Задание №20 Т/Р №104 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$4^{a^2}\cdot log_2(|x^2-6x+8|+2)+2^{3a-|x^2-6x+8|}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0$

имеет ровно два различных действительных корня.

Решение:

Пусть $|x^2-6x+8|=m.$

$4^{a^2}\cdot log_2(m+2)+2^{3a-m}\cdot log_2(\frac{1}{2+3a-2a^2})=0;$

 $2^{2a^2}\cdot log_2(m+2)=2^{3a-m}\cdot log_2(2+3a-2a^2);$

$2^mlog_2(m+2)=2^{3a-2a^2}log_2(3a-2a^2+2);$

Заметим, в левой части равенства – произведение двух возрастающих функций, при этом $2^m>0,$ $log_2(m+2)>log_21=0$. Значит, слева – возрастающая функция (воспользовались свойством: Произведение строго возрастающих неотрицательных функций есть функция строго возрастающая). Аналогично справа – возрастающая функция.

Итак, имеем уравнение $f(m)=f(3a-2a^2)$, где  $f(t)=2^t\cdot log_2(t+2)$ ($f(t)$ – непрерывна, монотонна на обл. определения).

Тогда (согласно свойству: Уравнение $f(u)=f(v)$  равносильно уравнению $u=v$ на $M$, где $f(t)$ определена на  $M$, непрерывна и строго монотонная на $M$)

$f(m)=f(3a-2a^2)$ равносильно $m=3a-2a^2$ при $a\in (-\frac{1}{2};2).$

$\begin{cases}|x^2-6x+8|=3a-2a^2,\\-\frac{1}{2}<a<2;&\end{cases}$

  Необходимо:

$3a-2a^2>1$ или $3a-2a^2=0$ при условии $-\frac{1}{2}<a<2$.

То есть

$a\in(\frac{1}{2};1)\cup ${$0;1,5$}.

Ответ: $(\frac{1}{2};1)\cup ${$0;1,5$}.