01. Многоугольники. Вычисление длин и углов

Проведем из точки $B$ перпендикуляр к $OA.$ Катеты образовавшегося треугольника равны $5$ и $1.$

$tg\angle O=\frac{5}{1}=5.$

Ответ: $5$.

Проведем из точки $B$ перпендикуляр $BH$ к $OA.$ Катеты образовавшегося равнобедренного треугольника равны $3.$

$cos \angle O=\frac{OH}{OB}=\frac{3}{\sqrt{3^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt2}.$

Тогда

$2\sqrt2 cos\angle O=2\sqrt2 \cdot \frac{1}{\sqrt2}=2.$

Ответ: $2$. 

Опустим перпендикуляр $BH$ к $OA.$

$sin BOH=\frac{BH}{BO}=\frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{4}{5}=0,8.$

$sin AOB=sin(180^{\circ}-\angle BOH)=sin BOH=0,8.$

Ответ: $0,8.$

Соединим точки $B$ и $H$ (см. рис.).

Из прямоугольного треугольника $BEH:$ $BH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$

Из прямоугольного треугольника $OPH:$ $OH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$

Из прямоугольного треугольника $OFB:$ $OB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Стало быть, раз $OB^2=BH^2+OH^2,$ то $\angle BHO=90^{\circ}.$

Тогда $tg\angle AOB=\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=1.$
Ответ: $1.$

Выберем точку $H$ как показано на рисунке.

Из прямоугольного треугольника $OPH:$ $PH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$

Из прямоугольного треугольника $AHF:$ $AH=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$

Из прямоугольного треугольника $AEO:$ $AO=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Стало быть, раз $OA^2=AH^2+OH^2,$ то $\angle AHO=90^{\circ}.$

Тогда $cos AOH=\frac{OH}{OA}=\frac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt2}.$

Далее, $cos AOB=cos(180^{\circ}-\angle AOH)=-cos\angle AOH=-\frac{1}{\sqrt2}.$

Наконец, $cosAOB=2\sqrt2cos AOB=2\sqrt2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt2})=-2.$

Ответ: $-2$. 

Хорошо видно, что треугольник $KBC$ равнобедренный, значит биссектриса угла $B$ пройдет через середину $KC.$ Очевидно тогда, что длина биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$ равна $3.$

Ответ: $3$. 

Пусть $K$ – середина $AB.$ Отметим точку $H$ как показано на рисунке. В прямоугольном треугольнике $KCH$ катеты равны $3$ и $4,$ стало быть, $KC=5$ по теореме Пифагора.

Ответ: $5.$

Треугольник $ABC$ – равнобедренный, высота $AH$ –  медиана, то есть $H$  – середина $BC.$

Отметим точку $E$ как показано на рисунке.

$AH=\sqrt{EH^2+AE^2}=\sqrt{(\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2}=5.$

Ответ: $5.$

Длина средней линии – полусумма длин оснований, то есть $\frac{4+8}{2}=6.$

Ответ: $6.$

$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{(4\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2}=10;$

$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2}=5;$

$P_{ABCD}=(10+5)\cdot 2=30.$

Ответ: $30.$

Из прямоугольного треугольника, выделенного зеленым цветом, по теореме Пифагора $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Ответ: $5.$

Пусть $l$ – средняя линия трапеции. Тогда $l=\frac{BC+AD}{2};$

Из прямоугольного треугольника, помеченного голубым цветом, по т. Пифагора $BC=\sqrt{(2\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2}=4;$

Аналогично $AD=\sqrt{(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2}=10;$

Получаем: $l=\frac{4+10}{2}=7.$

Ответ: $7.$

$R=\frac{BD}{2}=\frac{5}{2}=2,5.$

Ответ: $2,5.$

Радиус описанной окружности – половина гипотенузы.

$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5;$

$R=\sqrt5;$

$R\sqrt5=5.$

Ответ: $5.$

Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой равно длине пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из этой точки на дан­ную пря­мую.

Поэтому, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно $3$.

Ответ: $3.$

 $AB=\sqrt{5^2+12^2}=13.$

Ответ: $13.$

Длина средней линии, параллельной стороне $AB$, равна половине длины $AB$ (согласно свойству средней линии треугольника), то есть $2,5$.

Ответ: $2,5.$

$R=\sqrt{(\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2}=5.$

Ответ: $5.$

$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1.$

Ответ: $1.$