02. Пирамида

Пирамида $SABCD$ – правильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр  (точку пересечения диагоналей) квадрата.

Из прямоугольного треугольника $SOB$ ($OB=\frac{1}{2}BD=12$) по т. Пифагора:

$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5.$

Ответ: $5.$

Пирамида $SABCD$ – правильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр  (точку пересечения диагоналей) квадрата.

Из прямоугольного треугольника $SOC$ ($OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=15$) по т. Пифагора:

$SC^2=SO^2+OC^2=8^2+15^2=17^2;$

$SC=17.$

Ответ: $17.$

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды –  $4$ площади боковой грани, например,  грани $ASB.$

$S_{ASB}=\frac{AB\cdot SH}{2}=\frac{60\cdot \sqrt{78^2-30^2}}{2}=2160.$

Тогда

$S_{bok}=4\cdot S_{ASB}=8640.$

Ответ: $8640.$

Пирамида $SABCD$ – правильная, поэтому в основании – квадрат и вершина пирамиды проецируется в центр  (точку пересечения диагоналей) квадрата.

Из прямоугольного треугольника $SDO:$

$DO^2=SD^2-SO^2=60^2-48^2=36^2;$

$DO=36.$

Тогда $BD=AC=72.$

Ответ: $72.$

$40=\frac{S_{ABCD}\cdot SO}{3};$

$40=\frac{5\cdot 6\cdot SO}{3};$

$SO=4.$

Ответ: $4.$

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO,$

где 

$S_{ABCD}=(15\sqrt2)^2=225\cdot 2=450,$

а

$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{SA^2-\frac{AC^2}{4}}=\sqrt{SA^2-\frac{AB^2+BC^2}{4}}=$

$=\sqrt{39^2-\frac{2\cdot (15\sqrt2)^2}{4}}=\sqrt{39^2-15^2}=36.$

Итак, 

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{450\cdot 36}{3}=5400.$

Ответ: $5400.$

Указанное сечение пирамиды – квадрат, подобный квадрату основания.

Как известно, площади подобных фигур находятся в отношении $k^2,$ где $k$ –  коэффициент подобия.

В нашем случае $k=2.$

Итак,

$S_{sech}=\frac{S_{osnov}}{4}=\frac{7^2}{4}=12,25.$

Ответ: $12,25.$

Пусть $a, H$ – сторона основания и высота первой правильной пирамиды. Тогда у второй пирамиды сторона основания – $2a,$ высота – $1,5H.$

Для первой пирамиды имеем:

$9=\frac{a^2\cdot H}{3}.$

Для второй пирамиды имеем:

$V=\frac{(2a)^2\cdot 1,5H}{3}=\frac{6\cdot a^2\cdot H}{3}=6\cdot 9=54.$

Ответ: $54.$

Пусть $H$ – середина $AB.$ Тогда в равнобедренном треугольнике $ABS$  медиана $SH$ является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и $OH\perp AB.$ Тогда $\angle SHO$ – угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Так как $tg SHO=\sqrt{14},$ то пусть $SO=\sqrt{14}x,OH=x.$ Заметим, $AH=BH=OH=x$ также.

Из треугольника $SOH$  по теореме Пифагора:

$SH=\sqrt{(\sqrt{14}x)^2+x^2}=\sqrt{15}x.$

Из треугольника  $SHB$  по теореме Пифагора:

$SB=\sqrt{(\sqrt{15}x)^2+x^2}=4x.$

Но при этом по условию $SB=22,$ тогда

$22=4x;$

$x=\frac{11}{2}.$

Итак, сторона основания пирамиды – есть $2x=11.$

Ответ: $11.$

Объем пирамиды вычисляется по формуле

$V=\frac{S_{osnov}\cdot H}{3}.$

При этом

$S_{osnov}=4\cdot 6=24.$

Тогда

$48=\frac{24\cdot H}{3};$

$H=6.$

Ответ: $6.$

Площадь поверхности пирамиды: $S=S_{osnov}+S_{bok}$.

Поскольку пирамида правильная, то в основании лежит квадрат  (и вершина проецируется  в центр основания), а значит $S_{osnov}=42^2.$

Площадь же боковой поверхности $S_{bok}$ есть 4 площади боковой грани (например, $CDS$).

$S_{CDS}=\frac{SH\cdot DC}{2},$ где $SH$ – высота (и медиана за счет равнобедренности треугольника) к основанию $DC$ .

По т. Пифагора:

$SH=\sqrt{SD^2-DH^2}=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{(75-21)(75+21)}=$

$=\sqrt{54\cdot 96}=\sqrt{6\cdot 9\cdot 6\cdot 16}=6\cdot 3\cdot 4 =72.$

Тогда

$S_{DCS}=\frac{72\cdot 42}{2}=1512.$

Наконец,

$S=S_{osnov}+S_{bok}=42^2+4\cdot 1512 =7812.$

Ответ: $7812.$

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле

$\color{red}V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot H.$

$SO$ – и есть высота  пирамиды $H$ (у правильной пирамиды в основании лежит правильный треугольник и вершина проецируется в центр основания, а центр основания в правильном треугольнике и есть точка пересечения медиан).

