Задание №19 Т/Р №170 А. Ларина

Смотрите также  №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №170 А. Ларина 

19. Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на 12, и сумма его цифр делится на 12.

А) Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?
Б) Найдите наименьшее возможное число N;
В) Найдите наибольшее возможное число N;
Г) Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N (содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр)?

Решение:

Чтобы число N делилось на 12, необходимо, чтобы оно делилось и на 4, и на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Но по условию сумма цифр числа N делится на 12.

Так как сумма цифр числа N делится на 12, то эта сумма может принимать только  значения 12, 24 или 36 (сумма цифр пятизначного числа не может быть больше 45).

Заметим также, что число делится на 4, если две его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на 4 (признак делимости на 4).

Итак, условие можно заменить на следующее:

Сумма цифр числа N равна 12 или 24 или 36, при этом последние две цифры числа N – либо нули, либо образуют число, которое делится на 4.

a) Да, могут все пять цифр в записи числа N быть различными.

Например, 63012.

б) Покажем, что наименьшее возможное число N – это  10056.

В наших интересах взять такое число, чтобы сумма его цифр была бы равна 12.

Действительно, например, в случае, если сумма цифр числа N равна 24 (а мы преследуем цель получить наименьшее число N, то есть первые три цифры, желательные для нас, – это 1, 0, 0), то на сумму двух последних цифр будет приходится 23, что невозможно.

Итак, взяв в качестве первых трех цифр 1, 0, 0, на сумму  двух последних мы оставляем 11.  Чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы оно заканчивалось двумя нулями либо число, образованное двумя последними цифрами числа делилось бы на 4.  Первый вариант нас не устраивает. Варианты двузначных чисел, кратных 4, сумма цифр которых равна 11, – это 92, 56. Из двух чисел 10092, 10056 меньшее – 10056.

в) Покажем, что наибольшее возможное число N – это  99972.

В наших интересах взять такое число, чтобы сумма его цифр была бы равна 36.

Взяв в качестве первых трех цифр 9, 9, 9, на сумму  двух последних мы оставляем 9. Варианты двузначных чисел, кратных 4, сумма цифр которых равна 9, – это 72, 36. Из двух чисел 99972, 99936 большее – 99972.

г) Пять одинаковых цифр не может быть в записи числа N.

Действительно, допустив, что число состоит пяти одинаковых цифр n, получим, что 5n должно делиться на 12, что невозможно при условии, что n – цифра (при этом не ноль).

Наибольшее количество одинаковых цифр, которое  может содержаться в записи числа N,  – это 4.

Действительно, пусть в записи числа N содержится четыре цифры n и одна k.

Тогда

4n+k=12 или 4n+k=24 или 4n+k=36.

Откуда

k=4(3-n) или k=4(6-n) или k=4(9-n).

Рассмотрим первый случай k=4(3-n).

Пусть n=1, тогда k=8. Но в этом случае на конце числа N нам не удастся подобрать две последние цифры так, чтобы N делилось бы на 4.

Пусть n=2, тогда k=4. Число 22224 подходит на роль N.

Пусть n=3, тогда k=0. Но в этом случае на конце числа N нам не удастся подобрать две последние цифры так, чтобы N делилось бы на 4.

Рассмотрим первый случай k=4(6-n).

Пусть n=1, тогда k=20, чего быть не может.

Пусть n=2, тогда k=16, чего быть не может.

Пусть n=3, тогда k=12, чего быть не может.

Пусть n=4, тогда k=8. Числа 44448, 44484, 44844, 48444, 84444 подходят на роль N.

Пусть n=5, тогда k=4. Но в этом случае на конце числа N нам не удастся подобрать две последние цифры так, чтобы N делилось бы на 4.

Пусть n=6, тогда k=0. Число 66660 подходит на роль N.

Рассмотрим первый случай k=4(9-n).

Случаи, когда n меньше 7 невозможны.

Пусть n=7, тогда k=8. Но в этом случае на конце числа N нам не удастся подобрать две последние цифры так, чтобы N делилось бы на 4.

Пусть n=8, тогда k=4. Числа 88884, 88848, 88488, 84888, 48888 подходят на роль N.

Пусть n=9, тогда k=0. Но в этом случае на конце числа N нам не удастся подобрать две последние цифры так, чтобы N делилось бы на 4.

Ответ: а) да; б) 10056; в) 99972; г) 4; 12.