Введение вспомогательного аргумента

При решении уравнений вида

$\color{red}asinx+bcosx=c$, $a^2+b^2\neq 0$

(относительно переменной $x$) применяют прием, называемый введением вспомогательного аргумента.

Начнем знакомство с этим приемом с примера.

Пример 1. 

Пусть нам нужно решить вот такое уравнение:

$\sqrt3 cosx-sinx=-1;$

Мы разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt3}{2}cosx-\frac{1}{2}\cdot sinx=-\frac{1}{2};$

Что мы замечаем? Коэффициент перед косинусом можно представить, например, как $cos\frac{\pi}{6}$, а коэффициент перед синусом, соответственно, как $sin\frac{\pi}{6}.$

Перепишем с учетом этого наше уравнение:

$cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx-sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx=-\frac{1}{2};$

Теперь мы можем применить формулу «косинус суммы»

$\color{red}cos(\alpha +\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$:

$cos(\frac{\pi}{6}+x)=-\frac{1}{2};$

Откуда

$\frac{\pi}{6}+x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;$

$x=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;$

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n \in Z;$ или  $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;$

Ответ: $\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;$

Но здесь нам «повезло». Пришлось работать с табличными значениями… А как быть в общем случае?

В общем случае, имея уравнение $asinx+bcosx=c$, следует сначала обе части разделить на $\sqrt{a^2+b^2}$.

Мы получим

 $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt {a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};$

Заметьте, при этом у нас коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:

1) $|\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1$, $|\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1$;

 2)  $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1;$

То есть мы можем обозначить, например, $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$   за   $cos\varphi $,  а   $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$  за  $sin\varphi $, где $\varphi$ – и есть вспомогательный угол.

Тогда уравнение приобретет следующий вид:

$sin(x+\varphi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};$

Откуда

$x=-\varphi +(-1)^narcsin(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}})+\pi n,\;n\in Z,$

где $\varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$  или $\varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$.

Заметим при этом, что если $\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}>1$, то решений нет.

Пример 2.

Решим уравнение: $3cosx+5sinx=4.$

Делим обе части уравнния на $\sqrt{3^2+5^2}$, то есть на $\sqrt{34}:$

$\frac{3}{\sqrt{34}}cosx+\frac{5}{\sqrt{34}}sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};$

Пусть, например,  $\frac{3}{\sqrt{34}}=sin\varphi $,  тогда $\frac{5}{\sqrt{34}}=cos\varphi $.

Имеем:

$sin\varphi cosx+cos\varphi sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};$

$sin(\varphi +x)=\frac{4}{\sqrt{34}};$

$x=(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-\varphi +\pi n,\; n\in Z,$

где $\varphi =arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}).$

Ответ: $(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}) +\pi n,\; n\in Z.$