Задание №19 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

Смотрите также №15№16, №17№18, №20, №21.

Разбор задания №19 одного из вариантов

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение:

Пусть в кредит взято x рублей.

1-го числа следующего месяца (февраль) долг составит

\frac{(100+r)}{100}x рублей.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

\frac{x}{14}+\frac{r}{100}x,

после чего сумма долга составит

\frac{(100+r)x}{100}-\frac{x}{14}-\frac{rx}{100},

то есть \frac{13x}{14}.

(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).

1-го марта долг составит

\frac{(100+r)}{100}\cdot \frac{13x}{14}.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14},

после чего сумма долга составит

\frac{12x}{14}.

И так далее…

В итоге сумма выплат составит

(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot x)+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{13x}{14})+...+(\frac{x}{14}+\frac{r}{100}\cdot \frac{x}{14}).

Перепишем полученную сумму так:

x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1).

Посколько известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, то составим уравнение:

x+\frac{rx}{14\cdot 100}(14+13+...+1)=1,15x;

\frac{r\cdot \frac{(14+1)\cdot 14}{2}}{1400}=0,15;

r=\frac{0,15\cdot 1400}{7\cdot 15};

r=2.

Ответ: 2.

Печать страницы
комментария 53
  1. Мария

    Не понимаю : почему го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере x/14 …. . Отууда это ? Посему так? Ведь можно выплатить и 1/3 часть или 1/34 и тд долга

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Мария, в условии сказано:
      15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

      [ Ответить ]
  2. Мария

    И откуда R/100 *x…

    [ Ответить ]
    • egeMax

      r% от x – это \frac{rx}{100}.

      [ Ответить ]
  3. Ильяс

    Елена Юрьевна помогите решить пожалуйста задачу:
    Вклад  планируется  открыть  на  четыре  года. Первоначальный  вклад  составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад 
    увеличивается на 10% по сравнению 
    с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов  вклад  ежегодно  пополняется  на  3  млн  рублей.  Найдите  наибольший  размер 
    первоначального вклада, при котором  через четыре года вклад будет меньше 
    25 млн рублей. У меня получается 16 млн.
    Заранее благодарю!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      x – первоначальный вклад.
      Через год: 1,1x.
      Через два: 1,1^2x.
      Начало третьего: 1,1^2x+3.
      Конец третьего: 1,1^3x+1,1\cdot 3.
      Начало 4-го: 1,1^3x+1,1\cdot 3+3.
      Конец 4-го: 1,1^4x+1,1^2\cdot 3+1,1\cdot 3.
      Потому 1,1^4x+1,1^2\cdot 3+1,1\cdot 3<25;
      x<\frac{25-1,1^2\cdot 3-1,1\cdot 3}{1,1^4};
      x<12,3;
      x=12.

      [ Ответить ]
  4. Анастасия

    Здравствуйте! Можете объяснить, как вы перешли от 4 строчки снизу к 3?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анастасия, применила формулу суммы арифметической прогрессии: S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.

      [ Ответить ]
  5. Алексей

    Здравствуйте, Елена Юрьевна , не могли бы вы поподробней расписать , как это получилось так переписать полученную сумму.
    Заранее спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Отдельно собрали все слагаемые \frac{x}{14}, а их 14 штук. Потому получили x.
      Далее собрали все слагаемые, содержащие \frac{rx}{100}.
      В последней группе вынесли \frac{rx}{100\cdot 14} за скобку. В скобках – сумма арифметической прогрессии.

      [ Ответить ]
  6. Ильяс

    Здравствуйте Елена Юрьевна, помогите пожалуйста решить задачу:
    В июле клиент взял кредит на сумму 9 млн рублей на несколько лет. Условия его возврата следующие: 1)в начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; 2) до 1 июля каждого года клиент должен вернуть банку часть долга таким образом, чтобы по состоянию на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму. Известно, что последняя выплата составит 1,25 млн рублей. Найдите общую сумму выплат, которую клиент заплатит банку.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Пусть кредит дан на n лет. Каждый год год должно быть выплачено \frac{9}{n} млн., а также покрыт процент долга.
      В последний год должно быть выплачено таким образом
      \frac{9}{n}+\frac{9}{n}\cdot \frac{1}{4}.
      Так как последняя выплата составила 1,25 млн. рублей, то
      \frac{9}{n}+\frac{9}{n}\cdot \frac{1}{4}=1,25.
      Откуда n=9.
      Все выплаты – 9+\frac{1}{4}(9+8+...+1).

      [ Ответить ]
  7. Ильяс

    получается ответ 20250000 рублей? просто у меня так получилось

    [ Ответить ]
    • egeMax

      У меня 21,5. Если не ошибаюсь…

      [ Ответить ]
  8. Ильяс

    нет по вашей записи “все выплаты” я посчитал получается 20,25

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, конечно))

      [ Ответить ]
      • Евгения

        Подскажите как получена последняя строка в этой задаче?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Последняя строка?
          Странный вопрос…
          Как бы из предыдущей. Произошло сокращение дроби… Получили, что r=2

          [ Ответить ]
          • Евгения

            я спрашивала про последнюю строку в задаче про кредит в 9 млн
            9+0,25(9+8+7+…+1)

            [ Ответить ]
          • egeMax

            А… вот вы о чем…
            Первая выплата: 1+0,25*9
            Вторая выплата: 1+0,25*8
            Третья выплата: 1+0,25*8

            Девятая выплата: 1+0,25*1
            Суммируя, получаем 9+0,25(9+8+7+…+1)

            [ Ответить ]
          • Евгения

            Большое спасибо!!!

            [ Ответить ]
  9. Мэри

    А число 14 в решении это срок, на который берётся кредит?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, кредит берется на 14 месяцев.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

тринадцать − 2 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif