Задание №16 Т/Р №168 А. Ларина

 Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

16. Окружность ω с центром в точке $O$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке $E$ касается стороны $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что $BK=CM$.
б) Найдите площадь четырехугольника $OKEM$, если известно, что $AC=5,BC=6,AB=4.$

Решение:

a) Пусть $N,F$ – точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами $AB,AC$ соответственно. Пусть $T,P$ – точки касания вневписанной  окружности с продолжениями сторон $AB,AC$ соответственно.

При доказательстве будем использовать свойство отрезков касательных:

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны

$BK=BN=AT-(BT+AN)=AP-(BM+AF)=$

$=(AF+FC+CP)-(BM+AF)=FC+CP-BM=KC+MC-BM=$

$=KM+MC+MC-BK-KM=2MC-BK.$

Откуда

$2BK=2MC$ или $BK=MC.$

Что и требовалось доказать.

б) По теореме косинусов для треугольника $ABC:$

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB;$

$25=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot cosB;$

$cosB=\frac{9}{16}.$

Тогда

$sin B=\sqrt{1-\frac{81}{256}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}.$

$sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{9}{16}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{32}}=\frac{\sqrt{14}}{8}.$

$cos\frac{B}{2}=\sqrt{1-\frac{14}{64}}=\frac{5\sqrt2}{8}.$

$tg\frac{B}{2}=\frac{\frac{\sqrt{14}}{8}}{\frac{5\sqrt2}{8}}=\frac{\sqrt7}{5}.$

Найдем радиус $r$ вписанной окружности в треугольник $ABC:$

$\large r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{\frac{AB\cdot BC\cdot sin B}{2}}{\frac{AB+BC+AC}{2}}=\frac{\sqrt7}{2}.$

Из треугольника $BEK:$

$tg\frac{B}{2}=\frac{EK}{BK};$

$BK=\frac{r}{tg\frac{B}{2}}=\frac{\frac{\sqrt7}{2}}{\frac{\sqrt7}{5}}=\frac{5}{2}.$

Тогда, так как  $BK=MC=\frac{5}{2}$ и $BC=6,$ то $BM=\frac{7}{2}.$

Несложно заметить, что $\angle EBK+\angle KBO=90^{\circ}.$

Тогда треугольники $BEK,OBM$ подобны по двум углам и $EK:BM=BK:OM.$

Тогда

$OM=\frac{BM\cdot BK}{EK}=\frac{\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}}{\frac{\sqrt7}{2}}=\frac{5\sqrt7}{2}.$

Наконец, $KEMO$ – трапеция (очевидно, $KE\parallel OM$), $KM$ – высота трапеции.

$S_{KEMO}=\frac{KE+OM}{2}\cdot KM=\frac{\frac{\sqrt7}{2}+\frac{5\sqrt7}{2}}{2}\cdot 1=\frac{3\sqrt7}{2}.$

Ответ: б) $\frac{3\sqrt7}{2}.$