Задание №14 Т/Р №176 А. Ларина

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19  Тренировочной работы №176 А. Ларина 

14. В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ сторона основания равна $20$, а высота пирамиды равна $11,25$. Через ребро $AB$ под углом $\beta $ к плоскости $ABC$ проведена плоскость α. Известно, что $tg\beta =\frac{3}{4}.$
а) Докажите, что плоскость α делит ребро $PC$ в отношении $1:4$, считая от точки $P$.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Решение:

а) Так как прямая $AB$ параллельна плоскости $(PCD),$ то плоскость α, проходящая через $AB,$ пересечет $(PCD)$ по некоторой прямой $l$, параллельной $AB$ (а значит и $CD$) по свойству прямой, параллельной плоскости. Пусть эта прямая $l$ пересекает ребра $PC,PD$ (а возможно, и прямые $PC,PD$) в точках $M$ и $N$ соответственно.

Трапеция с основаниями $AB, MN$ – равнобедренная.

Пусть $N$ проецируется в точку $T$ ($T\in BD.$)  Проведем $TQ$ перпендикулярно $AB,$ тогда по теореме о трех перпендикулярах и $NQ$ перпендикулярна $AB.$ То есть $\angle NQT=\beta.$

Пусть, с учетом $tg\beta =\frac{3}{4},$  $NT=3x,QT=4x.$

Пусть $TD=y.$

В силу подобия треугольников $PDO,NDT$ ($O$ – центр основания)

$y:OD=3x:PO$

или

$y:(10\sqrt2)=3x:11,25;$

 $y=\frac{8\sqrt2x}{3}.$

В силу подобия треугольников $BTQ,BDA$

$BT:BD=4x:AD$

или

$(20\sqrt2-y):(20\sqrt2)=4x:20.$

С учетом того, что $y=\frac{8\sqrt2x}{3},$ получаем:

$(20\sqrt2-\frac{8\sqrt2x}{3}):\sqrt2=4x;$

$x=3.$

Откуда  $y=8\sqrt2.$

(Кстати, учитывая, что $OD=10\sqrt2,$ а $y=8\sqrt2$, понимаем, что $T$ принадлежит отрезку! $OD$,  откуда следует, что $M,N$ – точки ребер $PC,PD$, а не просто прямых $PC,PD$).

Как мы уже замечали, $ND:PD=TD:OD$ или $ND:PD=8\sqrt2:10\sqrt2,$ то есть $ND:PD=4:5,$ что говорит о том, что $N$ делит $PD$ в отношении $1:4,$ считая от вершины $P.$ Но тогда и $M$ делит $PC$ в отношении $1:4,$ считая от $M$ (по теореме о пропорциональных отрезках).

Итак, плоскость α делит ребро $PC$ в отношении $1:4$, считая от точки $P$.

б) $S_{ABMN}=\frac{MN+AB}{2}\cdot NQ=\frac{\frac{AB}{5}+AB}{2}\cdot \sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=\frac{\frac{20}{5}+20}{2}\cdot 15=180.$

Ответ: б) $180.$