Задание №16 Т/Р №119 А. Ларина

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Дана правильная четырехугольной пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$. Через точку $C$ и середину ребра $AB$ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость $\alpha$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BP$ в отношении $2:1$, считая от точки $B$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$, если известно, что $PA=10$, $AC=16$.

Решение:

a) Пусть $N$ – середина  $AB$. Пусть $CN$ пересекается с $BD$ в точке $K.$

Так как высота пирамиды $PH$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ и $\alpha \perp (ABCD)$, то  $\alpha \parallel PH$.

А значит, $\alpha$ пересечет плоскость $BPD$, в которой лежит  $PH$, по прямой (назовем ее  $MK$ ($M\in  BP$)), параллельной $PH$.

Сечение $NCM$ – искомое ( во-первых, плоскость сечения содержит прямую $MK$, перпендикулярную плоскости основания, а значит плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания (по признаку перпендикулярности плоскостей); во-вторых, плоскость сечения содержит точки $C$ и $N$).

Земетим, треугольники $CDK, NBK$ подобны, $k=\frac{CD}{BN}=2.$ Но тогда и $DK:BK=2.$

А поскольку $DK=BK+2KH$, то $\frac{BK+2KH}{BK}=2,$ откуда $\frac{KH}{BK}=\frac{1}{2}.$

При этом  (по теореме о пропорциональных отрезках) $\frac{BM}{MP}=\frac{BK}{KH}=2:1.$

Что и требовалось доказать.

б)

$S_{NCM}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NC=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}PH\cdot NC=$

$=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot \sqrt{(8\sqrt2)^2+(4\sqrt2)^2}=8\sqrt{10}.$

Ответ: $8\sqrt{10}.$