Задание №18 Т/Р №103 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20

В равнобедренной трапеции $ABCD$ точки $M$ и $N$ – середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Отрезки $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $DM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$.

а) Докажите, что площадь четырехугольника $PMKN$ равна сумме площадей треугольников $ABP$ и $DCK$.

б) Найдите площадь четырехугольника $PMKN$, если известно, что $BC=8$, $AD=18$, $AB=CD=13$.

Решение:

a)

$MN$ – ось симметрии трапеции $ABCD.$

Поскольку $S_{ABP}=S_{DCK}$, будем доказывать, например, что

$S_{PMKN}=2S_{ABP}.$

Имеем

$S_{PMKN}=2S_{AMN}-2S_{APN}.$

При этом заметим, что $S_{AMN}=S_{ABN}$ и $S_{ABN}=S_{ABP}+S_{APN}.$

Итак, $S_{PMKN}=2S_{AMN}-2S_{APN}=2(S_{ABP}+S_{APN})-2S_{APN}=2S_{ABP}.$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $BH_1\perp AD$,  $CH_2\perp AD$,  $PQ\perp BC$,  $PT\perp AD$.

Очевидно, $AH_1=DH_2=5.$

Из прямоугольного треугольника $ABH_1$ находим высоту трапеции:

$BH_1=\sqrt{13^2-5^2}=12.$

Заметим, $\Delta PBM\infty \Delta PNA$ и коэффициент подобия – $4:9.$

Тогда $PT=\frac{9}{13}BH_1=\frac{108}{13}$.

Из пункта (а) имеем: $S_{PMKN}=2S_{ABP}.$

При этом

$S_{ABP}=S_{ABN}-S_{APN}=\frac{AN\cdot BH_1}{2}-\frac{AN\cdot PT}{2}=\frac{9(12-\frac{108}{13})}{2}=\frac{432}{2\cdot 13}.$

Наконец, $S_{PMKN}=2S_{ABP}=\frac{432}{13}.$

Ответ: $\frac{432}{13}.$