Задание №18 Т/Р №170 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$log_2^2|4-x^2|-2a\cdot log_2|x^2-4|+a+6=0$

 имеет ровно четыре различных корня.

Решение:

Перед нами – квадратное уравнение относительно $ log_2|x^2-4|.$

$log_2^2|x^2-4|-2a\cdot log_2|x^2-4|+a+6=0.$

Если $a\in (2;3),$ то решений  уравнение не имеет.

В противном случае

$\large log_2|x^2-4|=a\pm\sqrt{a^2-a-6};$

$\large |x^2-4|= 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}};$

$\large x^2-4=\pm 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}};$

$\large x^2= 4\pm 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}.$

При $a=-2$

$\large x^2=\frac{5}{4}$ или $\large x^2=\frac{15}{4}$,

то есть  набирается четыре различных корня. Значение $a=-2$ идет в ответ.

При $a=3$ имеем только два корня. Данное значение $a$ нас не интересует.

Рассмотрим случай, когда $a\in (-\infty;-2)\cup (3;+\infty)$ (*)

В этом случае $\large 4+2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}$ – различные положительные значения при каждом фиксированном $a$ (а значит, решая уравнение $\large x^2=4+ 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}$, мы получим четыре различных корня) и нам стоит побеспокоится о том, чтобы уравнение $\large x^2=4- 2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}$ не выдавало бы нам корней, то есть необходимо, чтобы выполнялось

$\large 4-2^{a\pm\sqrt{a^2-a-6}}<0$  (**)

То есть

$\begin{cases}\sqrt{a^2-a-6}>2-a,\\\sqrt{a^2-a-6}<a-2;&\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство системы:

Если $a\geq 2,$ то $a^2-a-6\geq 0.$ Откуда,  $a\in [3;+\infty).$

Если же $a<2,$ то $a^2-a-6>4-4a+a^2.$ Решений нет.

Итак, решение неравенства – $a\in [3;+\infty).$

Рассмотрим второе неравенство системы:

$\begin{cases}a\geq 2,\\a^2-a-6\geq 0,\\a^2-a-6<4-4a+a^2;&\end{cases}$

$\begin{cases}a\geq 2,\\(a+2)(a-3)\geq 0,\\a<\frac{10}{3};&\end{cases}$

$x\in [3;\frac{10}{3}).$

Решение (**) с учетом (*) – $a\in (3;\frac{10}{3}).$

Итак, нас устраивают следующие значения параметра:

$a\in ${$-2$}$\cup (3;\frac{10}{3}).$

Ответ: {$-2$}$\cup (3;\frac{10}{3}).$