Задание №14 Т/Р №220 А. Ларина

[

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O_1$ – центр квадрата $ABCD$, точка $O_2$ – центр квадрата $CC_1D_1D$.
а) Докажите, что прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми $A_1O_1$ и $B_1O_2$, если ребро куба равно $2$.

Решение:

a) Прямая $A_1O_1$ лежит в плоскости $A_1C_1C,$ прямая $B_1O_2$ лежит в плоскости $B_1C_1D.$ Плоскости $A_1C_1C,$  $B_1C_1D$ пересекаются по прямой $AC_1.$

Пусть $A_1O_1$ пересекается с $AC_1$ в точке $M.$

Итак, прямая $B_1O_2$ лежит в плоскости $B_1C_1D,$ а прямая $A_1O_1$ имеет с плоскостью $B_1C_1D$ единственную общую точку $M,$ причем $M$ не принадлежит прямой $B_1O_2.$ Таким образом, прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ – скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).

б) Пусть $L$ – точка пересечения $B_1O_2,AC_1.$

Из подобия треугольников $AMO_1,C_1MA_1$ с коэффициентом $1/2,$ следует:

$AM:MC_1=1:2$

Из подобия треугольников $C_1LO_2,ALB_1$ с коэффициентом $1/2,$ следует:

$C_1L:LA=1:2.$

Таким образом, $ML=LC_1.$ И поскольку $N,$ точка пересечения $A_1C_1,B_1D_1$ также делит $A_1C_1$ пополам, то $LN$ – средняя линия треугольника $A_1C_1M,$ то есть $LN\parallel AO_1.$

Плоскость $B_1D_1O_2,$ содержащая $LN,$ параллельна прямой $AO_1.$

Стало быть, расстояние $\rho$ между прямыми $A_1O_1$ и $B_1O_2$ – есть расстояние от любой точки прямой $A_1O_1,$ например, от $A_1,$ до плоскости $B_1D_1O_2.$

Будем искать $\rho$ от $A_1$ до $B_1D_1O_2$  как высоту пирамиды $A_1B_1D_1O_2$ с основанием $B_1D_1O_2.$

С одной стороны, $V_{A_1B_1D_1O_2}=\frac{S_{B_1D_1O_2}\cdot \rho}{3},$ с другой стороны, $V_{A_1B_1D_1O_2}=\frac{S_{A_1B_1D_1}\cdot \frac{CC_1}{2}}{3}.$

Тогда

$\rho=\frac{S_{A_1B_1D_1}\cdot \frac{CC_1}{2}}{S_{B_1D_1O_2}}.$

При этом треугольник $B_1D_1O_2$ – прямоугольный. Действительно, проекция $C_1O_2$ наклонной $B_1O_2$ на плоскость $CC_1D_1$ перпендикулярна $D_1O_2,$ стало быть, по теореме о трех перпендикулярах, $B_1O_2$ перпендикулярна $D_1O_2.$

$S_{B_1D_1O_2}=\frac{B_1O_2\cdot D_1O_2}{2}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt2}{2}=\sqrt3.$

$S_{A_1B_1D_1}=2.$

Итак,

$\rho=\frac{2\cdot 1}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$

Ответ: б) $\frac{2\sqrt3}{3}.$