Тогда

$6=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot SO;$

$SO=2.$

Ответ: $2.$

Пирамида $SABC$ – правильная, поэтому боковые грани – равные между собой  треугольники.

Поэтому $S_{bok}=3S_{ASC};$

Площадь треугольника $ASC$ будем искать по формуле $S=\frac{1}{2}ah_a.$

Заметим при этом, так как пирамида правильная, значит, в частности, в основании – правильный треугольник. Тогда медиана $BL$ является и высотой.

А значит, по теореме о трех перпендикулярах, $SL\perp AC$.

Итак,

$S_{bok}=3\cdot(\frac{1}{2}\cdot AC\cdot SL)=\frac{3\cdot 6\cdot 5}{2}=45.$

Ответ: $45.$

$V=\frac{S_{ABC}\cdot SO}{3}=\frac{4\sqrt3 \cdot S_{ABC}}{3}.$

$S_{ABC}=\frac{AB\cdot CH}{2}=\frac{11\cdot \sqrt{11^2-(\frac{11}{2})^2}}{2}=\frac{121\sqrt3}{4}.$ 

Итак, 

$V=\frac{4\sqrt3\cdot S_{ABC}}{3}=\frac{4\sqrt3\cdot \frac{11\sqrt3}{4}}{3}=121.$

Ответ: $121.$

$6\sqrt3=\frac{S_{ABC}\cdot SO}{3};$

$SO=\frac{18\sqrt3}{S_{ABC}}.$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot SinA=\frac{1}{2}\cdot AB^2\cdot sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{25\sqrt3}{4}.$

Итак, $SO=\frac{18\sqrt3}{S_{ABC}}=\frac{18\sqrt3}{\frac{25\sqrt3}{4}}=\frac{72}{25}=2,88.$

Ответ: $2,88.$

$S_{bok}=6S_{ABS}$

(все боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники (равнобедренные))

$S_{ABS}=\frac{AB\cdot \sqrt{AS^2-(\frac{AB}{2})^2}}{2}=\frac{12}{2}=6.$

Наконец, $S_{bok}=6\cdot 6=36.$

Ответ: $36.$

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCDEF}\cdot H;$

Основание пирамиды – правильный шестиугольник. Его площадь – сумма площадей шести равных друг другу правильных треугольников со стороной $6$.

Площадь правильного треугольника со стороной $6$ есть $9\sqrt3.$

Значит, площадь основания есть $54 \sqrt3.$

Тогда

$324=\frac{1}{3}\cdot 54\sqrt3\cdot H;$

$H=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3;$

Из прямоугольного треугольника, например, $SBO$ по т. Пифагора:

$SB=\sqrt{SO^2+BO^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12.$

Ответ: $12.$

Так как объем пирамиды вычисляется по формуле $V=\frac{S_{osnov}\cdot H}{3},$ то при увеличении высоты в 2 раза (только высоты) мы получим вдвое больший объем пирамиды.

Ответ: $2.$

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному ($k=5$).

Площади поверхностей подобных тел относятся находятся в отношении $k^2,$ где $k$ – коэффициент подобия. 

Итак, площадь поверхности увеличится в $25$ раз. 

Ответ: $125.$

При увеличении каждого ребра тетраэдра в пять раз, мы получим тетраэдр, подобный исходному ($k=5$).

Объёмы подобных тел относятся находятся в отношении $k^3,$ где $k$ – коэффициент подобия. 

Итак, объем увеличится в $125$ раз. 

Ответ: $125.$

Треугольники $ASH,\;DSH,\;GSH$ – равные прямоугольные треугольники (общий катет $SH$ и $\angle A=\angle G=\angle D=60^{\circ}$).

Заметим, треугольник $ASD$ – равносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона ($AD$) равна $\frac{2h}{\sqrt3}$, то есть $\frac{24}{\sqrt3}.$

Найдем $HG$ из треугольника $SGH:$

$tgSGH=\frac{SH}{HG}=\frac{12}{HG};$

$tg60^{\circ}=\frac{12}{HG};$

$\sqrt3=\frac{12}{HG};$

$HG=\frac{12}{\sqrt3};$

Тогда площадь основания $ABCD$ есть

$HG\cdot AD=\frac{24}{\sqrt3}\cdot \frac{12}{\sqrt3}=96.$

Наконец, вычисляем объем пирамиды:

$V=\frac{S_{ABCD}\cdot SH}{3}=\frac{96\cdot 12}{3}=384.$

Ответ: $384.$

Можно пирамиду перевернуть так, как показано на рисунке. Тогда  в основании у нас  – равнобедренный, прямоугольный треугольник с катетами $12.$ Его площадь – $\frac{12\cdot 12}{2}=72.$

Высота пирамиды $SC$ – $12.$

Тогда

 $V=\frac{S_{osnov}\cdot CS}{3}=\frac{72\cdot 12}{3}=288.$

Ответ: $288.$

Объем призмы есть $S_{osnov}\cdot H,$ объем пирамиды есть $\frac{S_{osnov}\cdot H}{3}$ (основания  и высоты одинаковы).

