09. Задачи на движение по прямой

Пусть $x$ км/ч – скорость второго велосипедиста. Тогда согласно условию $(x+3)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.

Оба велосипедиста проехали $130$ км.

Третью колонку таблицы заполняем автоматически, пользуясь формулой $t=\frac{S}{V}$:

Время движения первого велосипедиста меньше, чем время движения второго на $3$ часа, поэтому

$\frac{130}{x+3}+3=\frac{130}{x};$

Домножаем обе части равенства на $x(x+3)$, понимая, при этом, что $x\neq 0,\;x\neq -3.$

$130x+3x(x+3)=130(x+3);$

$3x^2+9x-3\cdot 130=0;$

$x^2+3x-130=0;$

$x=\frac{-3\pm \sqrt{9+520}}{2};$

$x=\frac{-3\pm 23}{2};$

$x=10.$

К финишу придет первым велосипедист со скоростью $x+3$, поэтому в ответ отправляем величину $13$ (км/ч).

Ответ: $13.$ 

$\frac{60}{x+110}+5,5=\frac{60}{x};$

$60x+5,5x(x+110)=60(x+110);$

$5,5x(x+110)=60\cdot 110;$

$x^2+110x-1200=0.$

Если не  знаете как извлечь корень из большого дискриминанта, загляните сюда и сюда.

$x=-55\pm \sqrt{55^2+1200};$

$x=-55\pm 65;$

 $x=10.$

Ответ: $10.$ 

Пусть $x$ км/ч – скорость велосипедиста на пути АВ. Тогда согласно условию $(x+2)$ км/ч – скорость велосипедиста на пути ВА.

Длину пути АВ (ВА) – $80$ км.

Третью колонку таблицы заполняем автоматически, пользуясь формулой $t=\frac{S}{V}$:

Время движения велосипедиста  на пути ВА меньше, чем время движения  на пути АВ на  $2$ часа, поэтому

$\frac{80}{x}-2=\frac{80}{x+2};$

$80(x+2)-2x(x+2)=80x;$

$80\cdot 2-2x(x+2)=0;$

$x^2+2x-80=0;$

$x=-1\pm \sqrt{81};$

$x=-1\pm 9;$

Откуда вытекает, что $x=8$ (км/ч).

Ответ: $8.$ 

Пусть $x$ км/ч – скорость первого автомобиля. Тогда согласно условию $(x-10)$ км/ч – скорость второго автомобиля на первой половине пути. При этом весь путь считаем  $S$ км.

Так как автомобили выехали одновременнно из А и прибыли одновременно в В, то

$\frac{S}{x}=\frac{S}{2(x-10)}+\frac{S}{120};$

$120(x-10)=60x+x(x-10);$

$x^2-70x+1200=0;$

$x=35\pm \sqrt{35^2-1200};$

$x=35\pm 5;$

$x=40$ или $x=10.$

В условии задачи сказано, что скорость первого автомобиля больше $39$ км/ч, поэтому оставляем только вариант $x=40.$

Ответ: $40.$ 

Обозначим за $x$ ч время нахождения в пути одного автомобиля до встречи с другим.

Тогда один из автомобилий прошел $70x$, второй – $80x$ км.

В сумме эти пути дают $300$ км.

Поэтому

$70x+80x=300;$

$x=2.$

Ответ: $2.$ 

Встреча произошла ближе к А. То есть автомобиль, выехавший из А, проехал меньший путь, нежели автомобиль из В.

Итак,  скорость движения автомобиля, выехавшего из А, есть $\frac{140}{2}=70$ км/ч.

Ответ: 70. 

Второй автомобиль проехал $620-350=270$ км со скоростью $90$ км/ч, значит он находился в пути $\frac{270}{90}=3$ часа.

Первый автомобиль находился в пути на $2$ часа больше, то есть $5$ часов.

Поэтому скорость первого автомобиля, проехавшего $350$ км за $5$ часов есть $\frac{350}{5}=70$ км/ч.

Ответ: $70.$ 

Прежде всего, переведем $450$ м/мин в км/ч.

$450$м/мин=$0,45$км/мин=$0,45\cdot 60$км/ч=$27$км/ч.

Обозначаем за $x$ км/ч скорость скорого поезда. Тогда скорость товарного – $(x-27)$ км/ч.

Заполняем таблицу:

$\frac{240}{x-27}-2=\frac{240}{x};$

$240x-2x(x-27)=240(x-27);$

$x^2-27x-3240=0;$

$x=\frac{27\pm \sqrt{27^2+12960}}{2};$

(«Страшные дискриминанты» мы обсуждали здесь)

$x=\frac{27\pm 117}{2}.$

Откуда $x=72.$ Тогда скорость товарного поезда $72-27=45$ км/ч.

Ответ: $45.$ 

Пусть расстояние от A до C – $x$ км. Так как скорость мотоциклиста $80$ км/ч, то время в пути AC мотоциклиста – $\frac{x}{80}$. По условию сказано, что автомобиль в пути AC находился на $3$ часа больше, поэтому указываем в таблице время нахождения автомобиля в пути AC – $(\frac{x}{80}+3)$ часов.

Далее, автомобиль проделывает путь CB, длина которого выражается у нас через $(198-x)$, а мотоциклист возвращается обратно, то есть проделывает все тот же путь CA с той же скоростью $80$ км/ч за тоже время $\frac{x}{80}$.

Скорость автомобилиста на пути CB, также как и скорость на пути AC, есть $(\frac{x}{\frac{x}{80}+3)}$ или $\frac{80x}{x+240}$ км/ч.

