Задание №15 Т/Р №170 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

15. Решите неравенство $|3^{x+1}-9^x|+|9^x-5\cdot 3^x+6|\leq 6-2\cdot 3^x.$

Решение:

Воспользуясь свойствами модулей

$|a+b|\leq |a|+|b|,$  $a\leq |a|,$

получим:

$|6-2\cdot 3^x|\leq |3^{x+1}-9^x|+|9^x-5\cdot 3^x+6|\leq |6-2\cdot 3^x|,$

откуда

$|3^{x+1}-9^x|+|9^x-5\cdot 3^x+6|=|6-2\cdot 3^x|.$

Замечая, что $(3^{x+1}-9^x)+(9^x-5\cdot 3^x+6)=6-2\cdot 3^x$, получаем:

$3^{x+1}-9^x\geq 0$   и   $9^x-5\cdot 3^x+6\geq 0$  (1)

или

$3^{x+1}-9^x\leq 0$   и   $9^x-5\cdot 3^x+6\leq 0$  (2)

Рассмотрим (1):

 $3^x(3-3^x)\geq 0$   и   $(3^x-2)(3^x-3)\geq 0;$

$x\leq 1$   и   $(x-log_32)(x-1)\geq 0;$

Рассмотрим (2):

$3^x(3-3^x)\leq 0$   и   $(3^x-2)(3^x-3)\leq 0;$

$x\geq 1$   и   $(x-log_32)(x-1)\leq 0;$

Стало быть,

$x\in (-\infty;log_32)\cup ${$1$}.

Ответ:  $(-\infty;log_32)\cup \{1\}.$