Задание №13 (по старому №15) Т/Р №114 А. Ларина

Смотрите также №16, №17, №18, №19, №20.
Дано уравнение

$cos4x-6cos2xcosx-4sin^2x+5=0$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $[\pi;\frac{5\pi}{2}].$

Решение:

a)

$cos4x-6cos2xcosx-4(1-cos^2x)+5=0;$

$2cos^22x-1-6cos2xcosx+4cos^2x+1=0;$

$2(2cos^2x-1)^2-6(2cos^2x-1)cosx+4cos^2x=0;$

$8cos^4x-8cos^2x+2-12cos^3x+6cosx+4cos^2x=0;$

$8cos^4x-12cos^3x-4cos^2x+6cosx+2=0;$

$4cos^4x-6cos^3x-2cos^2x+3cosx+1=0;$

$(cosx-1)(cosx+\frac{1}{2})(4cos^2x-4cosx-2)=0;$

$(cosx-1)(cosx+\frac{1}{2})(cosx-\frac{1+\sqrt3}{2})(cosx-\frac{1-\sqrt3}{2})=0;$

$\left[\begin{array}{rcl}cosx=1,\\cosx=-\frac{1}{2},\\cosx=\frac{1-\sqrt3}{2};\end{array}\right.$

$x=2\pi n, n\in Z$ или $x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$ или $x=\pm arccos(\frac{1-\sqrt3}{2})+2\pi t, t\in Z.$

б) Произведем отбор корней исходного уравнения из  $[\pi;\frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрического круга.

Ответ: 

а) $2\pi n$,  $\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,$  $\pm arccos(\frac{1-\sqrt3}{2})+2\pi t, n,k,t\in Z.$

б) $\frac{4\pi}{3};2\pi-arccos(\frac{1-\sqrt3}{2});2\pi .$