10. Тригонометрическая функция

По рисунку замечаем: $f(\frac{\pi}{2})=-0,5.$

Тогда

$acos\frac{\pi}{2}+b=-0,5;$

$a\cdot 0+b=-0,5;$

$b=-0,5.$

Ответ: $-0,5.$

По рисунку замечаем: $f(\frac{\pi}{2})=1,5.$

Тогда

$acos\frac{\pi}{2}+b=1,5;$

$a\cdot 0+b=1,5;$

$b=1,5.$

Далее, $f(0)=0.$

Тогда

$acos0+1,5=0;$

$a\cdot 1+1,5=0;$

$a=-1,5.$

Ответ: $-1,5.$

По рисунку замечаем: $f(0)=-1,5.$

Тогда

$atg0+b=-1,5;$

$b=-1,5.$

Ответ: $-1,5.$

По рисунку замечаем: $f(0)=1.$

Тогда

$atg0+b=1;$

$b=1.$

Далее, $f(\frac{\pi}{4})=2,5.$

Тогда

$atg\frac{\pi}{4}+b=2,5;$

$a\cdot 1+1=2,5;$

$a=1,5;$

Ответ: $1,5.$

По рисунку замечаем: $f(0)=-0,5.$

Тогда

$asin0+b=-0,5;$

$a\cdot 0+b=-0,5;$

$b=-0,5.$

Далее, $f(\frac{\pi}{2})=1.$

Тогда

$asin\frac{\pi}{2}+b=1;$

$a\cdot 1-0,5=1;$

$a=1,5.$

Ответ: $1,5.$

Поскольку максимальное значение $f(x)$ равно $1,$ а минимальное $-3,$ то $|a|=\frac{1-(-3)}{2}=2,$ то есть $a=\pm 2,$  а $d=\frac{1+(-3)}{2}=-1.$

Далее, по рисунку замечаем: $f(0)=-3.$

Тогда

$\pm 2cos(0+c)-1=-3;$

$\pm 2cosc=-2.$

Если $a=-2,$ то

$cos c=1;$

$c=2\pi n, n\in Z$

Поскольку $c\in Z$ по условию,  то $n=0$ и тогда $c=0.$

Если $a=2,$ то

$cos c=-1;$

$c=\pi +2\pi n, n\in Z$

Поскольку $c\in Z$ по условию,  а формула $c=\pi +2\pi n, n\in Z$ не выдает целых $c,$ то невозможно, что $a=2.$

Пока имеем: $f(x)=-2cos(b\pi x)-1.$

Поскольку наименьший положительный период синусоиды есть $2\pi,$ то

$f(x)=-2cos(b\pi x)-1=-2cos(b\pi x\pm 2\pi)-1=-2cos(b\pi (x\pm\frac{2}{b})).$

По рисунку видим, что наименьший положительный период равен $2,$ тогда $\pm\frac{2}{b}=2,$ откуда $b=\pm 1.$

Итак,

$f(x)=-2cos(\pm \pi x)-1=-2cos(\pi x)-1.$

Стало быть,

$f(-\frac{8}{3})=-2cos(-\frac{8\pi}{3})-1=-2\cdot (-\frac{1}{2})-1=1-1=0.$

Ответ: $0.$

Поскольку максимальное значение $f(x)$ равно $8,$ а минимальное $0,$ то $|a|=\frac{8-0}{2}=4,$ то есть $a=\pm 4,$  а $d=\frac{8+0}{2}=4.$

Далее, по рисунку замечаем: $f(0)=8.$

Тогда

$\pm 4cos(0+c)+4=8;$

$cosc=\pm 1.$

Если $a=4,$ то

$cos c=1;$

$c=2\pi n, n\in Z$

Поскольку $c\in Z$ по условию,  то $n=0$ и тогда $c=0.$

Если $a=-4,$ то

$cos c=-1;$

$c=\pi +2\pi n, n\in Z$

Поскольку $c\in Z$ по условию,  а формула $c=\pi +2\pi n, n\in Z$ не выдает целых $c,$ то невозможно, что $a=-4.$

Пока имеем: $f(x)=4cos(\frac{\pi x}{b})+4.$

Поскольку наименьший положительный период синусоиды есть $2\pi,$ то

$f(x)=4cos(\frac{\pi x}{b})+4=4cos(\frac{\pi x}{b}\pm 2\pi)+4=4cos(\frac{\pi }{b}(x\pm 2b))+4.$

По рисунку видим, что наименьший положительный период равен $4,$ тогда $\pm 2b=4,$ откуда $b=\pm 2.$

Итак,

$f(x)=4cos(\pm \frac{\pi x}{2})+4=4cos(\frac{\pi x}{2})+4.$

Стало быть,

$f(f(-\frac{20}{3}))=f(4cos(\frac{-\frac{20\pi}{3}}{2})+4)=f(4cos\frac{10\pi}{3}+4)=f(4\cdot (-\frac{1}{2})+4)=$

$=f(2)=4cos\pi+4=4\cdot (-1)+4=0.$

Ответ: $0.$