Возможно, вам нужно заглянут сюда – “Простейшие задачи на проценты”
Задача 1. В сосуд, содержащий $7$ литров $14$-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили $7$ литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение: + показать
$14$% от $7$ л есть
$\frac{14}{100}\cdot 7=0,98$ л.
После того, как в сосуд долили $7$ литров воды, жидкости стало $14$ л, а некоторого вещества – по-прежнему $0,98$л.
Пусть $x$ – процентная доля некоторого вещества в получившемся растворе.
Тогда
$0,98=\frac{x}{100}\cdot 14;$
$x=\frac{0,98\cdot 100}{14}$
$x=7.$
Ответ: $7.$
Задача 2. Смешали некоторое количество $13$-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством $17$-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение: + показать
Пусть $x$ – вес первого раствора. В нем $\frac{13}{100}\cdot x$ некоторого вещества.
Второго раствора по весу взяли столько же, – $x$. В нем $\frac{17}{100}\cdot x$ того же некоторого вещества.
Тогда в смешанном растворе будет $0,13x+0,17x,$ то есть $0,3x$ по весу некоторого вещества.
Пусть концентрация получившегося раствора – $y$%, тогда
$\frac{y}{100}\cdot 2x=0,3x;$
$y=\frac{0,3x\cdot 100}{2x};$
$y=15.$
Ответ: $15.$
Задача 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит $10$% никеля, второй — $35$% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой $225$ кг, содержащий $25$% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение: + показать
Пусть $x$ кг – масса первого сплава. Тогда согласно условию $(225-x)$ кг – масса второго сплава.
В первом сплаве $0,1x$ кг никеля, во втором – $0,35(225-x)$ кг никеля.
В новом сплаве $0,25\cdot 225$ кг никеля.
Стало быть,
$0,1x+0,35(225-x)=0,25\cdot 225;$
$10x+35(225-x)=25\cdot 225;$
$2x+7(225-x)=5\cdot 225;$
$2x+7\cdot 225-7x=5\cdot 225;$
$5x=2\cdot 225;$
$x=90;$
Значит, масса второго сплава – $225-90=135$ кг, что на $45$ кг больше массы первого сплава.
Ответ: $45.$
Задача 4. Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение: + показать
Пусть вес первого расвора $x$ литров. В нем согласно условию $0,54x$ л кислоты.
Пусть вес второго раствора $y$ литров. В нем согласно условию $0,61y$ л кислоты.
При смешивании двух растворов и добавлении 10 л воды, мы получим раствор весом $(x+y+10)$ л и кислоты в нем будет $(0,54x+0,61)y$ л.
Посколько в новом растворе $46$% кислоты, то составим уравнение:
$0,54x+0,61y=0,46(x+y+10);$
$54x+61y=46x+46y+460;$
$8x+15y=460;$
Рассмотрим второй случай.
При смешивании двух растворов и добавлении $10$ л $50$%-го раствора кислоты, мы получим раствор весом $(x+y+10)$ л и кислоты в нем будет $(0,54x+0,61y+5)$ л.
Посколько в новом растворе $56$% кислоты, то составим уравнение:
$0,54x+0,61y+5=0,56(x+y+10);$
$54x+61y+500=56x+56y+560;$
$2x-5y=-60.$
Итак, нам предстоит решить систему уравнений:
$\begin{cases}
8x+15y=460,&
& -2x+5y=60;
\end{cases}$
$\begin{cases}
8x+15y=460,&
& -6x+15y=180;
\end{cases}$
Вычитая строки, получаем:
$14x=280;$
$x=20.$
Ответ: $20.$
Задача 5. Имеются два сосуда. Первый содержит $100$ кг, а второй — $60$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $19$% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $22$% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение: + показать
Ситуация 1
Пусть $x$% – концентрация кислоты в первом растворе, $y$% – концентрация кислоты во втором растворе.
Тогда
$\frac{x}{100}\cdot 100+\frac{y}{100}\cdot 60=\frac{19}{100}\cdot 160;$
$5x+3y=152.$
Ситуация 2
Пусть вес каждого смешиваемого раствора – $m$ кг.
Тогда
$\frac{x}{100}\cdot m+\frac{y}{100}\cdot m=\frac{22}{100}\cdot 2m;$
$xm+ym=44m;$
$x+y=44.$
Итак, нам предстоит работать с системой уравнений:
$\begin{cases}
15x+3y=152,&
& x+y=44;
\end{cases}$
$\begin{cases}
5x+3y=152,&
& -3x-3y=-132;
\end{cases}$
Складывая уравнения системы, получаем:
$2x=20;$
$x=10.$
Тогда в первом растворе содержится $10$ кг кислоты.
Ответ: $10.$
Задача 6. Виноград содержит $90$% влаги, а изюм — $5$%. Сколько килограммов винограда требуется для получения $40$ килограммов изюма?
Решение: + показать
Обратите внимание! Что очень важно понимать для решения данной задачи?
