08. Физические задачи, приводимые к тригонометрическим уравнениям и неравенствам

Задача 1. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой $M=NIBl^2sin\alpha$, где $I=3$ A  — сила тока в рамке, $B=5\cdot 10^{-3}$  Тл — значение индукции магнитного поля, $l=0,4$ м — размер рамки, $N=125$  — число витков провода в рамке, $\alpha$  — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $\alpha$  (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент $M$ был не меньше $0,15$ Нм?

Решение: + показать

Задача 2. Мяч бросили под углом $\alpha$  к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле  $t=\frac{2v_0sin\alpha}{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$  (в градусах) время полeта будет не меньше $1,5$ секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_0=15$  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$  м/с$^2$.

Решение: + показать

Задача 3. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U=U_0sin(\omega t+\varphi)$, где $t$— время в секундах, амплитуда $U_0=2$ В, частота $\omega=150^{\circ}$/с, фаза $\varphi=45^{\circ}$. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение: + показать

Задача 4. Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом $q=2\cdot 10^{-6}$  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v=8$  м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол $\alpha$  с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B=5\cdot 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_l=qvBsin\alpha$ (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $\alpha \in [0^{\circ};180^{\circ}]$  шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_l$  была не менее, чем  $4\cdot 10^{-8}$ Н? Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 5. Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$  к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $H=\frac{v_0^2}{4g}(1-cos2\alpha)$, где $v_0=16$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$  м/с$^2$). При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой $2,2$ м на расстоянии $1$ м?

Решение: + показать

Задача 6. Плоский замкнутый контур площадью $S=0,4$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $\varepsilon _i=aScos\alpha$, где $\alpha$  — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=5\cdot 10^{-4}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м$^2$). При каком минимальном угле $\alpha$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $10^{-4}$ В?

Решение: + показать

Задача 7. Трактор тащит сани с силой $F=40$  кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной $S=200$  м вычисляется по формуле $A=FScos\alpha $. При каком максимальном угле $\alpha$ (в градусах) совершeнная работа будет не менее $4000$ кДж?

Решение: + показать

Задача 8. При нормальном падении света с длиной волны $\lambda=650$ нм на дифракционную решeтку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $dsin\varphi=k\lambda$ . Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим $2600$ нм?

Решение: + показать

Задача 9. Катер должен пересечь реку шириной $L=75$  м и со скоростью течения  $u=0,5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением  $t=\frac{L}{u}ctg\alpha$, где $\alpha$  — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $\alpha$  (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше $150$ с?

Решение: + показать

Задача 10. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью $v=7$  м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u=\frac{m}{m+M}vcos\alpha$  (м/с), где $m=80$  кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M=480$  кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $0,5$ м/с?

Решение: + показать

Задача 11. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v(t)=7sin\frac{\pi t}{4}$  (см/с), где $t$— время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала $3,5$ см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение: + показать

Задача 12. Груз массой $0,16$ кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v(t)=1,5sin\pi t$ , где $t$— время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле $E=\frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза (в кг), $v$— скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее $9\cdot 10^{-2}$ Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение: + показать

Вы можете пройти Тест “Физические задачи, приводимые к тригонометрическим уравнениям/неравенствам”