Задание №19. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №18

19. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу  №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на $10$%, средний балл в школе №2 также вырос на $10$%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться $1$?
в) Средний балл в школе №1 вырос на $10$%, средний балл в школе №2 также вырос на $10$%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Решение:

Пусть в школе №1 тест писали $n$ учащихся, тогда в школе №2 – $(51-n)$ учащихся.

Пусть средний балл школы №1 до перехода учащегося – $S.$ Суммарный балл – $Sn.$

а) Пусть средний балл в школе №1 вырос (после перехода учащегося) в два раза.

Тогда  новый суммарный балл стал $2S(n-1).$

Найдем разность суммарных баллов, то есть балл того учащегося, который переходил из школы в школу:

$Sn-2S(n-1)=S(2-n).$

Поскольку $n\geq 2,$ то $S(2-n)\leq 0,$ что невозможно, так как балл каждого учащегося по условию – натуральное число.

б) Допустим, первоначальный балл в школе №2 равнялся $1$ и при этом средний балл в школе №1 вырос на $10$%, то есть стал $1,1S,$ средний балл в школе №2 также вырос на $10$%, то есть стал равен $1,1.$

Пусть балл учащегося, что переходил из школы в школу, – $m.$

Тогда

$m=Sn-1,1S(n-1)=1,1(52-n)-(51-n);$

$m=1,1S-0,1Sn=6,2-0,1n;$

$10m=S(11-n)=62-n.$

Поскольку $2\leq n\leq 10$ и при этом $62-n$ должно делиться на $10,$ то подходит только вариант $n=2,$ что влечет за собой $9S=60.$ Последнее уравнение не имеет натуральных решений. Случай невозможен.

в) Средний балл в школе №1 вырос на $10$%, средний балл в школе №2 также вырос на $10$%. Найдем наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

В пункте б показано, что первоначальный средний балл в школе №2 не мог равняться $1$.

Пусть он равен $2.$

Тогда

$m=Sn-1,1S(n-1)=2,2(52-n)-2(51-n);$

$m=1,1S-0,1Sn=2(6,2-0,1n);$

$10m=S(11-n)=2(62-n).$

Поскольку $2\leq n\leq 10$ и при этом $62-n$ должно делиться на $5,$ то подходят случаи $n=2$ и $n=7.$

В первом случае $9S=120,$ во втором $4S=110.$  Уравнения не имеют натуральных решений. Случай невозможен.

Пусть первоначальный средний балл в школе №2 равен $3.$

Тогда

$m=Sn-1,1S(n-1)=3,3(52-n)-3(51-n);$

$10m=S(11-n)=3(62-n).$

Поскольку $2\leq n\leq 10$ и при этом $62-n$ должно делиться на $10,$ то подходит случай $n=2.$  Тогда $S=20$ и $m=18.$

Случай возможен, если в школе №1 писали тест $2$ учащихся и набрали $22$ и $18$ баллов, а в школе №2 писали тест $49$ учащихся и каждый набрал $3$ балла, перешедший  из одного школы в другую учащийся, набрал $18$ баллов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $3.$