Задание №16 Тренировочной работы №120+ А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Дмитрий для тренировок купил три одинаковых футбольных мяча радиусом 12 каждый, а еще один маленький мячик ему дали в подарок. Придя домой, Дмитрий выложил все мячи на пол и неожиданно обнаружил, что когда футбольные мячи попарно касаются друг друга, то маленький мячик касается всех трех футбольных. Найдите радиус маленького мячика.

Решение:

Пусть $O_1,O_2,O_3$ – центры больших мячей (касающихся попарно).

Очевидно, коль шары имеют радиус 12,    $O_1O_2=O_1O_3=O_2O_3=24.$

Пусть $O_4$ – центр малого шара, касающегося всех трех больших. Пусть его радиус – $r$.

Очевидно, $O_1O_4=12+r.$

Пусть $A,P$ – проекции $O_1,O_4$ на пол.

$O_1O_4PA$ – прямоугольная трапеция.

Заметим, $O_4P=r,$ $O_1A=12.$  А также заметим, что $AP=8\sqrt3$ (как 2/3 высоты (медианы) правильного треугольника со стороной $24$).

Наконец, опустим высоту из точки $O_4$ трапеции на основание $AO_1.$

К полученному  треугольнику применяем теорему Пифагора:

$(12+r)^2=(12-r)^2+(8\sqrt3)^2;$

$(12+r-12+r)(12+r+12-r)=64\cdot 3;$

$48r=64\cdot 3;$

$r=4.$

Ответ: 4.