Задание №15 Т/Р №207 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$\large \frac{1}{log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}9}< \frac{log_3\sqrt{2x-1}}{log_3(x-1)}.$

Решение:

$\large \frac{1}{log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}9}< \frac{log_3\sqrt{2x-1}}{log_3(x-1)};$

$\large \frac{1}{2log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}3}< \frac{\frac{1}{2}\cdot log_3(2x-1)}{log_3(x-1)};$

$\large \frac{1}{log_{x-1}(2x-1)}<\normalsize log_{x-1}(2x-1);$

$\large \frac{log^2_{x-1}(2x-1)-1}{log_{x-1}(2x-1)}>0;$

$\large \frac{(log_{x-1}(2x-1)-1)(log_{x-1}(2x-1)+1)}{log_{x-1}(2x-1)}>0.$

Готовимся применить метод замены множителей:

$\large \frac{(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}(x-1))(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}\frac{1}{x-1})}{log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}1}>0;$

$\begin{cases}\large\frac{(x-1-1)(2x-1-(x-1))((x-1-1)(2x-1-\frac{1}{x-1})}{(x-1-1)(2x-1-1)}>\normalsize 0,\\x-1>0,\\x-1\neq 1,\\2x-1>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}\large\frac{x(x-2)^2((2x-1)(x-1)-1)}{2(x-2)(x-1)^2}\normalsize >0,\\x>1,\\x\neq 2;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{x(x-2)(2x^2-3x)}{2(x-2)^2}>0,\\x>1,\\x\neq 2;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{x^2(x-2)(2x-3)}{(x-1)^2}>0,\\x>1,\\x\neq 2;&\end{cases}$