Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ высота $PO$ равна $\sqrt7$, а сторона основания равна 6. Из точки $O$ на ребро $PC$ опущен перпендикуляр $OH$. Докажите, что прямая $PC$ перпендикулярна плоскости $BDH$. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани $PBC$ и $PCD$.
Решение:
Во-первых, $PC\perp OH$ по условию (при этом, конечно, $OH$ лежит в плоскости $BDH$).
Во-вторых, $PC\perp BD$ по теореме о трех перпендикулярах (действительно, проекция $AC$ наклонной $PC$ к плоскости $ABC$ перпендикулярна прямой $BD$ плоскости $ABC$ (ведь $ABCD$ – квадрат), а значит и наклонная $PC$ перпендикулярна $BD$).
Итак, $PC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $BDH,$ а значит $PC$ перпендикулярна $BDH$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Вспомним, что
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Прямая $PC$, перпендикулярная плоскости $BDH$, перпендикулярна любой прямой плоскости $BDH$, в частности, $PC\perp BH,$ $PC\perp HD.$ А значит, угол между прямыми $BH$ и $HD$ – искомый угол.
По т. Пифагора из треугольника $ACD:$
$AC=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2;$
Тогда $OC=3\sqrt2.$
По т. Пифагора из треугольника $PCO:$
$PC=\sqrt{(\sqrt7)^2+(3\sqrt2)^2}=5;$
Пусть $T$ – середина $DC$.
Площадь треугольника $DPC$ находим двумя разными способами:
$S_{DPC}=\frac{PT\cdot DC}{2};$
$S_{DPC}=\frac{DH\cdot PC}{2}.$
Откуда $DH=\frac{PT\cdot DC}{PC}=\frac{4\cdot 6}{5}=\frac{24}{5}.$
Обратимся к треугольнику $BHD$:
$BH=DH=\frac{24}{5}, BD=6\sqrt2.$
По теореме Косинусов
$BD^2=BH^2+DH^2-2BH\cdot DH\cdot cosBHD;$
$72=\frac{2\cdot 24^2}{25}-\frac{2\cdot 24^2}{25}cosBHD;$
$cosBHD=\frac{\frac{2\cdot 24^2}{25}-72}{\frac{2\cdot 24^2}{25}};$
$cosBHD=\frac{2\cdot 24^2-72\cdot 25}{2\cdot 24^2};$
$cosBHD=\frac{24(48-75)}{2\cdot 24^2};$
$cosBHD=-\frac{9}{16};$
Видим, что угол $BHD$ – тупой.
Угол между прямыми $BH$ и $HD$ (а значит, и между плоскостями $PBC$ и $PCD$) – есть $\pi-arccos(-\frac{9}{16})=arccos\frac{9}{16}.$
Ответ: $arccos\frac{9}{16}.$
Подскажите, пожалуйста, можно ли угол между плоскостями выражать через арктангенс? А то везде выражают через арккосинус, меня это смущает немного)
Конечно, можно.