«Твердая часть винограда» = «твердая часть изюма»!
Начнем с изюма.
Твердая часть винограда (изюма) составляет $95$% веса изюма, то есть
$\frac{95}{100}\cdot 40$ или $38$ кг.
Итак, в изюме массой $40$ кг, также как и в винограде, из которого он получен, твердая часть – $38$ кг.
Переходим к винограду.
Пусть $x$ кг – вес винограда. Твердая часть в винограде занимает $10$% веса, поэтому
$\frac{10}{100}\cdot x=38;$
$m=380.$
Итак, необходимо взять $380$ кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма).
Ответ: $380.$
Задача 7. В 2008 году в городском квартале проживало $40000$ человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $1$%, а в 2010 году — на $9$% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Решение: + показать
В 2009 году число жителей составляет $101$% от числа жителей в 2008 году, то есть их столько:
$\frac{101}{100}\cdot 40000.$
В 2010 году число жителей составляет $109$% от числа жителей в 2009 году, то есть их столько:
$\frac{109}{100}\cdot \frac{101}{100}\cdot 40000.$
Итак, количество жителей в 2010 году есть
$109\cdot 101\cdot 4=44036.$
Ответ: $44036.$
Задача 8. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $20700$ рублей, через два года был продан за $16767$ рублей.
Решение: + показать
Пусть цена холодильника ежегодно уменьшаетя на $x$ процентов.
Тогда через год после выставления на продажу он будет стоить
$\frac{100-x}{100}\cdot 20700$ рублей.
Еще через год цена на холодильник будет такой:
$\frac{100-x}{100}\frac{100-x}{100}\cdot 20700=\frac{(100-x)^2}{100^2}\cdot 20700.$
А поскольку холодильник через два года был продан за $16767$ рублей, то составим уравнение:
$20700\cdot \frac{(100-x)^2}{100^2}=16767;$
$(100-x)^2=8100;$
$100-x=\pm 90;$
Откуда $x=10$ %.
Ответ: $10.$
Задача 9. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на $1$% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение: + показать
1) Пусть в понедельник акции компании подорожали на $p$ %, а до повышения цены стоимость акций обозначим за $x$.
Итак, в понедельник цена акций будет составлять $(100+p)$ % по отношению к стоимости акций до повышения.
Поэтому новая цена акций на понедельник:
$\frac{100+p}{100}\cdot x.$
2) Вторник. Цена акций будет составлять $(100-p)$ % по отношению к стоимости акций в понедельник.
Поэтому новая цена акций на вторник:
$\frac{100-p}{100}\cdot \frac{100+p}{100}\cdot x=\frac{x(10000-p^2)}{10000}$.
3) Что мы имеем? На открытие торгов в понедельнки стоимость акций – $x$, во вторник стоимость акций – $\frac{x(10000-p^2)}{10000},$ при этом последняя стоимость акций составляет $99$ % от стоимости на открытие торгов. Составим уравнение:
$\frac{x(10000-p^2)}{10000}=\frac{99}{100}\cdot x;$
$10000-p^2=9900;$
$p^2=100;$
Откуда получаем, что $p=10$ %.
Ответ: $10.$
Задача 10. Шесть рубашек дешевле куртки на $2$%. На сколько процентов девять рубашек дороже куртки? Видео*
Решение: + показать
Согласно условию цена $6$ рубашек составляет $98$% по отношению к цене куртки.
А значит, $1$ рубашка составляет $\frac{98}{6}$ % по отношению к цене куртки.
Стало быть, $9$ рубашек составляют $\frac{98\cdot 9}{6}=147$ % по отношению к цене куртки.
То есть $9$ рубашек дороже куртки на $47$ %.
Ответ: $47.$
Задача 11. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $65$%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на $2$%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение: + показать
Пусть зарплата мужа – $x$ рублей, жены – $y$, стипендия дочери – $z$.
Тогда общий доход семьи – $x+y+z.$
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, то есть стала бы $2x$, то общий доход семьи увеличился бы на $x$ рублей.
То есть, согласно условию, $x$ рублей составляет $65$% от общего дохода семьи (до повышения зарплаты мужа).
Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, то есть стала бы $\frac{z}{2}$, то общий доход семьи уменьшился бы на $\frac{z}{2}$ рублей, что соответствует, согласно условию, $2$% от первоначального общего дохода семьи. Значит, стипендия дочери ($z$) составляет $4$% от дохода семьи.
Выясним, наконец, сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены:
$100-65-4=31$ (%)
Ответ: $31.$
Задача 12. Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом $200000$ рублей. Дима внес $26$% уставного капитала, Андрей — $55000$ рублей, Гриша — $0,16$ уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли $1000000$ рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.
Решение: + показать
Найдем процент уставного капитала Андрея:
$\frac{55000}{200000}\cdot 100=27,5$ (%)
А так как проценты уставного капитала Димы и Гриши $26$ % и $16$ % соответственно, то уставной процент Коли – $100-26-27,5-16=30,5$ %.