То есть объем отсеченной пирамиды есть $\frac{1}{3}$ объема призмы, а именно  $\frac{129}{3}=43.$

Тогда объем оставшейся части равен $129-43=86.$

Ответ: $86.$

Пирамиды $SABC$ и $SABCDEF$ имеют одинаковые высоты.

Площадь  шестиугольника $S_{ABCDEF}$ со стороной $a$ есть

$S_{ABCDEF}=6\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}.$

Площадь же треугольника $ABC$ есть

$S_{ABC}=\frac{a^2\cdot sinB}{2}=\frac{a^2\cdot sin120^{\circ}}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$

Видим, что  $S_{ABCDEF}=6S_{ABC}.$ 

Согласно условию:

$V_{ABCS}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABS}\cdot H=8.$

Тогда

$V_{SABCDEF}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCDEF}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 6S_{ABCS}\cdot H=6V_{ABCS}=6\cdot 8=48.$ 

Ответ: $48.$

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCDEF}\cdot SO.$

Основание $ABCDEF$ состоит из шести правильных равных треугольников ($ABO,BOC,…,FOA$). 

$S_{ABCDEF}=6\cdot S_{ABO}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot AB^2\sin60^{\circ}=3\cdot 64\cdot \frac{\sqrt3}{2}=96\sqrt3.$

Из треугольника $SOC$ по теореме Пифагора:

$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt3.$

Наконец, 

$V_{ABCDEFS}=\frac{1}{3}\cdot 96\sqrt3\cdot 8\sqrt3=768.$

Ответ: $768.$

Пусть $H$ – середина $CD.$ Тогда в равнобедренном треугольнике $CDS$  медиана $SH$ является и высотой. По теореме о трех перпендикулярах и $OH\perp CD.$ Тогда $\angle SHO$ – угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Из треугольника $OCH:$

$OH=\sqrt{11^2-(\frac{11}{2})^2}=\frac{11\sqrt3}{2}.$

Прямоугольный треугольник $OSH$ – равнобедренный, так как $\angle SHO=45^{\circ}$ по условию. Тогда

$SO=OH=\frac{11\sqrt3}{2}.$

Далее,

$S_{ABCDEF}=6\cdot S_{CDO}=6\cdot \frac{OH\cdot CD}{2}=3\cdot 11\cdot \frac{11\sqrt3}{2}=\frac{363\sqrt3}{2}.$

Наконец, 

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{363\sqrt3}{2}\cdot \frac{11\sqrt3}{2}=998,25.$

Ответ: $998,25.$

Высоты у пирамид одинаковые.

$34=\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot H.$

Заметим,

$S_{OBD}=S_{AOB}.$

Тогда

$S_{ABD}=2S_{AOB}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCDEF}.$

$V_{6}=\frac{1}{3}\cdot 3S_{ABD}\cdot H=3\cdot 34=102.$

Ответ: $102.$

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=9=S_{ABCD}\cdot H,$

где $H$ – высота параллелепипеда

$V_{ABCA_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{S_{ABCD}}{2}\cdot H=$

$=\frac{1}{6}S_{ABCD}\cdot H=\frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=\frac{1}{6}\cdot 9=4,5.$

Ответ: $4,5.$

$V=\frac{S_{osnov}\cdot H}{3}.$

Площадь основания пирамиды $EABC$ вдвое меньше площади основания пирамиды $SABCD$.

Высота пирамиды $EABC$ вдвое меньше высоты пирамиды $SABCD$, так как $E$ – середина $BS$.

Стало быть, объем пирамиды $EABC$ в $4$ раза меньше объема пирамиды $SABCD$.

Итак, объем пирамиды $EABC$ равен $30.$

Ответ: $30.$

Коэффициент подобия треугольников $CMN$ и $CAB$ – $2$.

Значит площадь треугольника $CAB$ в $4$ раза больше площади треугольника $CMN$.

Высоты пирамид $SABC$ и $SMNC$ совпадают.

Поэтому объем отсеченной  треугольной пирамиды есть $\frac{34}{4}=8,5.$

Ответ: $8,5.$

$MN,\;QP$ — средние линии равных треугольников $ABD$, $ACB$  с общим основанием $AB.$ Значит,  отрезки $MN$, $QP$  — параллельны и равны, следовательно,  четырехугольник $MNPQ$ — параллелограмм. Но и $NP$, $MQ$ — параллельны и равны, значит $MNPQ$   — ромб. Докажем, что $MNPQ$ — еще и квадрат. Действительно, угол между $MN$  и $MQ$  — угол между $AB$  и $CD,$ которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной ($CS$) перпендикулярна некоторой прямой плоскости ($AB$), то и сама наклонная ($CD$) перпендикулярна этой прямой).

Итак, $MNPQ$  — квадрат со стороной $8$. Его площадь равна $64.$

Ответ: $64.$