попадаем в $-1$ по оси синусов.

Значит, $\sin 270^{\circ}=-1.$

например, за точкой $270^{\circ}$ «скрываются» такие точки, как $-90^{\circ}$  (мы могли бы пойти в точку, помеченную как  $270^{\circ}$,  по часовой стрелке, а значит появляется знак минус), $270^{\circ}+360^{\circ}$ и бесконечно много других.

Можно привести такую аналогию:

Представим тригонометрический круг как беговую дорожку стадиона.

Вы ведь можете оказаться в точке «Флажок», отправляюсь со старта против часовой стрелки, пробежав, допустим, 300 м.   Или пробежав, скажем, 100м  по часовой стрелке (считаем длину дорожки 400 м).

А также вы можете оказаться в точке «Флажок» (после «старт»), пробежав, скажем, 700 м, 1100 м, 1500 м и т. д. против часовой стрелки. Вы можете оказаться в точке «Флажок», пробежав 500 м или 900 м и т. д.  по часовой стрелке от «старт».

Разверните мысленно беговую дорожку стадиона в числовую прямую. Представьте, где на этой прямой будут, например,  значения 300, 700, 1100, 1500 и т.д. Мы  увидим точки на числовой прямой, равноотстоящие друг от друга. Свернем обратно в круг. Точки «cлепятся» в одну.

Так и с тригонометрическим кругом. За каждой точкой скрыто бесконечно много других.

Скажем,  углы $30^{\circ}$, $390^{\circ}$, $750^{\circ}$, $-330^{\circ}$ и т.д. изображаются одной точкой. И  значения синуса, косинуса в них, конечно же, совпадают. (Вы заметили, что мы прибавляли/вычитали $360^{\circ}$ или $2\pi$? Это период для функции синус и косинус.)

Переведем для простоты $-\frac{7\pi}{6}$ в градусы

(позже, когда вы привыкнете к тригонометрическому кругу, вам не потребуется переводить радианы в градусы):

$-\frac{7\pi}{6}=-210^{\circ}$

Двигаться будем по часовой стрелки от точки $0^{\circ}.$  Пройдем полкруга ($180^{\circ}$) и еще $30^{\circ}.$

Понимаем, что значение синуса $-210^{\circ}$ совпадает со значением  синуса  $30^{\circ}$   и равняется $\frac{1}{2}.$

$\sin (-\frac{7\pi}{6})=\frac{1}{2}$.

Заметим, если б мы взяли, например, $150^{\circ}$ или $510^{\circ}$ и т.д., то мы получили бы все тоже значение синуса.

Все же, не будем переводить радианы в градусы, как в предыдущем примере.

$\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}$.

То есть нам надо пройти против часовой стрелки полкруга и еще четверть полкруга и спроецировать полученную точку на ось косинусов (горизонтальная ось).

$\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$

Как отложить на тригонометрическом круге $-\frac{25\pi}{6}$?

$-\frac{25\pi}{6}=-(\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6})=-(4\pi+\frac{\pi}{6}).$

Если мы пройдем $4\pi$ или $-4\pi$, да хоть $2014\pi$, мы все равно окажемся   в точке, которую мы обозначили как  «старт».   Поэтому, можно сразу пройти в точку на круге $-\frac{\pi}{6}.$

$\cos (-\frac{25\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}.$

$-1500^{\circ}=-(60^{\circ}+4\cdot 360^{\circ}).$

Мы окажемся в точке $-60^{\circ}$ ($4\cdot 360^{\circ}$ приведет нас все равно в точку ноль). Проецируем  точку круга  $-60^{\circ}$ на ось косинусов (смотри тригонометрический круг), попадаем в $\frac{1}{2}$. То есть

 $\cos (-1500^{\circ})=0,5$.