Задание №16 Т/Р №204 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

16. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ равна стороне $AD$.

Решение:

a) Так как треугольник $ABD$ равнобедренный ($AD=BD$), то если $H$ – середина $AB,$ то $DH$ – серединный перпендикуляр к стороне $AB.$ Цент окружности $O,$ описанной около треугольника $ABD,$ лежит на прямой $DH.$

В силу параллельности прямых $AB,DC$  раз $DH\perp AB,$ то и $DH\perp DC.$

Итак, точка $D$ лежит на окружности ω и радиус окружности, проведенный к прямой $CD$, перпендикулярен ей. Откуда следует, что прямая $CD$ касается окружности ω, описанной около треугольника $ABD$.

б) Если $O$ – центр ω, то $OD=OB,$ но при этом $\angle ODB=60^{\circ},$ что означает, что треугольник $ODB$ – равносторонний и так как при этом $\angle CBD=120^{\circ},\angle DBK=60^{\circ},$ то прямая $BC$ проходит через центр $O$ окружности ω.

Пусть $R$ – радиус ω.

Треугольник $BKD$ – прямоугольный ($KB$ –  диаметр). $KD=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt 3 .$

Длину $AC$ найдем из треугольника $ABC$ по теореме косинусов, принимая во внимание, что $BC=AD=R,AB=R\sqrt3, \angle ABC=150^{\circ}:$

$AC^2=3R^2+R^2-2\sqrt3R^2\cdot (-\frac{\sqrt3}{2});$

$AC^2=7R^2;$

$AC=R\sqrt7.$

Итак, $KD:AC=(R\sqrt3):(R\sqrt7)=\sqrt3:\sqrt7.$

Ответ: б) $\sqrt3:\sqrt7.$