08. Физические задачи, приводимые к линейным/рациональным уравнениям или неравенствам

Задачи, приводимые к линейным  уравнениям и неравенствам

Задача 1. При температуре $0^{\circ}C$ рельс имеет длину $l_0=12,5$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^{\circ})=l_0(1+\alpha \cdot t^{\circ})$ , где $\alpha=1,2\cdot 10^{-5}(^{\circ}C)^{-1}$  — коэффициент теплового расширения, $t^{\circ}$  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $6$ мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение: + показать

Задача 2. Некоторая компания продает свою продукцию по цене $p=500$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=200$  руб., постоянные расходы предприятия $f=900000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi (q)=q(p-v)-f$. Определите наименьший месячный объeм производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 600000 руб.

Решение:  + показать

Задачи, приводимые к рациональным уравнениям и неравенствам

Задача 3. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=45$ см. Расстояние $d_1$  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $50$ до $70$ см, а расстояние $d_2$  от линзы до экрана — в пределах от $160$ до $180$ см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:  + показать

Задача 4. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I=\frac{\varepsilon}{R+r}$, где $\varepsilon$  — ЭДС источника (в вольтах),  $r=4$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $5$%  от силы тока короткого замыкания $I_{k3}=\frac{\varepsilon }{r}$? (Ответ выразите в омах.)

Решение:  + показать

Задача 5. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=245$  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$  (Гц), где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ выразите в м/с.

Решение:  + показать

Задача 6. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\frac{U}{R}$, где $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $4$ $A$. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

Решение:  + показать

Задача 7. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле $A(\omega)=\frac{A_0\omega_p^2}{|\omega^2_p-\omega^2|}$, где $\omega$  — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$), $A_0$  — постоянный параметр, $\omega_p=360c^{-1}$  — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$  не более чем на одну пятнадцатую. Ответ выразите в $c^{-1}$.

Решение:  + показать

Задача 8. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100%$, где  $T_1$ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$  — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$  КПД этого двигателя будет не меньше $75$%, если температура холодильника $T_2=275$  К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение:  + показать

Задача 9. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=90$  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$  этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1$  Ом и $R_2$ Ом их общее сопротивление даeтся формулой $R_{obshee}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $9$ Ом. Ответ выразите в омах.

Решение:  + показать

Задача 10. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой $m_v$  (в килограммах) от температуры $t_1$ до температуры $t_2$  (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы $m_{dr}$ кг. Он определяется формулой $\eta =\frac{c_vm_v(t_2-t_1)}{q_{dr}m_{dr}}\cdot 100$%, где $c_v=4,2\cdot 10^3$  Дж/(кгК) — теплоёмкость воды,  $q_{dr}=8,3\cdot 10^6$ Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть $m_{v}=166$ кг воды от $20$°С  до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше $21$%. Ответ выразите в килограммах.

Решение:  + показать

Задача 11. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m=1260$  тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l=18$  метров и шириной  $s$ метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p=\frac{mg}{2ls}$, где $m$  – масса экскаватора (в тоннах), $l$  – длина балок в метрах, $s$ – ширина балок в метрах, $g$ – ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с $^2$). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление $p$  не должно превышать $140$ кПа. Ответ выразите в метрах.

Решение:  + показать

Задача 12. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $149$ МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $v=c\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$  — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала $f$, если скорость погружения батискафа не должна превышать $10$ м/с. Ответ выразите в МГц.

Решение:  + показать

Задача 13. Автомобиль, масса которого равна $m=1500$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение $t$ секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь $S=600$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F=\frac{2mS}{t^2}$. Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила $F$, приложенная к автомобилю, не меньше $2000$ Н. Ответ выразите в секундах.

Решение:  + показать

Задача 14. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P=\frac{4mg}{\pi D^2},$  где $m=7500$ кг — общая масса навеса и колонны, $D$  — диаметр колонны (в метрах). Считая, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с², а $\pi=3,$ определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше $400 000$ Па. Ответ выразите в метрах.

Решение:  + показать

Вы можете пройти тест “Физические задачи, приводимые к линейным/рациональным уравнениям/неравенствам”