Задание №17 Т/Р №115 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство

$log_3(x+1,5)-log_{\sqrt2}(3,5-x)+log_{x+1,5}3\cdot log_2^2(3,5-x)\leq 0.$

Решение:

$log_3(x+1,5)-log_{\sqrt2}(3,5-x)+\frac{log_2^2(3,5-x)}{log_3(x+1,5)}\leq 0;$

$\frac{log_3^2(x+1,5)-log_{\sqrt2}(3,5-x)\cdot log_3(x+1,5)+log_2^2(3,5-x)}{log_3(x+1,5)}\leq 0;$

$\frac{log_3^2(x+1,5)-2log_{2}(3,5-x)\cdot log_3(x+1,5)+log_2^2(3,5-x)}{log_3(x+1,5)}\leq 0;$

$\frac{(log_3(x+1,5)-log_2(3,5-x))^2}{log_3(x+1,5)}\leq 0;$

$\left[\begin{array}{rcl}log_3(x+1,5)-log_2(3,5-x)=0,\\\begin{cases}log_3(x+1,5)<0,\\3,5-x>0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}log_3(x+1,5)=log_2(3,5-x),\\\begin{cases}0<x+1,5<1,\\x<3,5;\end{cases}\end{array}\right.$

Заметим, уравнение первой строки совокупности если и имеет корень, то только один, так как слева – возрастающая функция, справа – убывающая. Несложно заметить, что решение уравнения – это 1,5.

$\left[\begin{array}{rcl}x=1,5,\\\begin{cases}-1,5<x<-0,5,\\x<3,5;\end{cases}\end{array}\right.$

$x\in (-1,5;-0,5)\cup $ {$1,5$}.

Ответ: $(-1,5;-0,5)\cup $ {$1,5$}.