Задание №20 (C5) Т/Р №93 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.
Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств

$\begin{cases}x^2+y^2-a^2\leq 6x-4y-13,\\x^2+y^2-4a^2\leq 8y-10x+4a-40;&\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Решение:

Будем выделять полные квадраты в неравенствах:

$\begin{cases}(x^2-6x+9)-9+(y^2+4y+4)-4\leq a^2-13,\\(x^2+10x+25)-25+(y^2-8y+16)-16\leq 4a^2+4a-40;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-3)^2+(y+2)^2\leq a^2,\\(x+5)^2+(y-4)^2\leq (2a+1)^2;&\end{cases}$

Первая строка системы задает круг с центром в т. $(3;-2)$ радиуса $|a|$.

Вторая строка системы задает круг с центром в т. $(-5;4)$ радиуса $|2a+1|.$

Единственное решение исходная система будет иметь в случае внешнего касания кругов.

Замечаем, что  расстояние между радиусами равно $\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Тогда выходим на следующее уравнение:

$|a|+|2a+1|=10$

Если вы не умеете работать с уравнениями/неравенствами с несколькими модулями, то полезно будет заглянуть сюда.

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}a<-\frac{1}{2},\\-a-2a-1=10;\end{cases}\\\begin{cases}-\frac{1}{2}\leq a\leq 0,\\-a+2a+1=10;\end{cases}\\\begin{cases}a>0,\\a+2a+1=10;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}a<-\frac{1}{2},\\a=-\frac{11}{3};\end{cases}\\\begin{cases}-\frac{1}{2}\leq a\leq 0,\\a=9;\end{cases}\\\begin{cases}a>0,\\a=3;\end{cases}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}a=-\frac{11}{3},\\a=3;\end{array}\right.$

Ответ: $-\frac{11}{3};3.$