Задание №21 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №19»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19, №20.

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из‐за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест – 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение:

а) Да, например, один участник, писавший тест, набрал $99$ баллов, второй – $59$, третий – $11$.

Средний балл, не сдавших тест, первоначально был $\frac{59+11}{2}=35$, а после добавления каждому участнику по $4$ балла, средний балл, не сдавших тест, составил $15.$

б) Да, при таком же раскладе, что в п. а, понизился и средний балл, сдавших тест. Действительно, средний балл, сдавших тест, до добавления 4-х баллов составлял $99$ баллов, а после  – $\frac{103+63}{2}=83$ балла.

в) Введем переменные:

Согласно условию получаем следующую систему уравнений:

$\begin{cases}70(n_1+n_2+n_3)=b_1+b_2+b_3,\\80n_1=b_1,\\55(n_2+n_3)=b_2+b_3,\\78(n_1+n_2)=b_1+b_2,\\54n_3=b_3;&\end{cases}$

Вычитая из первой строки вторую и третью, получаем:

$15(n_2+n_3)=10n_1$

или

$3(n_2+n_3)=2n_1$  (1)

Вычитая из первой строки четвертую и пятую, получаем:

$16n_3=8(n_1+n_2)$

или

$2n_3=n_1+n_2$  (2)

Из (1) и (2) замечаем: $n_1$ кратно $3$, $n_2+n_3$ – четно, $n_1+n_2$ – четно.

Также

$3(n_2+n_3)=2(2n_3-n_2);$

$5n_2=n_3.$

То есть $n_3$  кратно $5$.

Нас интересует наименьшее число участников теста.

Возьмем $n_3=5$. Тогда $n_2=1, n_1=9.$ В данном случае число участников теста равно 15. Меньше быть не может.

Покажем, что в случае, когда число участников теста составляет 15, требуемые условия выполняются:

Итак, в случае, когда тест писали 15 человек  (первоначально 9 человек набирает по 80 баллов, 1 – 60 баллов и 5 человек по 54 балла), требования задачи выполнены.

Ответ: 

а) да;

б) да;

в) 15.