А значит, от прибыли в $1000000$ рублей он получит $\frac{30,5}{100}\cdot 1000000=305000$ рублей.
Ответ: $305000.$
Задача 13. Клиент А. сделал вклад в банке в размере $6200$ рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на $682$ рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Решение: + показать
Пусть банковский процент – $p.$
Тогда через год клиент А. будет иметь на счету $\frac{100+p}{100}\cdot 6200$ рублей.
Еще через год клиент А. будет иметь на счету $(\frac{100+p}{100})^2\cdot 6200$ рублей.
Клиент В. через год после открытия вклада будет иметь на счету $\frac{100+p}{100}\cdot 6200$ рублей.
Поскольку клиент А. получил на $682$ рубля больше клиента Б., составим уравнение:
$6200\cdot (\frac{100+p}{100})^2-6200\cdot\frac{100+p}{100}-682=0;$
$100\cdot (\frac{100+p}{100})^2-100\cdot\frac{100+p}{100}-11=0;$
$\frac{100+p}{100}=\frac{50\pm\sqrt{2500+1100}}{100};$
$p=10.$
Ответ: $10.$
Задача 14. После смешения двух растворов, первый из которых содержал 150 г кислоты, а второй содержал 60 г такой же кислоты, получили 400 г нового раствора. Найдите концентрацию первого раствора (в процентах), если известно, что она на 20 больше концентрации второго (в процентах).
Решение: + показать
Пусть вес первого раствора- $x$ г, второго – $400-x.$
Концентрация первого раствора – $\frac{150}{x}\cdot 100$ %.
Концентрация второго раствора – $\frac{60}{400-x}\cdot 100$ %.
Так как концентрация первого раствора на 20 больше концентрации второго (в процентах), то
$\frac{15000}{x}-\frac{6000}{400-x}=20;$
$\frac{1500}{x}-\frac{600}{400-x}=2;$
$\frac{750}{x}-\frac{300}{400-x}=1;$
$750(400-x)-300x=x(400-x);$
$x^2-1450x+300000=0;$
$x=250$ или $x=1200$ (не подходит)
Тогда концентрация первого раствора есть $\frac{150}{250}\cdot 100=60$ %.
Ответ: $60.$
Вы можете пройти Тест по задачам на проценты, сплавы, смеси
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
х+у=30,4
0,6х+у=26,4, х=10.Но в ответе, который дает ККИДППО 9кг .
Из системы действительно вытекает, что x=10. Но откуда сама система? Может при составлении системы допущена ошибка? Какое само задание?
?????
В задаче номер 4 при составлении первой пропорции ошибка, должно быть : 9x+15y=460 (15y=61y-46y)
Замечательный сайт для подготовки к ЕГЭ! спасибо вам!
Алла, спасибо большое! Подправила.
Здравствуйте, я посмотрел ваш видеоурок по текстовым задачам, так вот, в части III, в Д/з по 6-й задаче у меня получается ответ 20, перерешал несколько раз и всё равно… а у вас сказано что ответ 40…
Да, так и есть, – моя техническая ошибка. Кстати, задача на сайте решена (№ 4) и ответ там именно 20 ;)
Спасибо, что уделили время :) Видеоурок выручает, хотя и смотрел его 3 дня, зато заработаю на В14 ещё несколько баллов ) если не ошибаюсь один первычный балл переводится в 4 балла по 100 бальной системе.
Какова вероятность что попадётся задача на пропорции? не хотелось бы встретить такую задачу на ЕГЭ…
Вопрос не по адресу :)
А какие именно задачи пугают?
геометрическая прогрессия, сумма элементов геометрической прогресии… В школе плохо понимал эту тему, а сейчас вроде понял, но боюсь во время экзамена формула вылетит из головы…
Лучше перенаправить энергию страха на запоминание формулы ;)
Можете решить задачу.
Углы при одном основании трапеции равны 19° и 71°,а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 12° и 10°.
Найдите основание трапеции.
Продлите до пересечения боковые стороны. Получится прямоугольный треугольник. Примите верхнее основание за 2x. Тогда нижнее – (24-2x).
Тогда длина отрезка, соединяющего новую точку (что получена в результате продления бок сторон) с серединой нижнего основания – 10+x.
Медиана, проведенная к середине гипот., равна ее половине, поэтому 10+x=12-x.
x=1.
Ну и далее…
В первой задаче на рисунке написано “растовора”, а правильно – раствора, исправьте пожалуйста.
Не поняла в задаче №5, во второй ситуации откуда взялось м/100 в пропорции. Объясните, пожалуйста!
если концентрация раствора массой m – х%, то через пропорцию получаем, что вес кислоты – mx/100, аналогично со вторым раствором, – вес кислоты в нем my/100. Тогда в новом растворе – mx/100+my/100, то есть m/100(x+y)