Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина
18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}cos(cosx)-cosy=(a^2+1)(y-cosx),\\2y^2-(3a-8)cosx+a^2-4a=0;&\end{cases}$
не имеет решений.
Решение:
Пусть $cosx=m.$ Тогда первое уравнение системы примет вид:
$cosm-cosy=(a^2+1)(y-m);$
$cosm-cosy=a^2y-a^2m+y-m;$
$cosm+m+a^2m=cosy+y+a^2y$ (*)
Рассмотрим функцию $f(x)=cosx+x+a^2x.$
Замечаем, что $f'(x)=-sinx+1+a^2\geq 0.$ Поэтому $f(x)$ – возрастающая функция.
Уравнение (*) можно переписать, используя $f(x)$, так:
$f(m)=f(y)$ (**)
В силу монотонности функции $f(x)$ уравнение (**) равносильно уравнению $m=y.$
Итак, из первого уравнения исходной системы мы извлекли:
$y=cosx$ (откуда $|y|\leq 1$).
Стало быть, исходная система не будет иметь решений в случае, если уравнение
$2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0$
не имеет решений, либо $y$ не принадлежит $[-1;1]$.
Так как дискриминант уравнения $2y^2-(3a-8)y+a^2-4a=0$ есть
$(3a-8)^2-8(a^2-4a)=a^2-16a+64=(a-8)^2\geq 0,$
то уравнение при любом $a$ имеет корни и они таковы:
$y=\frac{3a-8\pm|a-8|}{4},$
то есть
$y=\frac{a}{2}$ или $y=a-4.$
Потребуем, чтобы и $\frac{a}{2}$, и $a-4$ не входили в $[-1;1].$
То есть
$\frac{a}{2}<-1$ или $\frac{a}{2}>1$
и
$a-4<-1$ или $a-4>1.$
Получаем
$a\in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$
и
$a\in (-\infty;3)\cup (5;+\infty)$.
Итого, при $a\in (-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty)$ исходная система решений не имеет.
Ответ: $(-\infty;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty)$.
Добавить комментарий