Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество решений системы
$\begin{cases}x^2+(a+4)x+4a\leq y,\\3x+y-(2a+4)\leq 0;&\end{cases}$
содержит отрезок $AB$, где $A(-2;0),$ $B(-1;0).$
Решение:
$\begin{cases}y\geq x^2+(a+4)x+4a,\\y\leq -3x+2a+4;&\end{cases}$
Случай, когда парабола $y=x^2+(a+4)x+4a$ и прямая $y=-3x+2a+4$ не имеют общих точек (или касаются), не представляет интереса.
Пусть $f(x)=x^2+(a+4)x+4a.$
Заметим, абсцисса точки пересечения прямой $y=-3x+2a+4$ с осью абсцисс – $\frac{2a+4}{3}.$
Для того, чтобы множество решений исходной системы содержало отрезок $AB$, потребуем:
$\begin{cases}f(-2)\leq 0,\\f(-1)\leq 0,\\\frac{2a+4}{3}\geq -1;&\end{cases}$
$\begin{cases}a-2(a+4)+4a\leq 0,\\1-a-4+4a\leq 0,\\2a+4\geq -3;&\end{cases}$
$\begin{cases}a\leq 4,\\a\leq 1,\\a\geq -3,5;&\end{cases}$
$-3,5\leq x\leq 1.$
Ответ: $[-3,5;1].$
Полезно заметить, что f(x) проходит через точку (-4;0). Тогда не нужно условие f(-2)>0, которое в результате ничего не дало.
Можно и так, конечно… То на то и выходит…
Простите, я немного не понимаю зачем мы задаём условия:
f(-2)<=0;
f(-1)=-1;
Я просто не понимаю каким именно образом все это работает.
Первая ваша система условия.
Алексей, вам следует нарисовать различные варианты расположения отрезка AB по отношению к синей выделенной зоне. Нарисуйте ситуацию, когда точка А – вне ее, когда точка В – вне, когда обе точки – вне. И тогда посмотрите, какими будут f(-2), f(-1) каждый раз.
вы имеете в виду сдвигать эту синюю область?
Не область, а отрезок AB.