Поэтому расстояние $(198-x)$ с этой скоростью он пройдет за время $\frac{198-x}{\frac{80x}{x+240}}$ часов.

Время прохождения автомобилистом пути CB равно времени прохождения пути CA мотоциклистом, поэтому

$\frac{x}{80}=\frac{(198-x)(x+240)}{80x};$

$x^2=(198-x)(x+240);$

$x^2-198x+240x+x^2-198\cdot 240=0;$

$x^2+21x-198\cdot 120=0;$

$D=21^2+4\cdot 198\cdot 120=441+95040=95481=309^2;$

Вычисление корня квадратного из большого числа – смотрите здесь.

$x=\frac{-21\pm 309}{2};$

$x=144.$

Ответ: $144.$ 

Обозначаем за $x$ м/мин скорость второго пешехода и за $y$ м – пройденный им путь.

Заметим, $1,5$км/ч=$25$м/мин.

$\frac{y+475}{x+25}=\frac{y}{x};$

$(y+475)x=(x+25)y;$

$475x=25y;$

$\frac{y}{x}=19.$

Ответ: $19.$ 

Обозначим за $x$ (км/ч) скорость третьего велосипедиста.

Обозначим за $t$ (ч) время, прошедшее от старта третьего велосипедиста до встречи  со вторым. За это время третий велосипедист проехал $tx$ км.

Тогда второй находился в пути до встречи с третьим велосипедистом $(t+1)$ часов и преодолел путь $12(t+1)$ км.

Имеем:

$12(t+1)=tx.$

Далее, первый велосипедист, согласно условию, находился в пути $(t+2)$ часов  до встречи второго и третьего велосипедистов и его путь за это время составил $15(t+2).$

После этого первый, так же как и третий, проехали еще   по $\frac{7}{3}\cdot 15$ и $\frac{7}{3}\cdot x$ км соответственно.

Итак, $15(t+2)+15\cdot \frac{7}{3}=tx+\frac{7}{3}\cdot x.$

Нам предстоит решить систему:

$\begin{cases}12(t+1)=tx,\\15(t+2)+15\cdot \frac{7}{3}=tx+\frac{7}{3}\cdot x;&\end{cases}$

$\begin{cases}t(x-12)=12,\\15t+30+35=tx+\frac{7}{3}\cdot x;\end{cases}$

$\begin{cases}t=\frac{12}{x-12},\\t(15-x)+65=\frac{7}{3}\cdot x;\end{cases}$

Откуда получаем:

$\frac{12(15-x)}{x-12}+65=\frac{7x}{3};$

$36(15-x)+65\cdot 3\cdot (x-12)=7x(x-12);$

$540-36x+195x-2340=7x^2-84x;$

$7x^2-243x+1800=0;$

$x=\frac{243\pm \sqrt{243^2-50400}}{14};$

$x=\frac{243\pm 93}{14};$

$x=24$  или $x=10\frac{5}{7}.$

Конечно же, второй вариант $x$ не подходит, так как скорость третьего велосипедиста явно должна быть больше 12 км/ч, иначе он никого не сможет перегнать.

Ответ: $24.$ 

Согласно условию за $30$ секунд поезд проходит расстояние, равное своей длине $l$.

Чтобы найти длину поезда $l$, нужно скорость поезда $60$ км/ч,  умножить на время $t=30$ секунд.

При этом, заметьте, требуется перевод всех данных в один формат.

$60$ км/ч=$60\cdot \frac{1000}{3600}$ м/с$=\frac{50}{3}$ м/с.

Тогда

$l=\frac{50}{3}\cdot 30=500$ (м).

Ответ: $500.$ 

Согласно условию за $36$ минут поезд проходит $(500+l)$ м, где $l$ – длина поезда.

Переведем $80$ км/ч в м/мин:

$80$км/ч=$80\cdot \frac{1000}{3600}$м/мин=$\frac{200}{9}$м/сек.

Тогда

$l+500=\frac{200}{9}\cdot 36;$

$l+500=800;$

$l=300.$

Ответ: $300.$ 

Переведем сразу км/ч в м/мин:

$80$км/ч=$80\cdot \frac{1000}{60}$м/мин=$\frac{4000}{3}$ м/мин.

$50$ км/ч=$50\cdot \frac{1000}{60}$м/мин=$\frac{2500}{3}$ м.

За $3$ минуты товарный поезд прошел  $x$ м:

$x=3\cdot \frac{2500}{3}=2500$ (м),

а пассажирский $3\cdot \frac{4000}{3}=4000$ (м).

Согласно условию пассажирский поезд за $3$ минуты прошел путь, равный

$1200+x+l=1200+2500+l=3700+l$ м.

Тогда

$3700+l=4000;$

$3700+l=4000;$

$l=300.$

Ответ: $300.$ 

Путь, пройденный скорым поездом:

$S_1=60$ км/ч $\cdot 38$ с $=\frac{60000}{3600}$ м/с $\cdot 38$ с $=\frac{1900}{3}$ м.

Путь, пройденный пассажирским поездом:

$S_2=30$ км/ч $\cdot 38$ с $=\frac{950}{3}$ м.

Пусть $L$ – длина товарного поезда, $x$ – расстояние между собственными “головой”/”хвостом” каждого из поездов исходного/нового положения (спустя $38$ с).

Так как

$x=|L-S_2|=|S_1-400|,$

то

$|L-\frac{950}{3}|=\frac{1900}{3}-400;$

$|L-\frac{950}{3}|=\frac{700}{3};$
$L=550$  или $L=\frac{250}{3}.$

Второй вариант не подходит, так как в этом случае $L<x$ чего не может быть.

Стало быть, $L=550.$

Ответ: $550.$