Задание №16 Т/Р №171 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина

16. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $P$, причем $AE:EP:PC=1:2:1$. Прямые $DE$ и $DP$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$

соответственно.
a) Докажите, что $KM\parallel AC.$
б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если известно, что площадь пятиугольника $BKEPM$  равна $30$.

Решение:

а)

Треугольники $AKE,CED$ имеют коэффициент подобия $\frac{AE}{EC}=\frac{1}{3}.$

Тогда $AK:CD=1:3$ или $AK:AB=1:3$.

Аналогично доказывается, что и $MC:BC=1:3$.

Итак, $BK:BA=BM:BC=2:3$ и у треугольников $KBM,ABC$ угол $B$ – общий. Значит, указанные треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Откуда следует равенство углов, например, $BKM,BAC.$ В свою очередь, поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых $KM,AC$ и секущей $AB,$ то прямые $KM$, $AC$ параллельны по признаку параллельности прямых.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $T,X$ – середины $AB,BC$ соответственно.

Заметим, $S_{AKE}:S_{KTE}=AK:KT=AK:(AT-AK)=\frac{AB}{3}:\frac{AB}{6}=2.$

Пусть $S_{KTE}=x$, тогда $S_{AKE}=2x$.

Поскольку $TE$ – средняя линия треугольника $ABO,$ то $S_{ATE}:S_{ABO}=1:4.$

Стало быть, $S_{TBOE}=9x.$

Согласно условию, $30=20x$ или $x=1,5.$

Заметим, треугольники $ABO,CDO$ и $BCO,ADO$ как соответственно равные, имеют и равные площади. Учитывая, что медиана делит треугольник на два равновеликих, наблюдаем и равенство площадей треугольников $ABO,CBO$ (а также и $ADO,CDO$).

Итак, $S_{ABCD}=4\cdot 12x=48x=72.$

Ответ: б) $72.$