Задание №18 Т/Р №184 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19  Тренировочной работы №184 А. Ларина 

18. При каждом значении параметра $a$ решить неравенство

$\large \frac{log_2(4x-3)-2log_2x}{|x-2|-a}\geq 0$.

Решение:

$\large \frac{log_2(4x-3)-2log_2x}{|x-2|-a}\geq 0$;

$\large \frac{log_2(4x-3)-log_2x^2}{|x-2|-a}\geq 0$.

Согласно методу замены множителей переходим к равносильному неравенству:

$\large \frac{4x-3-x^2}{|x-2|-a}\geq 0$ при условии $x>\frac{3}{4};$

$\large \frac{(x-1)(x-3)}{|x-2|-a}\leq 0$ при условии $x>\frac{3}{4}.$

Решим неравенство графически в системе координат $(x;a).$

Строим прямые $x=1,x=3,$ также строим “галку” $a=|x-2|.$

Находимся при этом в правой полуплоскости относительно прямой $x=\frac{3}{4}.$

Указанные линии образуют при пересечении $6$ зон. В каждой зоне у дроби $\frac{(x-1)(x-3)}{|x-2|-a}$ свой знак. Взяв, например, точку $(2;2),$ понимаем, что $\frac{(x-1)(x-3)}{|x-2|-a}>0$, то есть определен знак одной из зон. Определяем знаки каждой из зон (переходим границу – меняем знак). Цветом выделены точки $(x;a)$, отвечающие неравенству.

Итак,

$a\in (-\infty;0)$:  $x\in [1;3];$

$a\in [0;1)$:  $x\in [1;2-a)\cup (a+2;3];$

$a=1$:  решений нет;

$a\in (1;\frac{5}{4})$:  $x\in (2-a;1]\cup [3;a+2);$

$a\in [\frac{5}{4};+\infty)$:  $x\in (\frac{3}{4};1]\cup [3;a+2).$

Ответ: 

$a\in (-\infty;0)$:  $x\in [1;3];$

$a\in [0;1)$:  $x\in [1;2-a)\cup (a+2;3];$

$a=1$:  решений нет;

$a\in (1;\frac{5}{4})$:  $x\in (2-a;1]\cup [3;a+2);$

$a\in [\frac{5}{4};+\infty)$:  $x\in (\frac{3}{4};1]\cup [3;a+2).$