Задание №20 (С5) из Т/Р №86 А. Ларина

Найти все значения действительного параметра $a$, для которых неравенство $4^x-a\cdot 2^x-a+3\leq 0$ имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Переформулируем условие задачи (обозначив $2^x$ за $m$):

Найти все значения действительного параметра $a$, для которых неравенство

$m^2-a\cdot m-a+3\leq 0$ при $m>0 $

имеет хотя бы одно решение.

Введем $f(m)=m^2-a\cdot m-a+3$.

1) Рассматривать случай, когда $D<0$, нет никакого смысла, так как весь график функции $y=f(m)$ располагается над осью $m$. Неравенство $f(m)\leq 0$ не имеет решений.

2) Если $D=0$, то необходимо потребовать, для выполнения условия задачи, чтобы вершина параболы $y=f(m)$ была бы положительна. Исходное неравенство в этом случае будет иметь одно решение.

$\begin{cases}D=0,\\m_{vershina}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}a^2-4(-a+3)=0,\\\frac{a}{2}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(a+6)(a-2)=0,\\a>0;&\end{cases}$

Итак, $a=2$ нам подходит.

3) Рассмотрим случай, когда $D>0.$

Нам подходят два случая :

a)

$\begin{cases}D>0,\\m_{vershina}>0;&\end{cases}$

и

б) $f(0)<0$.

Итак,

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}(a+6)(a-2)>0,\\\frac{a}{2}>0;\end{cases}\\3-a<0;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}a>2,\\a>3;\end{array}\right.$

То есть  $a>2.$

Наконец, собираем все подходящие нам значения $a$, получаем:

$a\geq 2$.

Ответ: [$2;+\infty$).

Смотрите задания 15, 16, 17, 19