Задание №15 Т/Р №165 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

15. Решите неравенство $\large\frac{2^{x+1}\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-15}\leq \frac{\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-8}.$

Решение:

$\large\frac{2^{x+1}\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-15}\leq \frac{\sqrt{2^{x+1}-1}}{2^x-8};$

$\large\sqrt{2^{x+1}-1}(\frac{2^{x+1}}{2^x-15}- \frac{1}{2^x-8})\leq 0;$

$\large\sqrt{2^{x+1}-1}\cdot \frac{2\cdot 2^{x}(2^x-8)-(2^x-15)}{(2^x-15)(2^x-8)}\leq 0;$

$\large\sqrt{2^{x+1}-1}\cdot \frac{2\cdot 2^{2x}-17\cdot 2^x+15}{(2^x-15)(2^x-8)}\leq 0;$

$\large\sqrt{2^{x+1}-1}\cdot \frac{2(2^x-1)(2^x-\frac{15}{2})}{(2^x-15)(2^x-8)}\leq 0;$

$\large(\sqrt{2^{x+1}-1}-\sqrt 0)(\frac{(2^x-2^0)(2^x-2^{log_2\frac{15}{2}})}{(2^x-2^{log_215})(2^x-2^3)}\leq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$\large(2^{x+1}-2^0)\cdot \frac{(x-0)(x-log_2\frac{15}{2})}{(x-log_215)(x-3)}\leq 0$ при условии $2^{x+1}-1\geq 0;$

$\large\frac{x(x+1)(x-log_2\frac{15}{2})}{(x-log_215)(x-3)}\leq 0$ при условии $x\geq -1;$

$\{-1\}\cup[0;log_215-1]\cup (3;log_215).$

Ответ: $\{-1\}\cup [0;log_215-1]\cup (3;log_215).$